MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexp2 14189
Description: Strict ordering law for exponentiation of a fixed real base greater than 1 to integer exponents. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltexp2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) < (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem ltexp2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7432 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
2 oveq2 7432 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑀))
3 oveq2 7432 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑁))
4 zssre 12617 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
5 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 0red 11267 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
7 1red 11265 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
8 0lt1 11786 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
10 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
116, 7, 5, 9, 10lttrd 11425 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
125, 11elrpd 13067 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
13 rpexpcl 14100 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ+)
1412, 13sylan 578 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ+)
1514rpred 13070 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
16 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
18 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
19 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 < 𝐴)
20 ltexp2a 14185 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑥 < 𝑦)) → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦))
2120expr 455 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦)))
2216, 17, 18, 19, 21syl31anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦)))
231, 2, 3, 4, 15, 22ltord1 11790 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) < (𝐴𝑁)))
2423ancom2s 648 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) < (𝐴𝑁)))
2524exp43 435 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) < (𝐴𝑁))))))
2625com24 95 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) < (𝐴𝑁))))))
27263imp1 1344 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) < (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298  cz 12610  +crp 13028  cexp 14081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082
This theorem is referenced by:  leexp2  14190  ltexp2r  14192  ltexp2d  14268
  Copyright terms: Public domain W3C validator