Theorem rpexpmord 13528

Description: Mantissa ordering relationship for exponentiation of positive reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpmord	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem rpexpmord

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7142	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎↑𝑁) = (𝑏↑𝑁))
2		oveq1 7142	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
3		oveq1 7142	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝑎↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
4		rpssre 12384	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5		rpre 12385	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
6		nnnn0 11892	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		reexpcl 13442	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑎↑𝑁) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anr 599	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎↑𝑁) ∈ ℝ)
9		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ+)
10	9	rpred 12419	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
11		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ+)
12	11	rpred 12419	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
13	9	rpge0d 12423	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
14		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
15		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		expmordi 13527	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁))
17	10, 12, 13, 14, 15, 16	syl221anc 1378	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁))
18	17	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁)))
19	1, 2, 3, 4, 8, 18	ltord1 11155	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
20	19	3impb 1112	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℝ⁺crp 12377  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  ltexp1d  39498  jm3.1lem1  39958