MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflt 16059
Description: The exponential function on the reals is strictly increasing. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eflt ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (expโ€˜๐ด) < (expโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem eflt
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1537 . 2 โŠค
2 fveq2 6882 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐‘ฆ))
3 fveq2 6882 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐ด))
4 fveq2 6882 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐ต))
5 ssid 3997 . . 3 โ„ โІ โ„
6 reefcl 16029 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
76adantl 481 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
8 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
9 simp1 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
108, 9resubcld 11640 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
11 posdif 11705 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†” 0 < (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1211biimp3a 1465 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ 0 < (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
1310, 12elrpd 13011 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
14 efgt1 16058 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ 1 < (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
169reefcld 16030 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
1710reefcld 16030 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
18 efgt0 16045 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 < (expโ€˜๐‘ฅ))
199, 18syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ 0 < (expโ€˜๐‘ฅ))
20 ltmulgt11 12072 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (expโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ (1 < (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โ†” (expโ€˜๐‘ฅ) < ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (1 < (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โ†” (expโ€˜๐‘ฅ) < ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
2215, 21mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) < ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
239recnd 11240 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2410recnd 11240 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
25 efadd 16036 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฅ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) = ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
2623, 24, 25syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฅ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) = ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
278recnd 11240 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
2823, 27pncan3d 11572 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) = ๐‘ฆ)
2928fveq2d 6886 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฅ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (expโ€˜๐‘ฆ))
3026, 29eqtr3d 2766 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) ยท (expโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (expโ€˜๐‘ฆ))
3122, 30breqtrd 5165 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) < (expโ€˜๐‘ฆ))
32313expia 1118 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) < (expโ€˜๐‘ฆ)))
3332adantl 481 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) < (expโ€˜๐‘ฆ)))
342, 3, 4, 5, 7, 33ltord1 11738 . 2 ((โŠค โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (expโ€˜๐ด) < (expโ€˜๐ต)))
351, 34mpan 687 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (expโ€˜๐ด) < (expโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5139  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   < clt 11246   โˆ’ cmin 11442  โ„+crp 12972  expce 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-ico 13328  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-fac 14232  df-bc 14261  df-hash 14289  df-shft 15012  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-ef 16009
This theorem is referenced by:  efle  16060  reefiso  26304  logdivlti  26473  divlogrlim  26488  cxplt  26547  birthday  26805  cxploglim  26829  bposlem6  27141  bposlem9  27144  pntpbnd1a  27437  pntibndlem2  27443  pntlemb  27449  ostth2lem3  27487  ostth2  27489
  Copyright terms: Public domain W3C validator