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Theorem ftc1cnnc 36560
Description: Choice-free proof of ftc1cn 25560. (Contributed by Brendan Leahy, 20-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1cnnc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1cnnc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
ftc1cnnc.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnc (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑑   π‘₯,𝐹,𝑑   πœ‘,π‘₯,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1cnnc
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑠 𝑒 𝑣 𝑀 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 25424 . . . . 5 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚)
32ffund 6722 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (ℝ D 𝐺))
4 ax-resscn 11167 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
54a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
6 ftc1cnnc.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7 ftc1cnnc.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 ftc1cnnc.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9 ftc1cnnc.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
10 ssidd 4006 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
11 ioossre 13385 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
13 ftc1cnnc.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
14 ftc1cnnc.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
15 cncff 24409 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
176, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16ftc1lem2 25553 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
18 iccssre 13406 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
197, 8, 18syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
20 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2120tgioo2 24319 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
225, 17, 19, 21, 20dvbssntr 25417 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
23 iccntr 24337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
247, 8, 23syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
2522, 24sseqtrd 4023 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
26 retop 24278 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
2721, 26eqeltrri 2831 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) ∈ Top
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) ∈ Top)
2919adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
30 iooretop 24282 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
3130, 21eleqtri 2832 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
33 ioossicc 13410 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
35 uniretop 24279 . . . . . . . . . 10 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
3621unieqi 4922 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3735, 36eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3837ssntr 22562 . . . . . . . 8 (((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
3928, 29, 32, 34, 38syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
40 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4139, 40sseldd 3984 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
4216ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
43 cnxmet 24289 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
4411, 4sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
45 xmetres2 23867 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) ∈ (∞Metβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
4643, 44, 45mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) ∈ (∞Metβ€˜(𝐴(,)𝐡))
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) ∈ (∞Metβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
4843a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
49 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ βŠ† β„‚
50 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
5120cnfldtopon 24299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
5251toponrestid 22423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
5320, 50, 52cncfcn 24426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5444, 49, 53mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
5514, 54eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
56 resttopon 22665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
5751, 44, 56mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡))
5857toponunii 22418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
5958eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 𝑐 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
6059biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
61 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
6261cncnpi 22782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑐 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘))
6355, 60, 62syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘))
64 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))
6520cnfldtopn 24298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
66 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))))
6764, 65, 66metrest 24033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))))
6843, 44, 67mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))))
6968oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld)) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7069fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . 12 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘) = (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘)
7163, 70eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘))
7271adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘))
73 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
7466, 65metcnpi2 24054 . . . . . . . . . 10 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) ∈ (∞Metβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀))
7547, 48, 72, 73, 74syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀))
76 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡))
77 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡))
7876, 77ovresd 7574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) = (𝑒(abs ∘ βˆ’ )𝑐))
79 elioore 13354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
8079recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
8144sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
8281ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
83 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
8483cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ (𝑒(abs ∘ βˆ’ )𝑐) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)))
8580, 82, 84syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑒(abs ∘ βˆ’ )𝑐) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)))
8678, 85eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)))
8786breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣))
8816ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8988ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚)
9042ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9183cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
9289, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
9392breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
9487, 93imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
9594ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
96 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}))
97 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) β†’ 𝑧 β‰  𝑐)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑧 β‰  𝑐)
9919ssdifssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) βŠ† ℝ)
10099sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
101100ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
102101ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
103 elioore 13354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
104103ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
105102, 104lttri2d 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (𝑧 β‰  𝑐 ↔ (𝑧 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑧)))
106105biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 β‰  𝑐) β†’ (𝑧 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑧))
107 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘§))
108107oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
109 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝑠 βˆ’ 𝑐) = (𝑧 βˆ’ 𝑐))
110108, 109oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 = 𝑧 β†’ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)) = (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)))
111 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) = (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))
112 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) ∈ V
113110, 111, 112fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) = (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)))
114113ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) = (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)))
115114ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) = (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)))
11617ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
117 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
118117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
119118ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
120116, 119ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
12133sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
12217ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
123121, 122sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
124123ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
125102adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
126125recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
12781ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
128 ltne 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑐 β‰  𝑧)
129128necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 β‰  𝑐)
130102, 129sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 β‰  𝑐)
131120, 124, 126, 127, 130div2subd 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) = (((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑐 βˆ’ 𝑧)))
132115, 131eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) = (((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑐 βˆ’ 𝑧)))
133132fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑐 βˆ’ 𝑧)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
1347ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1358ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1369ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
13714ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
13813ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
139 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡))
140 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
141 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ+)
142 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
143 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑒 = 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)))
144143breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣))
145144imbrov2fvoveq 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 = 𝑦 β†’ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
146145rspccva 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
147142, 146sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
14896, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
149 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)
150121ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
151103recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
152151subidd 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝑐 βˆ’ 𝑐) = 0)
153152abs00bd 15238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑐)) = 0)
154153ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑐)) = 0)
155141rpgt0d 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 0 < 𝑣)
156154, 155eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)
1576, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 111, 140, 141, 147, 148, 149, 150, 156ftc1cnnclem 36559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑐 βˆ’ 𝑧)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
158133, 157eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
159113fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
160159ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
161160ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
1626, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 111, 140, 141, 147, 150, 156, 148, 149ftc1cnnclem 36559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
163161, 162eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
164158, 163jaodan 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ (𝑧 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑧)) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
165106, 164syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 β‰  𝑐) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
16698, 165mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
167166expr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
168167adantld 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))) β†’ ((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
169168expr 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) β†’ ((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
170169ralrimdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
17195, 170sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
172171anassrs 469 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
173172reximdva 3169 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
17475, 173mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
175174ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
17617adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
17719, 4sstrdi 3995 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
178177adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
179121adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
180176, 178, 179dvlem 25413 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})) β†’ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)) ∈ β„‚)
181180fmpttd 7115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))):((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})βŸΆβ„‚)
182177ssdifssd 4143 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) βŠ† β„‚)
183182adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) βŠ† β„‚)
18481adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
185181, 183, 184ellimc3 25396 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) limβ„‚ 𝑐) ↔ ((πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))))
18642, 175, 185mpbir2and 712 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) limβ„‚ 𝑐))
187 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
188187, 20, 111, 5, 17, 19eldv 25415 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘) ↔ (𝑐 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) limβ„‚ 𝑐))))
189188adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘) ↔ (𝑐 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) limβ„‚ 𝑐))))
19041, 186, 189mpbir2and 712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘))
191 vex 3479 . . . . . 6 𝑐 ∈ V
192 fvex 6905 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘) ∈ V
193191, 192breldm 5909 . . . . 5 (𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘) β†’ 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
194190, 193syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
19525, 194eqelssd 4004 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡))
196 df-fn 6547 . . 3 ((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐡) ↔ (Fun (ℝ D 𝐺) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡)))
1973, 195, 196sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐡))
19816ffnd 6719 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (𝐴(,)𝐡))
1993adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Fun (ℝ D 𝐺))
200 funbrfv 6943 . . 3 (Fun (ℝ D 𝐺) β†’ (𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘)))
201199, 190, 200sylc 65 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
202197, 198, 201eqfnfvd 7036 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  abscabs 15181   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  intcnt 22521   Cn ccn 22728   CnP ccnp 22729  β€“cnβ†’ccncf 24392  πΏ1cibl 25134  βˆ«citg 25135   limβ„‚ climc 25379   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  ftc2nc  36570
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