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Theorem ftc1cnnc 33816
Description: Choice-free proof of ftc1cn 24026. (Contributed by Brendan Leahy, 20-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1cnnc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1cnnc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc1cnnc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnc (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝐵,𝑡   𝑥,𝐹,𝑡   𝜑,𝑥,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1cnnc
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 23891 . . . . 5 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ)
3 ffun 6188 . . . 4 ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐺))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐺))
5 ax-resscn 10195 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7 ftc1cnnc.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
8 ftc1cnnc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 ftc1cnnc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 ftc1cnnc.le . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
11 ssid 3773 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
13 ioossre 12440 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
15 ftc1cnnc.i . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
16 ftc1cnnc.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
17 cncff 22916 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 24019 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
20 iccssre 12460 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
218, 9, 20syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22 eqid 2771 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2322tgioo2 22826 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 23884 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
25 iccntr 22844 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
268, 9, 25syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2724, 26sseqtrd 3790 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
28 retop 22785 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2923, 28eqeltrri 2847 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ∈ Top
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ∈ Top)
3121adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
32 iooretop 22789 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
3332, 23eleqtri 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
35 ioossicc 12464 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
37 uniretop 22786 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
3823unieqi 4583 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3937, 38eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 ℝ = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4039ssntr 21083 . . . . . . . . . 10 (((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)))
4130, 31, 34, 36, 40syl22anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)))
42 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4341, 42sseldd 3753 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)))
4418ffvelrnda 6502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
45 cnxmet 22796 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
4613, 5sstri 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
47 xmetres2 22386 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) ∈ (∞Met‘(𝐴(,)𝐵)))
4845, 46, 47mp2an 664 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) ∈ (∞Met‘(𝐴(,)𝐵))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) ∈ (∞Met‘(𝐴(,)𝐵)))
5045a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
51 ssid 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
52 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
5322cnfldtopon 22806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
5453toponrestid 20946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
5522, 52, 54cncfcn 22932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5646, 51, 55mp2an 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5716, 56syl6eleq 2860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
58 resttopon 21186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
5953, 46, 58mp2an 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵))
6059toponunii 20941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
6160eleq2i 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑐 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
6261biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
63 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
6463cncnpi 21303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ 𝑐 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐))
6557, 62, 64syl2an 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐))
66 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))
6722cnfldtopn 22805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
68 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))))
6966, 67, 68metrest 22549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))))
7045, 46, 69mp2an 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))))
7170oveq1i 6803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))
7271fveq1i 6333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐)
7365, 72syl6eleq 2860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐))
7473adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐))
75 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7668, 67metcnpi2 22570 . . . . . . . . . . . 12 (((((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) ∈ (∞Met‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤))
7749, 50, 74, 75, 76syl22anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤))
78 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵))
79 simpllr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8078, 79ovresd 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) = (𝑢(abs ∘ − )𝑐))
81 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
8281recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑢 ∈ ℂ)
8382adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑢 ∈ ℂ)
8446sseli 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℂ)
8584ad3antlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ ℂ)
86 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8786cnmetdval 22794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑢(abs ∘ − )𝑐) = (abs‘(𝑢𝑐)))
8883, 85, 87syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑢(abs ∘ − )𝑐) = (abs‘(𝑢𝑐)))
8980, 88eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) = (abs‘(𝑢𝑐)))
9089breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣))
9118ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
9291ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑢) ∈ ℂ)
9344ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
9486cnmetdval 22794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) = (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))))
9592, 93, 94syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) = (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))))
9695breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
9790, 96imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
9897ralbidva 3134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
99 simprll 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}))
100 eldifsni 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) → 𝑧𝑐)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑧𝑐)
10221ssdifssd 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ⊆ ℝ)
103102sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})) → 𝑧 ∈ ℝ)
104103ad2ant2r 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))) → 𝑧 ∈ ℝ)
105104ad2ant2r 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
106 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℝ)
107106ad3antlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑐 ∈ ℝ)
108105, 107lttri2d 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (𝑧𝑐 ↔ (𝑧 < 𝑐𝑐 < 𝑧)))
109108biimpa 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧𝑐) → (𝑧 < 𝑐𝑐 < 𝑧))
110 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑧))
111110oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑧 → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)))
112 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑧 → (𝑠𝑐) = (𝑧𝑐))
113111, 112oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 = 𝑧 → (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)) = (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
114 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) = (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))
115 ovex 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) ∈ V
116113, 114, 115fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) → ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) = (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
