Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflt 15459
 Description: The exponential function on the reals is strictly increasing. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eflt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem eflt
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1542 . 2
2 fveq2 6651 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
3 fveq2 6651 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐴))
4 fveq2 6651 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐵))
5 ssid 3973 . . 3 ℝ ⊆ ℝ
6 reefcl 15429 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
76adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
8 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
9 simp1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 11053 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℝ)
11 posdif 11118 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦𝑥)))
1211biimp3a 1466 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (𝑦𝑥))
1310, 12elrpd 12414 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℝ+)
14 efgt1 15458 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑥) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝑦𝑥)))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 < (exp‘(𝑦𝑥)))
169reefcld 15430 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
1710reefcld 15430 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑦𝑥)) ∈ ℝ)
18 efgt0 15445 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝑥))
199, 18syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (exp‘𝑥))
20 ltmulgt11 11485 . . . . . . . 8 (((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝑦𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘𝑥)) → (1 < (exp‘(𝑦𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥)))))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 < (exp‘(𝑦𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥)))))
2215, 21mpbid 235 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))))
239recnd 10654 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
2410recnd 10654 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
25 efadd 15436 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑦𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))))
2623, 24, 25syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))))
278recnd 10654 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
2823, 27pncan3d 10985 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 + (𝑦𝑥)) = 𝑦)
2928fveq2d 6655 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦𝑥))) = (exp‘𝑦))
3026, 29eqtr3d 2861 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))) = (exp‘𝑦))
3122, 30breqtrd 5073 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦))
32313expia 1118 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
3332adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
342, 3, 4, 5, 7, 33ltord1 11151 . 2 ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))
351, 34mpan 689 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5047  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  ℂcc 10520  ℝcr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527   < clt 10660   − cmin 10855  ℝ+crp 12375  expce 15404 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-ico 12730  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14415  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-limsup 14817  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-ef 15410 This theorem is referenced by:  efle  15460  reefiso  25032  logdivlti  25200  divlogrlim  25215  cxplt  25274  birthday  25529  cxploglim  25552  bposlem6  25862  bposlem9  25865  pntpbnd1a  26158  pntibndlem2  26164  pntlemb  26170  ostth2lem3  26208  ostth2  26210
 Copyright terms: Public domain W3C validator