Theorem nnsgt0 28541

Description: A positive integer is greater than zero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnsgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 0s <s 𝐴)

Proof of Theorem nnsgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssn0s 28523	. . . 4 ⊢ ℕs ⊆ ℕ0s
2	1	sseli 3933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ ℕ0s)
3		n0sge0 28540	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 0s ≤s 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 0s ≤s 𝐴)
5		nnne0s 28539	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ≠ 0s )
6		0no 28011	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 0s ∈ No )
8		nnno 28526	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ No )
9	7, 8	ltlesnd 27948	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → ( 0s <s 𝐴 ↔ ( 0s ≤s 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0s )))
10	4, 5, 9	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 0s <s 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109   No csur 27813   <s clts 27814   ≤s cles 27917   0_s c0s 28007  ℕ_0scn0s 28514  ℕ_scnns 28515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-nadd 8648  df-no 27816  df-lts 27817  df-bday 27818  df-les 27918  df-slts 27960  df-cuts 27962  df-0s 28009  df-1s 28010  df-made 28029  df-old 28030  df-left 28032  df-right 28033  df-norec2 28151  df-adds 28162  df-n0s 28516  df-nns 28517

This theorem is used by:  nnsrecgt0d  28553  eucliddivs  28578  elnnzs  28603  expnnsval  28628  pw2gt0divsd  28647  pw2ge0divsd  28648  pw2ltdivmulsd  28652  pw2ltmuldivs2d  28653  pw2ltdivmuls2d  28659  halfcut  28660  pw2cut  28662  bdaypw2n0bndlem  28665  bdayfinbndlem1  28669  z12bdaylem1  28672  1reno  28699