Theorem n0subs2 28376

Description: Subtraction of non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0subs2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

Proof of Theorem n0subs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0subs 28375	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))
2		n0no 28335	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 𝑁 ∈ No )
3	2	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑁 ∈ No )
4		n0no 28335	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0s → 𝑀 ∈ No )
5	4	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑀 ∈ No )
6	3, 5	subseq0d 28117	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) = 0s ↔ 𝑁 = 𝑀))
7	6	necon3bid 2980	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ↔ 𝑁 ≠ 𝑀))
8	7	bicomd 225	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
9	1, 8	anbi12d 639	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
10	5, 3	ltlesnd 27759	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
11		elnns 28352	. . 3 ⊢ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
13	9, 10, 12	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359   No csur 27624   <s clts 27625   ≤s cles 27728   0_s c0s 27817   -_s csubs 28032  ℕ_0scn0s 28324  ℕ_scnns 28325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-les 27729  df-slts 27770  df-cuts 27772  df-0s 27819  df-1s 27820  df-made 27839  df-old 27840  df-left 27842  df-right 27843  df-norec 27950  df-norec2 27961  df-adds 27972  df-negs 28033  df-subs 28034  df-n0s 28326  df-nns 28327

This theorem is referenced by:  n0ltsp1le  28377