MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem5 25427
Description: Lemma for ftc1 25429. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
ftc1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
ftc1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸))
ftc1.x1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
ftc1.x2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝑦,𝑧,𝐢   𝑑,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑑,𝐴,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑑,𝐡,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑑,𝑋,π‘₯,𝑧   𝑑,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   πœ‘,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑑,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐸(π‘₯,𝑧)   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑)   𝐿(𝑑)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 iccssre 13355 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
41, 2, 3syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
5 ftc1.x1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
64, 5sseldd 3949 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
7 ioossicc 13359 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
8 ftc1.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
97, 8sselid 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴[,]𝐡))
104, 9sseldd 3949 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
116, 10lttri2d 11302 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  𝐢 ↔ (𝑋 < 𝐢 ∨ 𝐢 < 𝑋)))
1211biimpa 478 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  𝐢) β†’ (𝑋 < 𝐢 ∨ 𝐢 < 𝑋))
135adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
146adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
15 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 < 𝐢)
1614, 15ltned 11299 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 β‰  𝐢)
17 eldifsn 4751 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑋 β‰  𝐢))
1813, 16, 17sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}))
19 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘‹))
2019oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = ((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
21 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) = (𝑋 βˆ’ 𝐢))
2220, 21oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
23 ftc1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
24 ovex 7394 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6952 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
2618, 25syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
27 ftc1.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
28 ftc1.le . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
29 ftc1.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
30 ftc1.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
31 ftc1.i . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
32 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
33 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
34 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
35 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35ftc1lem3 25425 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
3727, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36ftc1lem2 25423 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
3837, 5ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
3937, 9ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4038, 39subcld 11520 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
4140adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
426recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4310recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4442, 43subcld 11520 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
4544adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
4642, 43subeq0ad 11530 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝐢) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐢))
4746necon3bid 2985 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ 𝐢) β‰  0 ↔ 𝑋 β‰  𝐢))
4847biimpar 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  𝐢) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
4916, 48syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
5041, 45, 49div2negd 11954 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (-((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / -(𝑋 βˆ’ 𝐢)) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
5138, 39negsubdi2d 11536 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)))
5242, 43negsubdi2d 11536 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -(𝑋 βˆ’ 𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))
5351, 52oveq12d 7379 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / -(𝑋 βˆ’ 𝐢)) = (((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)))
5453adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (-((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / -(𝑋 βˆ’ 𝐢)) = (((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)))
5526, 50, 543eqtr2d 2779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)))
5655fvoveq1d 7383 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
57 ftc1.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
58 ftc1.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
59 ftc1.fc . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸))
60 ftc1.x2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅)
6143subidd 11508 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐢) = 0)
6261abs00bd 15185 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐢)) = 0)
6358rpgt0d 12968 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑅)
6462, 63eqbrtrd 5131 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐢 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅)
6527, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 5, 60, 9, 64ftc1lem4 25426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) / (𝐢 βˆ’ 𝑋)) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
6656, 65eqbrtrd 5131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < 𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
675adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
6810adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
69 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝐢 < 𝑋)
7068, 69gtned 11298 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  𝐢)
7167, 70, 17sylanbrc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}))
7271, 25syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)))
7372fvoveq1d 7383 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
7427, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 57, 58, 59, 9, 64, 5, 60ftc1lem4 25426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑋 βˆ’ 𝐢)) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
7573, 74eqbrtrd 5131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 < 𝑋) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
7666, 75jaodan 957 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 < 𝐢 ∨ 𝐢 < 𝑋)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
7712, 76syldan 592 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‹) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  abscabs 15128   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819   CnP ccnp 22599  πΏ1cibl 25004  βˆ«citg 25005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  ftc1lem6  25428
  Copyright terms: Public domain W3C validator