MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflt 15218
Description: The exponential function on the reals is strictly increasing. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eflt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem eflt
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1663 . 2
2 fveq2 6432 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
3 fveq2 6432 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐴))
4 fveq2 6432 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐵))
5 ssid 3847 . . 3 ℝ ⊆ ℝ
6 reefcl 15188 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
76adantl 475 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
8 simp2 1173 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
9 simp1 1172 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 10781 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℝ)
11 posdif 10844 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦𝑥)))
1211biimp3a 1599 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (𝑦𝑥))
1310, 12elrpd 12152 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℝ+)
14 efgt1 15217 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑥) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝑦𝑥)))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 < (exp‘(𝑦𝑥)))
169reefcld 15189 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
1710reefcld 15189 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑦𝑥)) ∈ ℝ)
18 efgt0 15204 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝑥))
199, 18syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (exp‘𝑥))
20 ltmulgt11 11212 . . . . . . . 8 (((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝑦𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘𝑥)) → (1 < (exp‘(𝑦𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥)))))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1496 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 < (exp‘(𝑦𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥)))))
2215, 21mpbid 224 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))))
239recnd 10384 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
2410recnd 10384 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
25 efadd 15195 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑦𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))))
2623, 24, 25syl2anc 581 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))))
278recnd 10384 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
2823, 27pncan3d 10715 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 + (𝑦𝑥)) = 𝑦)
2928fveq2d 6436 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦𝑥))) = (exp‘𝑦))
3026, 29eqtr3d 2862 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))) = (exp‘𝑦))
3122, 30breqtrd 4898 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦))
32313expia 1156 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
3332adantl 475 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
342, 3, 4, 5, 7, 33ltord1 10877 . 2 ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))
351, 34mpan 683 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wtru 1659  wcel 2166   class class class wbr 4872  cfv 6122  (class class class)co 6904  cc 10249  cr 10250  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254   · cmul 10256   < clt 10390  cmin 10584  +crp 12111  expce 15163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-ico 12468  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-seq 13095  df-exp 13154  df-fac 13353  df-bc 13382  df-hash 13410  df-shft 14183  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-limsup 14578  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-ef 15169
This theorem is referenced by:  efle  15219  reefiso  24600  logdivlti  24764  divlogrlim  24779  cxplt  24838  birthday  25093  cxploglim  25116  emgt0  25145  bposlem6  25426  bposlem9  25429  pntpbnd1a  25686  pntibndlem2  25692  pntlemb  25698  ostth2lem3  25736  ostth2  25738
  Copyright terms: Public domain W3C validator