Theorem ltmuls12ad 28451

Description: Comparison of the product of two positive surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmuls12ad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltmuls12ad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltmuls12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltmuls12ad.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
ltmuls12ad.5	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
ltmuls12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
ltmuls12ad.7	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
ltmuls12ad.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ltmuls12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

Proof of Theorem ltmuls12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmuls12ad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltmuls12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulscld 28403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
4		ltmuls12ad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulscld 28403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
6		ltmuls12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
7	4, 6	mulscld 28403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
8		ltmuls12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
9		ltmuls12ad.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
10	1, 4, 9	ltlesd 28012	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
11	1, 4, 2, 8, 10	lemuls1ad 28450	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶))
12		ltmuls12ad.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)
13		0no 28077	. . . . . 6 ⊢ 0s ∈ No
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
15		ltmuls12ad.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
16	14, 1, 4, 15, 9	leltstrd 28004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)
17	2, 6, 4, 16	ltmuls2d 28440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 𝐷 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷)))
18	12, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))
19	3, 5, 7, 11, 18	leltstrd 28004	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414   No csur 27879   <s clts 27880   ≤s cles 27983   0_s c0s 28073   ·_s cmuls 28374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-1o 8458  df-2o 8459  df-nadd 8657  df-no 27882  df-lts 27883  df-bday 27884  df-les 27984  df-slts 28026  df-cuts 28028  df-0s 28075  df-made 28095  df-old 28096  df-left 28098  df-right 28099  df-norec 28206  df-norec2 28217  df-adds 28228  df-negs 28289  df-subs 28290  df-muls 28375

This theorem is used by:  remulscllem2  28769