Theorem eflt 16087

Description: The exponential function on the reals is strictly increasing. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eflt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem eflt

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1538	. 2 ⊢ ⊤
2		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
3		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐴))
4		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐵))
5		ssid 4000	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
6		reefcl 16057	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
8		simp2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
9		simp1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	8, 9	resubcld 11666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ)
11		posdif 11731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦 − 𝑥)))
12	11	biimp3a 1466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (𝑦 − 𝑥))
13	10, 12	elrpd 13039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ+)
14		efgt1 16086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)))
16	9	reefcld 16058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
17	10	reefcld 16058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)
18		efgt0 16073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝑥))
19	9, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (exp‘𝑥))
20		ltmulgt11 12098	. . . . . . . 8 ⊢ (((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘𝑥)) → (1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥)))))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥)))))
22	15, 21	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))))
23	9	recnd 11266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	10	recnd 11266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
25		efadd 16064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑦 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))))
26	23, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))))
27	8	recnd 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
28	23, 27	pncan3d 11598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 + (𝑦 − 𝑥)) = 𝑦)
29	28	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦 − 𝑥))) = (exp‘𝑦))
30	26, 29	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))) = (exp‘𝑦))
31	22, 30	breqtrd 5168	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦))
32	31	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
33	32	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
34	2, 3, 4, 5, 7, 33	ltord1 11764	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))
35	1, 34	mpan 689	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  ℝcr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272   − cmin 11468  ℝ⁺crp 13000  expce 16031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-ico 13356  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-ef 16037

This theorem is referenced by:  efle  16088  reefiso  26378  logdivlti  26547  divlogrlim  26562  cxplt  26621  birthday  26879  cxploglim  26903  bposlem6  27215  bposlem9  27218  pntpbnd1a  27511  pntibndlem2  27517  pntlemb  27523  ostth2lem3  27561  ostth2  27563