Theorem n0subs2 28353

Description: Subtraction of non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0subs2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

Proof of Theorem n0subs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0subs 28352	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))
2		n0no 28312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 𝑁 ∈ No )
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑁 ∈ No )
4		n0no 28312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0s → 𝑀 ∈ No )
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑀 ∈ No )
6	3, 5	subseq0d 28094	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) = 0s ↔ 𝑁 = 𝑀))
7	6	necon3bid 2977	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ↔ 𝑁 ≠ 𝑀))
8	7	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
9	1, 8	anbi12d 633	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
10	5, 3	ltlesnd 27736	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
11		elnns 28329	. . 3 ⊢ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
13	9, 10, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7364   No csur 27600   <s clts 27601   ≤s cles 27705   0_s c0s 27794   -_s csubs 28009  ℕ_0scn0s 28301  ℕ_scnns 28302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-nadd 8599  df-no 27603  df-lts 27604  df-bday 27605  df-les 27706  df-slts 27747  df-cuts 27749  df-0s 27796  df-1s 27797  df-made 27816  df-old 27817  df-left 27819  df-right 27820  df-norec 27927  df-norec2 27938  df-adds 27949  df-negs 28010  df-subs 28011  df-n0s 28303  df-nns 28304

This theorem is referenced by:  n0ltsp1le  28354