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Theorem ftc1cnnc 36646
Description: Choice-free proof of ftc1cn 25567. (Contributed by Brendan Leahy, 20-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1cnnc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1cnnc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
ftc1cnnc.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnc (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑑   π‘₯,𝐹,𝑑   πœ‘,π‘₯,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1cnnc
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑠 𝑒 𝑣 𝑀 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 25431 . . . . 5 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚)
32ffund 6721 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (ℝ D 𝐺))
4 ax-resscn 11169 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
54a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
6 ftc1cnnc.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7 ftc1cnnc.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 ftc1cnnc.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9 ftc1cnnc.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
10 ssidd 4005 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
11 ioossre 13387 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
13 ftc1cnnc.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
14 ftc1cnnc.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
15 cncff 24416 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
176, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16ftc1lem2 25560 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
18 iccssre 13408 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
197, 8, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2120tgioo2 24326 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
225, 17, 19, 21, 20dvbssntr 25424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
23 iccntr 24344 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
247, 8, 23syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
2522, 24sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
26 retop 24285 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
2721, 26eqeltrri 2830 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) ∈ Top
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) ∈ Top)
2919adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
30 iooretop 24289 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
3130, 21eleqtri 2831 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
33 ioossicc 13412 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
35 uniretop 24286 . . . . . . . . . 10 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
3621unieqi 4921 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3735, 36eqtri 2760 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3837ssntr 22569 . . . . . . . 8 (((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
3928, 29, 32, 34, 38syl22anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
40 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡))
4139, 40sseldd 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
4216ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
43 cnxmet 24296 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
4411, 4sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
45 xmetres2 23874 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) ∈ (∞Metβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
4643, 44, 45mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) ∈ (∞Metβ€˜(𝐴(,)𝐡))
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) ∈ (∞Metβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
4843a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
49 ssid 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ βŠ† β„‚
50 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
5120cnfldtopon 24306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
5251toponrestid 22430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
5320, 50, 52cncfcn 24433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5444, 49, 53mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
5514, 54eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
56 resttopon 22672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
5751, 44, 56mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡))
5857toponunii 22425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
5958eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 𝑐 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
6059biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
6261cncnpi 22789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑐 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘))
6355, 60, 62syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘))
64 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))
6520cnfldtopn 24305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
66 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))))
6764, 65, 66metrest 24040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))))
6843, 44, 67mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))))
6968oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld)) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7069fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘) = (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘)
7163, 70eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘))
7271adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘))
73 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
7466, 65metcnpi2 24061 . . . . . . . . . 10 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡))) ∈ (∞Metβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀))
7547, 48, 72, 73, 74syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀))
76 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡))
77 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡))
7876, 77ovresd 7576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) = (𝑒(abs ∘ βˆ’ )𝑐))
79 elioore 13356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
8079recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
8144sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
8281ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
83 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
8483cnmetdval 24294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ (𝑒(abs ∘ βˆ’ )𝑐) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)))
8580, 82, 84syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑒(abs ∘ βˆ’ )𝑐) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)))
8678, 85eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)))
8786breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣))
8816ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8988ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚)
9042ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9183cnmetdval 24294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
9289, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
9392breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
9487, 93imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
9594ralbidva 3175 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
96 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}))
97 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) β†’ 𝑧 β‰  𝑐)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑧 β‰  𝑐)
9919ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) βŠ† ℝ)
10099sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
101100ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
102101ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
103 elioore 13356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
104103ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
105102, 104lttri2d 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (𝑧 β‰  𝑐 ↔ (𝑧 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑧)))
106105biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 β‰  𝑐) β†’ (𝑧 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑧))
107 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘§))
108107oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
109 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝑠 βˆ’ 𝑐) = (𝑧 βˆ’ 𝑐))
110108, 109oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 = 𝑧 β†’ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)) = (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)))
111 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) = (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))
112 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) ∈ V
