Theorem eflt 16042

Description: The exponential function on the reals is strictly increasing. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eflt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem eflt

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1545	. 2 ⊢ ⊤
2		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
3		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐴))
4		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐵))
5		ssid 3956	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
6		reefcl 16010	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
8		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
9		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	8, 9	resubcld 11565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ)
11		posdif 11630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦 − 𝑥)))
12	11	biimp3a 1471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (𝑦 − 𝑥))
13	10, 12	elrpd 12946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ+)
14		efgt1 16041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)))
16	9	reefcld 16011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
17	10	reefcld 16011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)
18		efgt0 16028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝑥))
19	9, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (exp‘𝑥))
20		ltmulgt11 12001	. . . . . . . 8 ⊢ (((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘𝑥)) → (1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥)))))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 < (exp‘(𝑦 − 𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥)))))
22	15, 21	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))))
23	9	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	10	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
25		efadd 16017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑦 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))))
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))))
27	8	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
28	23, 27	pncan3d 11495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 + (𝑦 − 𝑥)) = 𝑦)
29	28	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦 − 𝑥))) = (exp‘𝑦))
30	26, 29	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦 − 𝑥))) = (exp‘𝑦))
31	22, 30	breqtrd 5124	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦))
32	31	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
33	32	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
34	2, 3, 4, 5, 7, 33	ltord1 11663	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))
35	1, 34	mpan 690	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   − cmin 11364  ℝ⁺crp 12905  expce 15984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990

This theorem is referenced by:  efle  16043  reefiso  26414  logdivlti  26585  divlogrlim  26600  cxplt  26659  birthday  26920  cxploglim  26944  bposlem6  27256  bposlem9  27259  pntpbnd1a  27552  pntibndlem2  27558  pntlemb  27564  ostth2lem3  27602  ostth2  27604