Theorem rpexpmord 38355

Description: Mantissa ordering relationship for exponentiation of positive reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpmord	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem rpexpmord

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6911	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎↑𝑁) = (𝑏↑𝑁))
2		oveq1 6911	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
3		oveq1 6911	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝑎↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
4		rpssre 12118	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5		rpre 12119	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
6		nnnn0 11625	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		reexpcl 13170	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑎↑𝑁) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anr 592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎↑𝑁) ∈ ℝ)
9		simplrl 797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ+)
10	9	rpred 12155	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
11		simplrr 798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ+)
12	11	rpred 12155	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
13	9	rpge0d 12159	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
14		simpr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
15		simpll 785	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		expmordi 38354	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁))
17	10, 12, 13, 14, 15, 16	syl221anc 1506	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁))
18	17	ex 403	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁)))
19	1, 2, 3, 4, 8, 18	ltord1 10877	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
20	19	3impb 1149	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4872  (class class class)co 6904  ℝcr 10250  0cc0 10251   < clt 10390   ≤ cle 10391  ℕcn 11349  ℕ₀cn0 11617  ℝ⁺crp 12111  ↑cexp 13153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-seq 13095  df-exp 13154

This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  38426