MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem5 26081
Description: Lemma for ftc1 26083. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem5 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 13469 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5 ftc1.x1 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64, 5sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
7 ioossicc 13473 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8 ftc1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
97, 8sselid 3981 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
104, 9sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
116, 10lttri2d 11400 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐶 ↔ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)))
1211biimpa 476 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋))
135adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
146adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
15 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 < 𝐶)
1614, 15ltned 11397 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋𝐶)
17 eldifsn 4786 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋𝐶))
1813, 16, 17sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
19 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑋))
2019oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)))
21 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐶) = (𝑋𝐶))
2220, 21oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
23 ftc1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
24 ovex 7464 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
2618, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
27 ftc1.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
28 ftc1.le . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
29 ftc1.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
30 ftc1.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
31 ftc1.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
32 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
33 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐿t ℝ)
34 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
35 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35ftc1lem3 26079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3727, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36ftc1lem2 26077 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
3837, 5ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℂ)
3937, 9ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4038, 39subcld 11620 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
426recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4310recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4442, 43subcld 11620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4642, 43subeq0ad 11630 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝐶) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐶))
4746necon3bid 2985 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝐶) ≠ 0 ↔ 𝑋𝐶))
4847biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
4916, 48syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
5041, 45, 49div2negd 12058 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
5138, 39negsubdi2d 11636 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)))
5242, 43negsubdi2d 11636 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑋𝐶) = (𝐶𝑋))
5351, 52oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5453adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5526, 50, 543eqtr2d 2783 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5655fvoveq1d 7453 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))))
57 ftc1.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
58 ftc1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
59 ftc1.fc . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
60 ftc1.x2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
6143subidd 11608 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐶) = 0)
6261abs00bd 15330 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) = 0)
6358rpgt0d 13080 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑅)
6462, 63eqbrtrd 5165 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) < 𝑅)
6527, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 5, 60, 9, 64ftc1lem4 26080 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
6656, 65eqbrtrd 5165 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
675adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6810adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
69 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 < 𝑋)
7068, 69gtned 11396 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋𝐶)
7167, 70, 17sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
7271, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
7372fvoveq1d 7453 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))))
7427, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 9, 64, 5, 60ftc1lem4 26080 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7573, 74eqbrtrd 5165 . . 3 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7666, 75jaodan 960 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7712, 76syldan 591 1 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  abscabs 15273  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364   CnP ccnp 23233  𝐿1cibl 25652  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  ftc1lem6  26082
  Copyright terms: Public domain W3C validator