Theorem eflt 16205

Description: The exponential function on the reals is strictly increasing. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eflt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem eflt

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1574	. 2 ⊢ ⊤
2		fveq2 6878	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
3		fveq2 6878	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐴))
4		fveq2 6878	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐵))
5		ssid 3953	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
6		reefcl 16173	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
8		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
9		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	8, 9	resubcld 11666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ)
11		posdif 11731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦 − 𝑥)))
12	11	biimp3a 1498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (𝑦 − 𝑥))
13	10, 12	elrpd 13083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ+)
14		efgt1 16204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)))
16	9	reefcld 16174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
17	10	reefcld 16174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)
18		efgt0 16191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝑥))
19	9, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (exp‘𝑥))
20		ltmulgt11 12098	. . . . . . . 8 ⊢ (((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘𝑥)) → (1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥)))))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥)))))
22	15, 21	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))))
23	9	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	10	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
25		efadd 16180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑦 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))))
26	23, 24, 25	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))))
27	8	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
28	23, 27	pncan3d 11596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 + (𝑦 − 𝑥)) = 𝑦)
29	28	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦 − 𝑥))) = (exp‘𝑦))
30	26, 29	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))) = (exp‘𝑦))
31	22, 30	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦))
32	31	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
33	32	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
34	2, 3, 4, 5, 7, 33	ltord1 11764	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))
35	1, 34	mpan 703	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   − cmin 11465  ℝ⁺crp 13042  expce 16147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153

This theorem is used by:  efle  16206  reefiso  26684  logdivlti  26857  divlogrlim  26872  cxplt  26931  birthday  27191  cxploglim  27214  bposlem6  27525  bposlem9  27528  pntpbnd1a  27821  pntibndlem2  27827  pntlemb  27833  ostth2lem3  27871  ostth2  27873