Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem5 24649
 Description: Lemma for ftc1 24651. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem5 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 12819 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5 ftc1.x1 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64, 5sseldd 3955 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
7 ioossicc 12823 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8 ftc1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
97, 8sseldi 3952 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
104, 9sseldd 3955 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
116, 10lttri2d 10778 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐶 ↔ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)))
1211biimpa 480 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋))
135adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
146adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
15 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 < 𝐶)
1614, 15ltned 10775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋𝐶)
17 eldifsn 4705 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋𝐶))
1813, 16, 17sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
19 fveq2 6662 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑋))
2019oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)))
21 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐶) = (𝑋𝐶))
2220, 21oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
23 ftc1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
24 ovex 7183 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6760 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
2618, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
27 ftc1.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
28 ftc1.le . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
29 ftc1.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
30 ftc1.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
31 ftc1.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
32 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
33 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐿t ℝ)
34 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
35 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35ftc1lem3 24647 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3727, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36ftc1lem2 24645 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
3837, 5ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℂ)
3937, 9ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4038, 39subcld 10996 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
4140adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
426recnd 10668 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4310recnd 10668 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4442, 43subcld 10996 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4544adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4642, 43subeq0ad 11006 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝐶) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐶))
4746necon3bid 3058 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝐶) ≠ 0 ↔ 𝑋𝐶))
4847biimpar 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
4916, 48syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
5041, 45, 49div2negd 11430 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
5138, 39negsubdi2d 11012 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)))
5242, 43negsubdi2d 11012 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑋𝐶) = (𝐶𝑋))
5351, 52oveq12d 7168 . . . . . . 7 (𝜑 → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5453adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5526, 50, 543eqtr2d 2865 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5655fvoveq1d 7172 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))))
57 ftc1.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
58 ftc1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
59 ftc1.fc . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
60 ftc1.x2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
6143subidd 10984 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐶) = 0)
6261abs00bd 14654 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) = 0)
6358rpgt0d 12434 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑅)
6462, 63eqbrtrd 5075 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) < 𝑅)
6527, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 5, 60, 9, 64ftc1lem4 24648 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
6656, 65eqbrtrd 5075 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
675adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6810adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
69 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 < 𝑋)
7068, 69gtned 10774 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋𝐶)
7167, 70, 17sylanbrc 586 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
7271, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
7372fvoveq1d 7172 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))))
7427, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 9, 64, 5, 60ftc1lem4 24648 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7573, 74eqbrtrd 5075 . . 3 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7666, 75jaodan 955 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7712, 76syldan 594 1 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3917   ⊆ wss 3920  {csn 4551   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536   < clt 10674   ≤ cle 10675   − cmin 10869  -cneg 10870   / cdiv 11296  ℝ+crp 12389  (,)cioo 12738  [,]cicc 12741  abscabs 14596   ↾t crest 16697  TopOpenctopn 16698  ℂfldccnfld 20548   CnP ccnp 21836  𝐿1cibl 24227  ∫citg 24228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-symdif 4205  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-ofr 7405  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-omul 8104  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-dju 9328  df-card 9366  df-acn 9369  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-ioc 12743  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230  df-itg2 24231  df-ibl 24232  df-itg 24233  df-0p 24280 This theorem is referenced by:  ftc1lem6  24650
 Copyright terms: Public domain W3C validator