Theorem rpexpmord 14351

Description: Base ordering relationship for exponentiation of positive reals to a fixed positive integer exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpmord	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem rpexpmord

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7458	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎↑𝑁) = (𝑏↑𝑁))
2		oveq1 7458	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
3		oveq1 7458	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝑎↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
4		rpssre 13168	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5		rpre 13169	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
6		nnnn0 12653	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		reexpcl 14261	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑎↑𝑁) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎↑𝑁) ∈ ℝ)
9		simplrl 789	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ+)
10	9	rpred 13204	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
11		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ+)
12	11	rpred 13204	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
13	9	rpge0d 13208	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
15		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		expmordi 14350	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁))
17	10, 12, 13, 14, 15, 16	syl221anc 1409	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁))
18	17	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑎↑𝑁) < (𝑏↑𝑁)))
19	1, 2, 3, 4, 8, 18	ltord1 11882	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
20	19	3impb 1132	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℝ⁺crp 13160  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  ltexp1d  14444  3lexlogpow2ineq2  43375  jm3.1lem1  44290