Theorem n0subs2 28261

Description: Subtraction of non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0subs2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

Proof of Theorem n0subs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0subs 28260	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))
2		n0sno 28223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 𝑁 ∈ No )
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑁 ∈ No )
4		n0sno 28223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0s → 𝑀 ∈ No )
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑀 ∈ No )
6	3, 5	subseq0d 28015	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) = 0s ↔ 𝑁 = 𝑀))
7	6	necon3bid 2969	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ↔ 𝑁 ≠ 𝑀))
8	7	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
9	1, 8	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
10	5, 3	sltlend 27681	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑀 ≤s 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
11		elnns 28239	. . 3 ⊢ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s ))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 -s 𝑀) ≠ 0s )))
13	9, 10, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕs))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349   No csur 27549   <s cslt 27550   ≤s csle 27654   0_s c0s 27737   -_s csubs 27933  ℕ_0scnn0s 28213  ℕ_scnns 28214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-nadd 8584  df-no 27552  df-slt 27553  df-bday 27554  df-sle 27655  df-sslt 27692  df-scut 27694  df-0s 27739  df-1s 27740  df-made 27759  df-old 27760  df-left 27762  df-right 27763  df-norec 27852  df-norec2 27863  df-adds 27874  df-negs 27934  df-subs 27935  df-n0s 28215  df-nns 28216

This theorem is referenced by:  n0sltp1le  28262