Theorem n0subs2 28683

Description: Subtraction of non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0subs2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

Proof of Theorem n0subs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0subs 28682	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))
2		n0no 28642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 𝑁 ∈ No )
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑁 ∈ No )
4		n0no 28642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0s → 𝑀 ∈ No )
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑀 ∈ No )
6	3, 5	subseq0d 28424	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) = 0s ↔ 𝑁 = 𝑀))
7	6	necon3bid 2999	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ↔ 𝑁 ≠ 𝑀))
8	7	bicomd 226	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
9	1, 8	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
10	5, 3	ltlesnd 28065	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
11		elnns 28659	. . 3 ⊢ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
13	9, 10, 12	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408   No csur 27930   <s clts 27931   ≤s cles 28034   0_s c0s 28124   -_s csubs 28339  ℕ_0scn0s 28631  ℕ_scnns 28632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-nadd 8653  df-no 27933  df-lts 27934  df-bday 27935  df-les 28035  df-slts 28077  df-cuts 28079  df-0s 28126  df-1s 28127  df-made 28146  df-old 28147  df-left 28149  df-right 28150  df-norec 28257  df-norec2 28268  df-adds 28279  df-negs 28340  df-subs 28341  df-n0s 28633  df-nns 28634

This theorem is used by:  n0ltsp1le  28684