MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflt 16087
Description: The exponential function on the reals is strictly increasing. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eflt ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (expโ€˜๐ด) < (expโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem eflt
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1538 . 2 โŠค
2 fveq2 6891 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐‘ฆ))
3 fveq2 6891 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐ด))
4 fveq2 6891 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐ต))
5 ssid 4000 . . 3 โ„ โІ โ„
6 reefcl 16057 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
76adantl 481 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
8 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
9 simp1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
108, 9resubcld 11666 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
11 posdif 11731 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†” 0 < (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1211biimp3a 1466 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ 0 < (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
1310, 12elrpd 13039 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
14 efgt1 16086 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ 1 < (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
169reefcld 16058 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
1710reefcld 16058 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
18 efgt0 16073 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 < (expโ€˜๐‘ฅ))
199, 18syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ 0 < (expโ€˜๐‘ฅ))
20 ltmulgt11 12098 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (expโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ (1 < (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โ†” (expโ€˜๐‘ฅ) < ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (1 < (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โ†” (expโ€˜๐‘ฅ) < ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
2215, 21mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) < ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
239recnd 11266 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2410recnd 11266 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
25 efadd 16064 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฅ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) = ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
2623, 24, 25syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฅ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) = ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
278recnd 11266 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
2823, 27pncan3d 11598 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) = ๐‘ฆ)
2928fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฅ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (expโ€˜๐‘ฆ))
3026, 29eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (expโ€˜๐‘ฆ))
3122, 30breqtrd 5168 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) < (expโ€˜๐‘ฆ))
32313expia 1119 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) < (expโ€˜๐‘ฆ)))
3332adantl 481 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) < (expโ€˜๐‘ฆ)))
342, 3, 4, 5, 7, 33ltord1 11764 . 2 ((โŠค โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (expโ€˜๐ด) < (expโ€˜๐ต)))
351, 34mpan 689 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (expโ€˜๐ด) < (expโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534  โŠคwtru 1535   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   ยท cmul 11137   < clt 11272   โˆ’ cmin 11468  โ„+crp 13000  expce 16031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-ico 13356  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-ef 16037
This theorem is referenced by:  efle  16088  reefiso  26378  logdivlti  26547  divlogrlim  26562  cxplt  26621  birthday  26879  cxploglim  26903  bposlem6  27215  bposlem9  27218  pntpbnd1a  27511  pntibndlem2  27517  pntlemb  27523  ostth2lem3  27561  ostth2  27563
  Copyright terms: Public domain W3C validator