Theorem fphpdo 38899

Description: Pigeonhole principle for sets of real numbers with implicit output reordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fphpdo.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fphpdo.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
fphpdo.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
fphpdo.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
fphpdo.5	⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐶 = 𝐷)
fphpdo.6	⊢ (𝑧 = 𝑦 → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fphpdo	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑧)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑦)

Proof of Theorem fphpdo

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fphpdo.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≺ 𝐴)
2		fphpdo.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	2	fmpttd 6742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
4	3	ffvelrnda 6716	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) ∈ 𝐵)
5		fveq2 6538	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))
6	1, 4, 5	fphpd 38898	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ∃𝑐 ∈ 𝐴 (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)))
7		fphpdo.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
8	7	sselda 3889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
9	8	adantrr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → 𝑏 ∈ ℝ)
11	7	sselda 3889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ ℝ)
12	11	adantrl 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14	10, 13	lttri2d 10626	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ (𝑏 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑏)))
15		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
16	15	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑏 ∈ 𝐴)
17		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝐴)
18	17	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑐 ∈ 𝐴)
19		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑏 < 𝑐)
20		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))
21		breq1 4965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑏 < 𝑦))
22		fveqeq2 6547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
23	21, 22	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑏 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
24		breq2 4966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑦 ↔ 𝑏 < 𝑐))
25		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))
26	25	eqeq2d 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)))
27	24, 26	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑏 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑏 < 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))))
28	23, 27	rspc2ev 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 < 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
29	16, 18, 19, 20, 28	syl112anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑏 < 𝑐) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
30	29	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (𝑏 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
31	17	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝐴)
32	15	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝐴)
33		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → 𝑐 < 𝑏)
34		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐))
35	34	eqcomd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏))
36		breq1 4965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑐 < 𝑦))
37		fveqeq2 6547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
38	36, 37	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑐 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
39		breq2 4966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑐 < 𝑦 ↔ 𝑐 < 𝑏))
40		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏))
41	40	eqeq2d 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏)))
42	39, 41	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑐 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑐 < 𝑏 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏))))
43	38, 42	rspc2ev 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝑐 < 𝑏 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
44	31, 32, 33, 35, 43	syl112anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) ∧ 𝑐 < 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)))
45	44	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (𝑐 < 𝑏 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
46	30, 45	jaod 854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → ((𝑏 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))))
47		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
48		fphpdo.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐶 = 𝐷)
49		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
50		eleq1w 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
51	50	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
52	48	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐷 ∈ 𝐵))
53	51, 52	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)))
54	53, 2	chvarv 2370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
56	47, 48, 49, 55	fvmptd3 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐷)
57		fphpdo.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → 𝐶 = 𝐸)
58		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
59		eleq1w 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
60	59	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
61	57	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐸 ∈ 𝐵))
62	60, 61	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ 𝐵)))
63	62, 2	chvarv 2370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ 𝐵)
64	63	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ 𝐵)
65	47, 57, 58, 64	fvmptd3 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = 𝐸)
66	56, 65	eqeq12d 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ 𝐷 = 𝐸))
67	66	biimpd 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) → 𝐷 = 𝐸))
68	67	anim2d 611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) → (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
69	68	reximdva 3237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
70	69	reximdva 3237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
71	70	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
72	46, 71	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → ((𝑏 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
73	14, 72	sylbid 241	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → (𝑏 ≠ 𝑐 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
74	73	expimpd 454	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → ((((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
75	74	ancomsd 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) → ((𝑏 ≠ 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
76	75	rexlimdvva 3257	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐴 ∃𝑐 ∈ 𝐴 (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑏) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸)))
77	6, 76	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐷 = 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∃wrex 3106  Vcvv 3437   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962   ↦ cmpt 5041  ‘cfv 6225   ≺ csdm 8356  ℝcr 10382   < clt 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526

This theorem is referenced by:  irrapxlem1  38904