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Theorem cdlemg17 36752
Description: Part of Lemma G of [Crawley] p. 117, lines 7 and 8. We show an argument whose value at 𝐺 equals itself. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 12-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑟)   𝐻(𝑟)   𝐾(𝑟)   (𝑟)

Proof of Theorem cdlemg17
StepHypRef Expression
1 simp11 1266 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp22 1270 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐺𝑇)
3 simp12l 1391 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝐴)
4 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 cdlemg12.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 35364 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8 simp21 1269 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐹𝑇)
9 cdlemg12.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
10 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
129, 5, 10, 11ltrncoat 36219 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
131, 8, 2, 3, 12syl121anc 1500 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
144, 5atbase 35364 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
16 cdlemg12.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
174, 16, 10, 11ltrnj 36207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝐺‘(𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃)))) = ((𝐺𝑃) (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑃)))))
181, 2, 7, 15, 17syl112anc 1499 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃)))) = ((𝐺𝑃) (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑃)))))
19 simp1 1172 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
20 simp23 1271 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝑄)
21 simp3 1174 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟))))
22 cdlemg12.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
23 cdlemg12b.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
249, 16, 22, 5, 10, 11, 23cdlemg17b 36737 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺𝑃) = 𝑄)
2519, 2, 20, 21, 24syl121anc 1500 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺𝑃) = 𝑄)
2625fveq2d 6437 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) = (𝐹𝑄))
2726fveq2d 6437 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑃))) = (𝐺‘(𝐹𝑄)))
289, 16, 22, 5, 10, 11, 23cdlemg17jq 36751 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝐹𝑄)) = (𝐹‘(𝐺𝑄)))
2927, 28eqtrd 2861 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑃))) = (𝐹‘(𝐺𝑄)))
3025, 29oveq12d 6923 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐺𝑃) (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑃)))) = (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))
3118, 30eqtrd 2861 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃)))) = (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))
32 simp13l 1393 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑄𝐴)
334, 5atbase 35364 . . . . . 6 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3432, 33syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
359, 5, 10, 11ltrncoat 36219 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑄𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ 𝐴)
361, 8, 2, 32, 35syl121anc 1500 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ 𝐴)
374, 5atbase 35364 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
3836, 37syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
394, 16, 10, 11ltrnj 36207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝐺‘(𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) = ((𝐺𝑄) (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑄)))))
401, 2, 34, 38, 39syl112anc 1499 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) = ((𝐺𝑄) (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑄)))))
419, 16, 22, 5, 10, 11, 23cdlemg17bq 36748 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺𝑄) = 𝑃)
4241fveq2d 6437 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) = (𝐹𝑃))
4342fveq2d 6437 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝐺‘(𝐹𝑃)))
449, 16, 22, 5, 10, 11, 23cdlemg17j 36746 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝐹𝑃)) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
4543, 44eqtrd 2861 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
4641, 45oveq12d 6923 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐺𝑄) (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑄)))) = (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))))
4740, 46eqtrd 2861 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘(𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) = (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))))
4831, 47oveq12d 6923 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐺‘(𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃)))) (𝐺‘(𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
49 simp11l 1389 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
504, 16, 5hlatjcl 35442 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
5149, 3, 13, 50syl3anc 1496 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
524, 16, 5hlatjcl 35442 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) ∈ (Base‘𝐾))
5349, 32, 36, 52syl3anc 1496 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) ∈ (Base‘𝐾))
544, 22, 10, 11ltrnm 36206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝐺‘((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))) = ((𝐺‘(𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃)))) (𝐺‘(𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))))
551, 2, 51, 53, 54syl112anc 1499 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))) = ((𝐺‘(𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃)))) (𝐺‘(𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))))
5649hllatd 35439 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ Lat)
574, 22latmcom 17428 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
5856, 51, 53, 57syl3anc 1496 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
5948, 55, 583eqtr4d 2871 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wrex 3118   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  lecple 16312  joincjn 17297  meetcmee 17298  Latclat 17398  Atomscatm 35338  HLchlt 35425  LHypclh 36059  LTrncltrn 36176  trLctrl 36233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-riotaBAD 35028
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-undef 7664  df-map 8124  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234
This theorem is referenced by:  cdlemg18  36757
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