Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpmord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpexpmord 13537
 Description: Mantissa ordering relationship for exponentiation of positive reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpmord ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem rpexpmord
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7156 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑁) = (𝑏𝑁))
2 oveq1 7156 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑁) = (𝐴𝑁))
3 oveq1 7156 . . 3 (𝑎 = 𝐵 → (𝑎𝑁) = (𝐵𝑁))
4 rpssre 12393 . . 3 + ⊆ ℝ
5 rpre 12394 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
6 nnnn0 11901 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 reexpcl 13451 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑎𝑁) ∈ ℝ)
85, 6, 7syl2anr 599 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎𝑁) ∈ ℝ)
9 simplrl 776 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ+)
109rpred 12428 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
11 simplrr 777 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ+)
1211rpred 12428 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
139rpge0d 12432 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
14 simpr 488 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
15 simpll 766 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
16 expmordi 13536 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎𝑁) < (𝑏𝑁))
1710, 12, 13, 14, 15, 16syl221anc 1378 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎𝑁) < (𝑏𝑁))
1817ex 416 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑎𝑁) < (𝑏𝑁)))
191, 2, 3, 4, 8, 18ltord1 11164 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
20193impb 1112 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  0cc0 10535   < clt 10673   ≤ cle 10674  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  ℝ+crp 12386  ↑cexp 13434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435 This theorem is referenced by:  ltexp1d  39432  jm3.1lem1  39878
 Copyright terms: Public domain W3C validator