Theorem nnsgt0 28349

Description: A positive integer is greater than zero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnsgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 0s <s 𝐴)

Proof of Theorem nnsgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssn0s 28331	. . . 4 ⊢ ℕs ⊆ ℕ0s
2	1	sseli 3918	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ ℕ0s)
3		n0sge0 28348	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 0s ≤s 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 0s ≤s 𝐴)
5		nnne0s 28347	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ≠ 0s )
6		0no 27819	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 0s ∈ No )
8		nnno 28334	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝐴 ∈ No )
9	7, 8	ltlesnd 27757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → ( 0s <s 𝐴 ↔ ( 0s ≤s 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0s )))
10	4, 5, 9	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 0s <s 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086   No csur 27621   <s clts 27622   ≤s cles 27726   0_s c0s 27815  ℕ_0scn0s 28322  ℕ_scnns 28323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-nadd 8597  df-no 27624  df-lts 27625  df-bday 27626  df-les 27727  df-slts 27768  df-cuts 27770  df-0s 27817  df-1s 27818  df-made 27837  df-old 27838  df-left 27840  df-right 27841  df-norec2 27959  df-adds 27970  df-n0s 28324  df-nns 28325

This theorem is referenced by:  nnsrecgt0d  28361  eucliddivs  28386  elnnzs  28411  expnnsval  28436  pw2gt0divsd  28455  pw2ge0divsd  28456  pw2ltdivmulsd  28460  pw2ltmuldivs2d  28461  pw2ltdivmuls2d  28467  halfcut  28468  pw2cut  28470  bdaypw2n0bndlem  28473  bdayfinbndlem1  28477  z12bdaylem1  28480  1reno  28507