117116ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) = (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
118117ad2antlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) = (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
11919ad4antr 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
120 eldifi 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
121120ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
122121ad2antlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123119, 122ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
12435sseli 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12519ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑐) ∈ ℂ)
126124, 125sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑐) ∈ ℂ)
127126ad3antrrr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (𝐺𝑐) ∈ ℂ)
128105adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧 ∈ ℝ)
129128recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧 ∈ ℂ)
13084ad4antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
131 ltne 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑐𝑧)
132131necomd 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧𝑐)
133105, 132sylan 561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧𝑐)
134123, 127, 129, 130, 133div2subd 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) = (((𝐺𝑐) − (𝐺𝑧)) / (𝑐𝑧)))
135118, 134eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) = (((𝐺𝑐) − (𝐺𝑧)) / (𝑐𝑧)))
136135fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((((𝐺𝑐) − (𝐺𝑧)) / (𝑐𝑧)) − (𝐹𝑐))))
1378ad3antrrr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1389ad3antrrr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐵 ∈ ℝ)
13910ad3antrrr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐴𝐵)
14016ad3antrrr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
14115ad3antrrr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
142 simpllr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
143 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
144 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
145 simprlr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
146 fvoveq1 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑢 = 𝑦 → (abs‘(𝑢𝑐)) = (abs‘(𝑦𝑐)))
147146breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = 𝑦 → ((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑣))
148 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = 𝑦 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑦))
149148fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑢 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))))
150149breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
151147, 150imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝑦 → (((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
152151rspccva 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
153145, 152sylan 561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
15499, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
155 simprr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)
156124ad3antlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
157106recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℂ)
158157subidd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑐𝑐) = 0)
159158abs00bd 14239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(𝑐𝑐)) = 0)
160159ad3antlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑐𝑐)) = 0)
161144rpgt0d 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 0 < 𝑣)
162160, 161eqbrtrd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑐𝑐)) < 𝑣)
1637, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 114, 143, 144, 153, 154, 155, 156, 162ftc1cnnclem 33815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (abs‘((((𝐺𝑐) − (𝐺𝑧)) / (𝑐𝑧)) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
164136, 163eqbrtrd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
165116fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) − (𝐹𝑐))))
166165ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) − (𝐹𝑐))))
167166ad2antlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) − (𝐹𝑐))))
1687, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 114, 143, 144, 153, 156, 162, 154, 155ftc1cnnclem 33815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) → (abs‘((((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
169167, 168eqbrtrd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
170164, 169jaodan 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ (𝑧 < 𝑐𝑐 < 𝑧)) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
171109, 170syldan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧𝑐) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
172101, 171mpdan 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
173172expr 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))) → ((abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣 → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
174173adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))) → ((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
175174expr 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤) → ((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
176175ralrimdva 3118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤) → ∀𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
17798, 176sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) → ∀𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
178177anassrs 458 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) → ∀𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
179178reximdva 3165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
18077, 179mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
181180ralrimiva 3115 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
18219adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
18321, 5syl6ss 3764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
184183adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
185124adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
186182, 184, 185dvlem 23880 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})) → (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)) ∈ ℂ)
187186, 114fmptd 6527 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))):((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})⟶ℂ)
188183ssdifssd 3899 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ⊆ ℂ)
189188adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ⊆ ℂ)
19084adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ ℂ)
191187, 189, 190ellimc3 23863 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑐) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) lim 𝑐) ↔ ((𝐹𝑐) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))))
19244, 181, 191mpbir2and 684 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) lim 𝑐))
193 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
194193, 22, 114, 6, 19, 21eldv 23882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) lim 𝑐))))
195194adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) lim 𝑐))))
19643, 192, 195mpbir2and 684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐))
197 vex 3354 . . . . . . . 8 𝑐 ∈ V
198 fvex 6342 . . . . . . . 8 (𝐹𝑐) ∈ V
199197, 198breldm 5467 . . . . . . 7 (𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐) → 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
200196, 199syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
201200ex 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺)))
202201ssrdv 3758 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
20327, 202eqssd 3769 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
204 df-fn 6034 . . 3 ((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ↔ (Fun (ℝ D 𝐺) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)))
2054, 203, 204sylanbrc 564 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
206 ffn 6185 . . 3 (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴(,)𝐵))
20718, 206syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn (𝐴(,)𝐵))
2084adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → Fun (ℝ D 𝐺))
209 funbrfv 6375 . . 3 (Fun (ℝ D 𝐺) → (𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑐) = (𝐹𝑐)))
210208, 196, 209sylc 65 . 2 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑐) = (𝐹𝑐))
211205, 207, 210eqfnfvd 6457 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316   cuni 4574   class class class wbr 4786  cmpt 4863   × cxp 5247  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  ccom 5253  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  abscabs 14182  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  fldccnfld 19961  Topctop 20918  TopOnctopon 20935  intcnt 21042   Cn ccn 21249   CnP ccnp 21250  cnccncf 22899  𝐿1cibl 23605  citg 23606   lim climc 23846   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851
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