Theorem ltmuls12ad 28413

Description: Comparison of the product of two positive surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmuls12ad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltmuls12ad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltmuls12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltmuls12ad.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
ltmuls12ad.5	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
ltmuls12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
ltmuls12ad.7	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
ltmuls12ad.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ltmuls12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

Proof of Theorem ltmuls12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmuls12ad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltmuls12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulscld 28365	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
4		ltmuls12ad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulscld 28365	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
6		ltmuls12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
7	4, 6	mulscld 28365	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
8		ltmuls12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
9		ltmuls12ad.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
10	1, 4, 9	ltlesd 27974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
11	1, 4, 2, 8, 10	lemuls1ad 28412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶))
12		ltmuls12ad.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)
13		0no 28039	. . . . . 6 ⊢ 0s ∈ No
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
15		ltmuls12ad.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
16	14, 1, 4, 15, 9	leltstrd 27966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)
17	2, 6, 4, 16	ltmuls2d 28402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 𝐷 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷)))
18	12, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))
19	3, 5, 7, 11, 18	leltstrd 27966	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423   No csur 27841   <s clts 27842   ≤s cles 27945   0_s c0s 28035   ·_s cmuls 28336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-nadd 8661  df-no 27844  df-lts 27845  df-bday 27846  df-les 27946  df-slts 27988  df-cuts 27990  df-0s 28037  df-made 28057  df-old 28058  df-left 28060  df-right 28061  df-norec 28168  df-norec2 28179  df-adds 28190  df-negs 28251  df-subs 28252  df-muls 28337

This theorem is used by:  remulscllem2  28731