Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1200 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp22 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΊ β π) |
3 | | simp12l 1283 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β π΄) |
4 | | eqid 2726 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
5 | | cdlemg12.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 38672 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
8 | | simp21 1203 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΉ β π) |
9 | | cdlemg12.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdlemg12.h |
. . . . . . . 8
β’ π» = (LHypβπΎ) |
11 | | cdlemg12.t |
. . . . . . . 8
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
12 | 9, 5, 10, 11 | ltrncoat 39528 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π΄) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
13 | 1, 8, 2, 3, 12 | syl121anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
14 | 4, 5 | atbase 38672 |
. . . . . 6
β’ ((πΉβ(πΊβπ)) β π΄ β (πΉβ(πΊβπ)) β (BaseβπΎ)) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΉβ(πΊβπ)) β (BaseβπΎ)) |
16 | | cdlemg12.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
17 | 4, 16, 10, 11 | ltrnj 39516 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (πΉβ(πΊβπ)) β (BaseβπΎ))) β (πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ(πΉβ(πΊβπ))))) |
18 | 1, 2, 7, 15, 17 | syl112anc 1371 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ(πΉβ(πΊβπ))))) |
19 | | simp1 1133 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
20 | | simp23 1205 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β π) |
21 | | simp3 1135 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) |
22 | | cdlemg12.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
23 | | cdlemg12b.r |
. . . . . . 7
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
24 | 9, 16, 22, 5, 10, 11, 23 | cdlemg17b 40046 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβπ) = π) |
25 | 19, 2, 20, 21, 24 | syl121anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβπ) = π) |
26 | 25 | fveq2d 6889 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΉβπ)) |
27 | 26 | fveq2d 6889 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(πΉβ(πΊβπ))) = (πΊβ(πΉβπ))) |
28 | 9, 16, 22, 5, 10, 11, 23 | cdlemg17jq 40060 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(πΉβπ)) = (πΉβ(πΊβπ))) |
29 | 27, 28 | eqtrd 2766 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(πΉβ(πΊβπ))) = (πΉβ(πΊβπ))) |
30 | 25, 29 | oveq12d 7423 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((πΊβπ) β¨ (πΊβ(πΉβ(πΊβπ)))) = (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
31 | 18, 30 | eqtrd 2766 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) = (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
32 | | simp13l 1285 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β π΄) |
33 | 4, 5 | atbase 38672 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
35 | 9, 5, 10, 11 | ltrncoat 39528 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π΄) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
36 | 1, 8, 2, 32, 35 | syl121anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
37 | 4, 5 | atbase 38672 |
. . . . . 6
β’ ((πΉβ(πΊβπ)) β π΄ β (πΉβ(πΊβπ)) β (BaseβπΎ)) |
38 | 36, 37 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΉβ(πΊβπ)) β (BaseβπΎ)) |
39 | 4, 16, 10, 11 | ltrnj 39516 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (πΉβ(πΊβπ)) β (BaseβπΎ))) β (πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ(πΉβ(πΊβπ))))) |
40 | 1, 2, 34, 38, 39 | syl112anc 1371 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ(πΉβ(πΊβπ))))) |
41 | 9, 16, 22, 5, 10, 11, 23 | cdlemg17bq 40057 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβπ) = π) |
42 | 41 | fveq2d 6889 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΉβπ)) |
43 | 42 | fveq2d 6889 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(πΉβ(πΊβπ))) = (πΊβ(πΉβπ))) |
44 | 9, 16, 22, 5, 10, 11, 23 | cdlemg17j 40055 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(πΉβπ)) = (πΉβ(πΊβπ))) |
45 | 43, 44 | eqtrd 2766 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(πΉβ(πΊβπ))) = (πΉβ(πΊβπ))) |
46 | 41, 45 | oveq12d 7423 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((πΊβπ) β¨ (πΊβ(πΉβ(πΊβπ)))) = (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
47 | 40, 46 | eqtrd 2766 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) = (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
48 | 31, 47 | oveq12d 7423 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β§ (πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ))))) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))))) |
49 | | simp11l 1281 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΎ β HL) |
50 | 4, 16, 5 | hlatjcl 38750 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) |
51 | 49, 3, 13, 50 | syl3anc 1368 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) |
52 | 4, 16, 5 | hlatjcl 38750 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) |
53 | 49, 32, 36, 52 | syl3anc 1368 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) |
54 | 4, 22, 10, 11 | ltrnm 39515 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ))) β (πΊβ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))))) = ((πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β§ (πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))))) |
55 | 1, 2, 51, 53, 54 | syl112anc 1371 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))))) = ((πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β§ (πΊβ(π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))))) |
56 | 49 | hllatd 38747 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΎ β Lat) |
57 | 4, 22 | latmcom 18428 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))))) |
58 | 56, 51, 53, 57 | syl3anc 1368 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))))) |
59 | 48, 55, 58 | 3eqtr4d 2776 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))))) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))))) |