Theorem ftc1lem5 26096

Description: Lemma for ftc1 26098. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
ftc1.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
ftc1.l	⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
ftc1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ftc1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5		ftc1.x1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6	4, 5	sseldd 3996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		ioossicc 13470	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8		ftc1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9	7, 8	sselid 3993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	4, 9	sseldd 3996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	6, 10	lttri2d 11398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝐶 ↔ (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋)))
12	11	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋))
13	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 < 𝐶)
16	14, 15	ltned 11395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ≠ 𝐶)
17		eldifsn 4791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 𝐶))
18	13, 16, 17	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
19		fveq2 6907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑋))
20	19	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) = ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)))
21		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 − 𝐶) = (𝑋 − 𝐶))
22	20, 21	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
23		ftc1.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
24		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 7016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
26	18, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
27		ftc1.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
28		ftc1.le	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
29		ftc1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
30		ftc1.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
31		ftc1.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
32		ftc1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
33		ftc1.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
34		ftc1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
35		ftc1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
36	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35	ftc1lem3 26094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
37	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36	ftc1lem2 26092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
38	37, 5	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
39	37, 9	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
40	38, 39	subcld 11618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
42	6	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
43	10	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 11618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ)
46	42, 43	subeq0ad 11628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐶))
47	46	necon3bid 2983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 𝐶))
48	47	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ≠ 0)
49	16, 48	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ≠ 0)
50	41, 45, 49	div2negd 12056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
51	38, 39	negsubdi2d 11634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) = ((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)))
52	42, 43	negsubdi2d 11634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑋 − 𝐶) = (𝐶 − 𝑋))
53	51, 52	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
55	26, 50, 54	3eqtr2d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
56	55	fvoveq1d 7453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘((((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))))
57		ftc1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
58		ftc1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
59		ftc1.fc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
60		ftc1.x2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)
61	43	subidd 11606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) = 0)
62	61	abs00bd 15327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐶)) = 0)
63	58	rpgt0d 13078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑅)
64	62, 63	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐶)) < 𝑅)
65	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 5, 60, 9, 64	ftc1lem4 26095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
66	56, 65	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
67	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
68	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
69		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝐶 < 𝑋)
70	68, 69	gtned 11394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐶)
71	67, 70, 17	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
72	71, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
73	72	fvoveq1d 7453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘((((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) − (𝐹‘𝐶))))
74	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 9, 64, 5, 60	ftc1lem4 26095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
75	73, 74	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
76	66, 75	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋)) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
77	12, 76	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  abscabs 15270   ↾_t crest 17467  TopOpenctopn 17468  ℂ_fldccnfld 21382   CnP ccnp 23249  𝐿¹cibl 25666  ∫citg 25667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719

This theorem is referenced by:  ftc1lem6  26097