Theorem ftc1lem5 25969

Description: Lemma for ftc1 25971. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
ftc1.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
ftc1.l	⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
ftc1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ftc1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5		ftc1.x1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6	4, 5	sseldd 3930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		ioossicc 13328	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8		ftc1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9	7, 8	sselid 3927	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	4, 9	sseldd 3930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	6, 10	lttri2d 11247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝐶 ↔ (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋)))
12	11	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋))
13	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 < 𝐶)
16	14, 15	ltned 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ≠ 𝐶)
17		eldifsn 4733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 𝐶))
18	13, 16, 17	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
19		fveq2 6817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑋))
20	19	oveq1d 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) = ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)))
21		oveq1 7348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 − 𝐶) = (𝑋 − 𝐶))
22	20, 21	oveq12d 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
23		ftc1.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
24		ovex 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
26	18, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
27		ftc1.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
28		ftc1.le	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
29		ftc1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
30		ftc1.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
31		ftc1.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
32		ftc1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
33		ftc1.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
34		ftc1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
35		ftc1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
36	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35	ftc1lem3 25967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
37	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36	ftc1lem2 25965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
38	37, 5	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
39	37, 9	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
40	38, 39	subcld 11467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
42	6	recnd 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
43	10	recnd 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 11467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ)
46	42, 43	subeq0ad 11477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐶))
47	46	necon3bid 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 𝐶))
48	47	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ≠ 0)
49	16, 48	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ≠ 0)
50	41, 45, 49	div2negd 11907	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
51	38, 39	negsubdi2d 11483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) = ((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)))
52	42, 43	negsubdi2d 11483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑋 − 𝐶) = (𝐶 − 𝑋))
53	51, 52	oveq12d 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
55	26, 50, 54	3eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
56	55	fvoveq1d 7363	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘((((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))))
57		ftc1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
58		ftc1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
59		ftc1.fc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
60		ftc1.x2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)
61	43	subidd 11455	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) = 0)
62	61	abs00bd 15193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐶)) = 0)
63	58	rpgt0d 12932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑅)
64	62, 63	eqbrtrd 5108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐶)) < 𝑅)
65	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 5, 60, 9, 64	ftc1lem4 25968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
66	56, 65	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
67	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
68	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
69		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝐶 < 𝑋)
70	68, 69	gtned 11243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐶)
71	67, 70, 17	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
72	71, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
73	72	fvoveq1d 7363	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘((((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) − (𝐹‘𝐶))))
74	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 9, 64, 5, 60	ftc1lem4 25968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
75	73, 74	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
76	66, 75	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋)) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
77	12, 76	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4571   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  -cneg 11340   / cdiv 11769  ℝ⁺crp 12885  (,)cioo 13240  [,]cicc 13243  abscabs 15136   ↾_t crest 17319  TopOpenctopn 17320  ℂ_fldccnfld 21286   CnP ccnp 23135  𝐿¹cibl 25540  ∫citg 25541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10321  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-symdif 4198  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-acn 9830  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-cmp 23297  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793  df-ovol 25387  df-vol 25388  df-mbf 25542  df-itg1 25543  df-itg2 25544  df-ibl 25545  df-itg 25546  df-0p 25593

This theorem is referenced by:  ftc1lem6  25970