Theorem ftc1lem5 26017

Description: Lemma for ftc1 26019. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
ftc1.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
ftc1.l	⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
ftc1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ftc1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5		ftc1.x1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6	4, 5	sseldd 3964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		ioossicc 13455	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8		ftc1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9	7, 8	sselid 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	4, 9	sseldd 3964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	6, 10	lttri2d 11382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝐶 ↔ (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋)))
12	11	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋))
13	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 < 𝐶)
16	14, 15	ltned 11379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ≠ 𝐶)
17		eldifsn 4766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 𝐶))
18	13, 16, 17	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
19		fveq2 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑋))
20	19	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) = ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)))
21		oveq1 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 − 𝐶) = (𝑋 − 𝐶))
22	20, 21	oveq12d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
23		ftc1.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
24		ovex 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
26	18, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
27		ftc1.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
28		ftc1.le	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
29		ftc1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
30		ftc1.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
31		ftc1.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
32		ftc1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
33		ftc1.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
34		ftc1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
35		ftc1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
36	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35	ftc1lem3 26015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
37	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36	ftc1lem2 26013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
38	37, 5	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
39	37, 9	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
40	38, 39	subcld 11602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
42	6	recnd 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
43	10	recnd 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 11602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ)
46	42, 43	subeq0ad 11612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐶))
47	46	necon3bid 2975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 𝐶))
48	47	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ≠ 0)
49	16, 48	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ≠ 0)
50	41, 45, 49	div2negd 12040	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
51	38, 39	negsubdi2d 11618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) = ((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)))
52	42, 43	negsubdi2d 11618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑋 − 𝐶) = (𝐶 − 𝑋))
53	51, 52	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
55	26, 50, 54	3eqtr2d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
56	55	fvoveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘((((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))))
57		ftc1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
58		ftc1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
59		ftc1.fc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
60		ftc1.x2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)
61	43	subidd 11590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) = 0)
62	61	abs00bd 15312	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐶)) = 0)
63	58	rpgt0d 13062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑅)
64	62, 63	eqbrtrd 5145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐶)) < 𝑅)
65	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 5, 60, 9, 64	ftc1lem4 26016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
66	56, 65	eqbrtrd 5145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
67	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
68	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
69		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝐶 < 𝑋)
70	68, 69	gtned 11378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐶)
71	67, 70, 17	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
72	71, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
73	72	fvoveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘((((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) − (𝐹‘𝐶))))
74	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 9, 64, 5, 60	ftc1lem4 26016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
75	73, 74	eqbrtrd 5145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
76	66, 75	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋)) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
77	12, 76	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  {csn 4606   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136  0cc0 11137   < clt 11277   ≤ cle 11278   − cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11902  ℝ⁺crp 13016  (,)cioo 13369  [,]cicc 13372  abscabs 15255   ↾_t crest 17436  TopOpenctopn 17437  ℂ_fldccnfld 21326   CnP ccnp 23179  𝐿¹cibl 25588  ∫citg 25589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cc 10457  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-symdif 4233  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-disj 5091  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-dju 9923  df-card 9961  df-acn 9964  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-hom 17297  df-cco 17298  df-rest 17438  df-topn 17439  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-topgen 17459  df-pt 17460  df-prds 17463  df-xrs 17518  df-qtop 17523  df-imas 17524  df-xps 17526  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-mulg 19055  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-cnfld 21327  df-top 22848  df-topon 22865  df-topsp 22887  df-bases 22900  df-cn 23181  df-cnp 23182  df-cmp 23341  df-tx 23516  df-hmeo 23709  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-cncf 24840  df-ovol 25435  df-vol 25436  df-mbf 25590  df-itg1 25591  df-itg2 25592  df-ibl 25593  df-itg 25594  df-0p 25641

This theorem is referenced by:  ftc1lem6  26018