Theorem rpexpmord 14140

Description: Base ordering relationship for exponentiation of positive reals to a fixed positive integer exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpmord	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem rpexpmord

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7397	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎↑𝑁) = (𝑏↑𝑁))
2		oveq1 7397	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
3		oveq1 7397	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝑎↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
4		rpssre 12966	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5		rpre 12967	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
6		nnnn0 12456	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		reexpcl 14050	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑎↑𝑁) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎↑𝑁) ∈ ℝ)
9		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ+)
10	9	rpred 13002	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
11		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ+)
12	11	rpred 13002	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
13	9	rpge0d 13006	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
15		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		expmordi 14139	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁))
17	10, 12, 13, 14, 15, 16	syl221anc 1383	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁))
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁)))
19	1, 2, 3, 4, 8, 18	ltord1 11711	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
20	19	3impb 1114	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℝ⁺crp 12958  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  ltexp1d  14231  3lexlogpow2ineq2  42054  jm3.1lem1  43013