Theorem ftc1lem5 26199

Description: Lemma for ftc1 26201. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
ftc1.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
ftc1.l	⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
ftc1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ftc1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5		ftc1.x1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6	4, 5	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		ioossicc 13455	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8		ftc1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9	7, 8	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	4, 9	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	6, 10	lttri2d 11344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝐶 ↔ (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋)))
12	11	biimpa 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋))
13	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14	6	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
15		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 < 𝐶)
16	14, 15	ltned 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ≠ 𝐶)
17		eldifsn 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 𝐶))
18	13, 16, 17	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
19		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑋))
20	19	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) = ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)))
21		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 − 𝐶) = (𝑋 − 𝐶))
22	20, 21	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
23		ftc1.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
24		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 6989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
26	18, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
27		ftc1.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
28		ftc1.le	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
29		ftc1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
30		ftc1.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
31		ftc1.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
32		ftc1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
33		ftc1.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾t ℝ)
34		ftc1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾t 𝐷)
35		ftc1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
36	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35	ftc1lem3 26197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
37	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36	ftc1lem2 26195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
38	37, 5	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
39	37, 9	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
40	38, 39	subcld 11564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
41	40	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
42	6	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
43	10	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 11564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ)
45	44	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ)
46	42, 43	subeq0ad 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐶))
47	46	necon3bid 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 𝐶))
48	47	biimpar 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ≠ 0)
49	16, 48	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝑋 − 𝐶) ≠ 0)
50	41, 45, 49	div2negd 12001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
51	38, 39	negsubdi2d 11580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) = ((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)))
52	42, 43	negsubdi2d 11580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑋 − 𝐶) = (𝐶 − 𝑋))
53	51, 52	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
54	53	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / -(𝑋 − 𝐶)) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
55	26, 50, 54	3eqtr2d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)))
56	55	fvoveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘((((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))))
57		ftc1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
58		ftc1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
59		ftc1.fc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
60		ftc1.x2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)
61	43	subidd 11552	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) = 0)
62	61	abs00bd 15338	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐶)) = 0)
63	58	rpgt0d 13058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑅)
64	62, 63	eqbrtrd 5133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐶)) < 𝑅)
65	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 5, 60, 9, 64	ftc1lem4 26198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘𝑋)) / (𝐶 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
66	56, 65	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
67	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
68	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
69		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝐶 < 𝑋)
70	68, 69	gtned 11340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐶)
71	67, 70, 17	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
72	71, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (𝐻‘𝑋) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)))
73	72	fvoveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘((((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) − (𝐹‘𝐶))))
74	27, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 9, 64, 5, 60	ftc1lem4 26198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑋 − 𝐶)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
75	73, 74	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
76	66, 75	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑋)) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
77	12, 76	syldan 602	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐶) → (abs‘((𝐻‘𝑋) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  -cneg 11437   / cdiv 11866  ℝ⁺crp 13011  (,)cioo 13367  [,]cicc 13370  abscabs 15281   ↾_t crest 17468  TopOpenctopn 17469  ℂ_fldccnfld 21522   CnP ccnp 23382  𝐿¹cibl 25776  ∫citg 25777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-cmp 23544  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-ovol 25623  df-vol 25624  df-mbf 25778  df-itg1 25779  df-itg2 25780  df-ibl 25781  df-itg 25782  df-0p 25829

This theorem is referenced by:  ftc1lem6  26200