MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem5 25556
Description: Lemma for ftc1 25558. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
ftc1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
ftc1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸))
ftc1.x1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
ftc1.x2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝑦,𝑧,𝐢   𝑑,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑑,𝐴,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑑,𝐡,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑑,𝑋,π‘₯,𝑧   𝑑,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   πœ‘,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑑,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐸(π‘₯,𝑧)   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑)   𝐿(𝑑)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 iccssre 13405 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
5 ftc1.x1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
64, 5sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
7 ioossicc 13409 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
8 ftc1.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
97, 8sselid 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴[,]𝐡))
104, 9sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
116, 10lttri2d 11352 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  𝐢 ↔ (𝑋 < 𝐢 ∨ 𝐢 < 𝑋)))
1211biimpa 477 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  𝐢) β†’ (𝑋 < 𝐢 ∨ 𝐢 < 𝑋))
135adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
146adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
15 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 < 𝐢)
1614, 15ltned 11349 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 β‰  𝐢)
17 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑋 β‰  𝐢))
1813, 16, 17sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}))
19 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘‹))
2019oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = ((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
21 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) = (𝑋 βˆ’ 𝐢))
2220, 21oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
23 ftc1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
24 ovex 7441 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6998 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
2618, 25syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
27 ftc1.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
28 ftc1.le . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
29 ftc1.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
30 ftc1.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
31 ftc1.i . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
32 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
33 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
34 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
35 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35ftc1lem3 25554 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
3727, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36ftc1lem2 25552 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
3837, 5ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
3937, 9ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4038, 39subcld 11570 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
426recnd 11241 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4310recnd 11241 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4442, 43subcld 11570 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
4544adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
4642, 43subeq0ad 11580 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝐢) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐢))
4746necon3bid 2985 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝐢) β‰  0 ↔ 𝑋 β‰  𝐢))
4847biimpar 478 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  𝐢) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
4916, 48syldan 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
5041, 45, 49div2negd 12004 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (-((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / -(𝑋 βˆ’ 𝐢)) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
5138, 39negsubdi2d 11586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)))
5242, 43negsubdi2d 11586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -(𝑋 βˆ’ 𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))
5351, 52oveq12d 7426 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / -(𝑋 βˆ’ 𝐢)) = (((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)))
5453adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (-((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / -(𝑋 βˆ’ 𝐢)) = (((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)))
5526, 50, 543eqtr2d 2778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)))
5655fvoveq1d 7430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
57 ftc1.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
58 ftc1.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
59 ftc1.fc . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸))
60 ftc1.x2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅)
6143subidd 11558 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐢) = 0)
6261abs00bd 15237 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐢)) = 0)
6358rpgt0d 13018 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑅)
6462, 63eqbrtrd 5170 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅)
6527, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 5, 60, 9, 64ftc1lem4 25555 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
6656, 65eqbrtrd 5170 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
675adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
6810adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
69 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝐢 < 𝑋)
7068, 69gtned 11348 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  𝐢)
7167, 70, 17sylanbrc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}))
7271, 25syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
7372fvoveq1d 7430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
7427, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 9, 64, 5, 60ftc1lem4 25555 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
7573, 74eqbrtrd 5170 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
7666, 75jaodan 956 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 < 𝐢 ∨ 𝐢 < 𝑋)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
7712, 76syldan 591 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  β„+crp 12973  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326  abscabs 15180   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943   CnP ccnp 22728  πΏ1cibl 25133  βˆ«citg 25134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-ibl 25138  df-itg 25139  df-0p 25186
This theorem is referenced by:  ftc1lem6  25557
  Copyright terms: Public domain W3C validator