Theorem fphpdo 42302

Description: Pigeonhole principle for sets of real numbers with implicit output reordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fphpdo.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fphpdo.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
fphpdo.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
fphpdo.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
fphpdo.5	⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐶 = 𝐷)
fphpdo.6	⊢ (𝑧 = 𝑦 → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fphpdo	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑧)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑦)

Proof of Theorem fphpdo

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fphpdo.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
2		fphpdo.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	2	fmpttd 7122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7091	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) ∈ 𝐵)
5		fveq2 6894	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))
6	1, 4, 5	fphpd 42301	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ∃𝑐 ∈ 𝐴 (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)))
7		fphpdo.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
8	7	sselda 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
9	8	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → 𝑏 ∈ ℝ)
11	7	sselda 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ ℝ)
12	11	adantrl 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14	10, 13	lttri2d 11383	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ (𝑏 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑏)))
15		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑏 ∈ 𝐴)
17		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝐴)
18	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑐 ∈ 𝐴)
19		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑏 < 𝑐)
20		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))
21		breq1 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑏 < 𝑦))
22		fveqeq2 6903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
23	21, 22	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑏 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
24		breq2 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑦 ↔ 𝑏 < 𝑐))
25		fveq2 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))
26	25	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)))
27	24, 26	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑏 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑏 < 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))))
28	23, 27	rspc2ev 3620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 < 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
29	16, 18, 19, 20, 28	syl112anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
30	29	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (𝑏 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
31	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝐴)
32	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝐴)
33		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → 𝑐 < 𝑏)
34		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))
35	34	eqcomd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏))
36		breq1 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑐 < 𝑦))
37		fveqeq2 6903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
38	36, 37	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑐 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
39		breq2 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑐 < 𝑦 ↔ 𝑐 < 𝑏))
40		fveq2 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏))
41	40	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏)))
42	39, 41	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑐 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑐 < 𝑏 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏))))
43	38, 42	rspc2ev 3620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝑐 < 𝑏 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
44	31, 32, 33, 35, 43	syl112anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
45	44	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (𝑐 < 𝑏 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
46	30, 45	jaod 857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → ((𝑏 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
47		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
48		fphpdo.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐶 = 𝐷)
49		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
50		eleq1w 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
51	50	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
52	48	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐷 ∈ 𝐵))
53	51, 52	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)))
54	53, 2	chvarvv 1994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
55	54	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
56	47, 48, 49, 55	fvmptd3 7025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐷)
57		fphpdo.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → 𝐶 = 𝐸)
58		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
59		eleq1w 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
60	59	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
61	57	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐸 ∈ 𝐵))
62	60, 61	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ 𝐵)))
63	62, 2	chvarvv 1994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ 𝐵)
64	63	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ 𝐵)
65	47, 57, 58, 64	fvmptd3 7025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = 𝐸)
66	56, 65	eqeq12d 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ 𝐷 = 𝐸))
67	66	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) → 𝐷 = 𝐸))
68	67	anim2d 610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) → (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
69	68	reximdva 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
70	69	reximdva 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
71	70	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
72	46, 71	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → ((𝑏 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
73	14, 72	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (𝑏 ≠ 𝑐 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
74	73	expimpd 452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → ((((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
75	74	ancomsd 464	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → ((𝑏 ≠ 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
76	75	rexlimdvva 3202	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐴 ∃𝑐 ∈ 𝐴 (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
77	6, 76	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  Vcvv 3463   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6547   ≺ csdm 8961  ℝcr 11137   < clt 11278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283

This theorem is referenced by:  irrapxlem1  42307