113110, 111, 112fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) = (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)))
114113ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) = (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)))
115114ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) = (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)))
11617ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
117 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
118117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
119118ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
120116, 119ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
12133sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
12217ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
123121, 122sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
124123ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
125102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
126125recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
12781ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
128 ltne 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑐 β‰  𝑧)
129128necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 β‰  𝑐)
130102, 129sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ 𝑧 β‰  𝑐)
131120, 124, 126, 127, 130div2subd 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) = (((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑐 βˆ’ 𝑧)))
132115, 131eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) = (((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑐 βˆ’ 𝑧)))
133132fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑐 βˆ’ 𝑧)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
1347ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1358ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1369ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
13714ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
13813ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
139 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡))
140 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
141 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ+)
142 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
143 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑒 = 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)))
144143breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣))
145144imbrov2fvoveq 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 = 𝑦 β†’ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
146145rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
147142, 146sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
14896, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
149 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)
150121ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
151103recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
152151subidd 11561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝑐 βˆ’ 𝑐) = 0)
153152abs00bd 15240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑐)) = 0)
154153ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑐)) = 0)
155141rpgt0d 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ 0 < 𝑣)
156154, 155eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)
1576, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 111, 140, 141, 147, 148, 149, 150, 156ftc1cnnclem 36645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑐 βˆ’ 𝑧)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
158133, 157eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
159113fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
160159ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
161160ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
1626, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 111, 140, 141, 147, 150, 156, 148, 149ftc1cnnclem 36645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑧 βˆ’ 𝑐)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
163161, 162eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
164158, 163jaodan 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ (𝑧 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑧)) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
165106, 164syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 β‰  𝑐) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
16698, 165mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)
167166expr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
168167adantld 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))) β†’ ((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
169168expr 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) β†’ ((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
170169ralrimdva 3154 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
17195, 170sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
172171anassrs 468 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
173172reximdva 3168 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑒((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) Γ— (𝐴(,)𝐡)))𝑐) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘)) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
17475, 173mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
175174ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
17617adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
17719, 4sstrdi 3994 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
178177adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
179121adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
180176, 178, 179dvlem 25420 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})) β†’ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)) ∈ β„‚)
181180fmpttd 7116 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))):((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})βŸΆβ„‚)
182177ssdifssd 4142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) βŠ† β„‚)
183182adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) βŠ† β„‚)
18481adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
185181, 183, 184ellimc3 25403 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) limβ„‚ 𝑐) ↔ ((πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐})((𝑧 β‰  𝑐 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑐)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐)))β€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))))
18642, 175, 185mpbir2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) limβ„‚ 𝑐))
187 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
188187, 20, 111, 5, 17, 19eldv 25422 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘) ↔ (𝑐 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) limβ„‚ 𝑐))))
189188adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘) ↔ (𝑐 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴[,]𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝑐}) ↦ (((πΊβ€˜π‘ ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) / (𝑠 βˆ’ 𝑐))) limβ„‚ 𝑐))))
19041, 186, 189mpbir2and 711 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘))
191 vex 3478 . . . . . 6 𝑐 ∈ V
192 fvex 6904 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘) ∈ V
193191, 192breldm 5908 . . . . 5 (𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘) β†’ 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
194190, 193syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
19525, 194eqelssd 4003 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡))
196 df-fn 6546 . . 3 ((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐡) ↔ (Fun (ℝ D 𝐺) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡)))
1973, 195, 196sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐡))
19816ffnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (𝐴(,)𝐡))
1993adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Fun (ℝ D 𝐺))
200 funbrfv 6942 . . 3 (Fun (ℝ D 𝐺) β†’ (𝑐(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘)))
201199, 190, 200sylc 65 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
202197, 198, 201eqfnfvd 7035 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„+crp 12976  (,)cioo 13326  [,]cicc 13329  abscabs 15183   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  βˆžMetcxmet 20935  MetOpencmopn 20940  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  intcnt 22528   Cn ccn 22735   CnP ccnp 22736  β€“cnβ†’ccncf 24399  πΏ1cibl 25141  βˆ«citg 25142   limβ„‚ climc 25386   D cdv 25387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-itg2 25145  df-ibl 25146  df-itg 25147  df-0p 25194  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  ftc2nc  36656
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