Theorem ltexp2 13121

Description: Ordering law for exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltexp2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem ltexp2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
2		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑀))
3		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑁))
4		zssre 11631	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5		simpl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0red 10297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
7		1red 10294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
8		0lt1 10804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
10		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
11	6, 7, 5, 9, 10	lttrd 10452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
12	5, 11	elrpd 12067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
13		rpexpcl 13086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℝ+)
14	12, 13	sylan 575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 12070	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℝ)
16		simpll 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simprl 787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simprr 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
19		simplr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 < 𝐴)
20		ltexp2a 13119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐴↑𝑥) < (𝐴↑𝑦))
21	20	expr 448	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴↑𝑥) < (𝐴↑𝑦)))
22	16, 17, 18, 19, 21	syl31anc 1492	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴↑𝑥) < (𝐴↑𝑦)))
23	1, 2, 3, 4, 15, 22	ltord1 10808	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))
24	23	ancom2s 640	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))
25	24	exp43 427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁))))))
26	25	com24 95	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁))))))
27	26	3imp1 1456	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   ∈ wcel 2155   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  ℝcr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   < clt 10328  ℤcz 11624  ℝ⁺crp 12028  ↑cexp 13067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-seq 13009  df-exp 13068

This theorem is referenced by:  leexp2  13122  ltexp2r  13124  ltexp2d  13245