Theorem ltmuls12ad 28576

Description: Comparison of the product of two positive surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmuls12ad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
ltmuls12ad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
ltmuls12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
ltmuls12ad.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No)
ltmuls12ad.5	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
ltmuls12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
ltmuls12ad.7	⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
ltmuls12ad.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ltmuls12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

Proof of Theorem ltmuls12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmuls12ad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		ltmuls12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
3	1, 2	mulscld 28528	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No)
4		ltmuls12ad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
5	4, 2	mulscld 28528	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No)
6		ltmuls12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No)
7	4, 6	mulscld 28528	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No)
8		ltmuls12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐶)
9		ltmuls12ad.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
10	1, 4, 9	ltlesd 28137	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
11	1, 4, 2, 8, 10	lemuls1ad 28575	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶))
12		ltmuls12ad.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)
13		0no 28202	. . . . . 6 ⊢ 0s ∈ No
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No)
15		ltmuls12ad.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s ≤s 𝐴)
16	14, 1, 4, 15, 9	leltstrd 28129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)
17	2, 6, 4, 16	ltmuls2d 28565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 𝐷 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷)))
18	12, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))
19	3, 5, 7, 11, 18	leltstrd 28129	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) <s (𝐵 ·s 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7422  Nocsur 28004   <s clts 28005   ≤s cles 28108   0_s c0s 28198   ·_s cmuls 28499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-1o 8481  df-2o 8482  df-nadd 8680  df-no 28007  df-lts 28008  df-bday 28009  df-les 28109  df-slts 28151  df-cuts 28153  df-0s 28200  df-made 28220  df-old 28221  df-left 28223  df-right 28224  df-norec 28331  df-norec2 28342  df-adds 28353  df-negs 28414  df-subs 28415  df-muls 28500

This theorem is used by:  remulscllem2  28894