Theorem n0subs2 28464

Description: Subtraction of non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0subs2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

Proof of Theorem n0subs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0subs 28463	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))
2		n0no 28423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 𝑁 ∈ No )
3	2	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑁 ∈ No )
4		n0no 28423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0s → 𝑀 ∈ No )
5	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑀 ∈ No )
6	3, 5	subseq0d 28205	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) = 0s ↔ 𝑁 = 𝑀))
7	6	necon3bid 3002	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ↔ 𝑁 ≠ 𝑀))
8	7	bicomd 225	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
9	1, 8	anbi12d 641	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
10	5, 3	ltlesnd 27846	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
11		elnns 28440	. . 3 ⊢ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
13	9, 10, 12	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5101  (class class class)co 7396   No csur 27711   <s clts 27712   ≤s cles 27815   0_s c0s 27905   -_s csubs 28120  ℕ_0scn0s 28412  ℕ_scnns 28413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-nadd 8636  df-no 27714  df-lts 27715  df-bday 27716  df-les 27816  df-slts 27858  df-cuts 27860  df-0s 27907  df-1s 27908  df-made 27927  df-old 27928  df-left 27930  df-right 27931  df-norec 28038  df-norec2 28049  df-adds 28060  df-negs 28121  df-subs 28122  df-n0s 28414  df-nns 28415

This theorem is referenced by:  n0ltsp1le  28465