MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttri2d 11403
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lttri2d (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem lttri2d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 lttri2 11346 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 582 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 845  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  cr 11157   < clt 11298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303
This theorem is referenced by:  msqgt0  11784  ruclem12  16243  ftc1lem5  26066  coe1mul3  26126  lgsquadlem3  27411  sgnneg  34374  erdszelem9  35027  poimirlem2  37323  ftc1cnnc  37393  hashnexinjle  41827  aks6d1c5  41837  fphpdo  42474  cvgdvgrat  43987  fourierdlem42  45770
  Copyright terms: Public domain W3C validator