Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnexinjle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnexinjle 42110
Description: If the number of elements of the domain are greater than the number of elements in a codomain, then there are two different values that map to the same. Also we introduce a one sided inequality to simplify a duplicateable proof. (Contributed by metakunt, 2-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnexinjle.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hashnexinjle.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
hashnexinjle.3 (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
hashnexinjle.4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
hashnexinjle.5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hashnexinjle (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hashnexinjle
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦))
2 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
32eqeq2d 2745 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧)))
4 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑧))
53, 4anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧)))
6 fveqeq2 6915 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐹𝑧)))
7 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑧𝑤 < 𝑧))
86, 7anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → (((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑤 < 𝑧)))
95, 8cbvrex2vw 3239 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑤 < 𝑧))
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑤 < 𝑧)))
1110biimpd 229 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑤 < 𝑧)))
1211imp 406 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)) → ∃𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑤 < 𝑧))
13 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
1413eqeq2d 2745 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦)))
15 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤 < 𝑧𝑤 < 𝑦))
1614, 15anbi12d 632 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑤 < 𝑧) ↔ ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑤 < 𝑦)))
17 fveqeq2 6915 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
18 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
1917, 18anbi12d 632 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑤 < 𝑦) ↔ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)))
2016, 19cbvrex2vw 3239 . . . 4 (∃𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑤 < 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐴𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦))
2112, 20sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)) → ∃𝑦𝐴𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦))
22 rexcom 3287 . . 3 (∃𝑦𝐴𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦))
2321, 22sylib 218 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦))
24 hashnexinjle.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
25 hashnexinjle.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
26 hashnexinjle.3 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
27 hashnexinjle.4 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2824, 25, 26, 27hashnexinj 42109 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
29 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
3129, 30jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦))
3231orcd 873 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
33 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
3433eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
3634, 35jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥))
3736olcd 874 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
38 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
39 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝜑)
40 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥𝐴)
4139, 40jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝜑𝑥𝐴))
42 hashnexinjle.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4342sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
4739, 46jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝜑𝑦𝐴))
4842sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5145, 50lttri2d 11397 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
5238, 51mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
5332, 37, 52mpjaodan 960 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
5453ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥))))
5554reximdvva 3204 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥))))
5655imp 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
57 r19.43 3119 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐴 (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)) ↔ (∃𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ∃𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
5857rexbii 3091 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐴 (∃𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ∃𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
5956, 58sylib 218 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑥𝐴 (∃𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ∃𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
60 r19.43 3119 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (∃𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ∃𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)) ↔ (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
6159, 60sylib 218 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
6261ex 412 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥))))
6328, 62mpd 15 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∨ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
641, 23, 63mpjaodan 960 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  Fincfn 8983  cr 11151   < clt 11292  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  aks6d1c2  42111
  Copyright terms: Public domain W3C validator