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Theorem erdszelem9 34190
Description: Lemma for erdsze 34193. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.j 𝐽 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩)
Assertion
Ref Expression
erdszelem9 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)–1-1β†’(β„• Γ— β„•))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐼,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐽,π‘₯,𝑦   𝑛,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑛)
Proof of Theorem erdszelem9
Dummy variables 𝑀 𝑧 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 erdsze.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 erdszelem.i . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
4 ltso 11294 . . . . . 6 < Or ℝ
51, 2, 3, 4erdszelem6 34187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼:(1...𝑁)βŸΆβ„•)
65ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΌβ€˜π‘›) ∈ β„•)
7 erdszelem.j . . . . . 6 𝐽 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
8 gtso 11295 . . . . . 6 β—‘ < Or ℝ
91, 2, 7, 8erdszelem6 34187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽:(1...𝑁)βŸΆβ„•)
109ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π½β€˜π‘›) ∈ β„•)
11 opelxpi 5714 . . . 4 (((πΌβ€˜π‘›) ∈ β„• ∧ (π½β€˜π‘›) ∈ β„•) β†’ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩ ∈ (β„• Γ— β„•))
126, 10, 11syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩ ∈ (β„• Γ— β„•))
13 erdszelem.t . . 3 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩)
1412, 13fmptd 7114 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢(β„• Γ— β„•))
15 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘§))
16 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑀 β†’ (π‘‡β€˜π‘) = (π‘‡β€˜π‘€))
1715, 16eqeqan12d 2747 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝑧 ∧ 𝑏 = 𝑀) β†’ ((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) ↔ (π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€)))
18 eqeq12 2750 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝑧 ∧ 𝑏 = 𝑀) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ↔ 𝑧 = 𝑀))
1917, 18imbi12d 345 . . . 4 ((π‘Ž = 𝑧 ∧ 𝑏 = 𝑀) β†’ (((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏) ↔ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)))
20 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘€))
21 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑧 β†’ (π‘‡β€˜π‘) = (π‘‡β€˜π‘§))
2220, 21eqeqan12d 2747 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ ((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) ↔ (π‘‡β€˜π‘€) = (π‘‡β€˜π‘§)))
23 eqcom 2740 . . . . . 6 ((π‘‡β€˜π‘€) = (π‘‡β€˜π‘§) ↔ (π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€))
2422, 23bitrdi 287 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ ((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) ↔ (π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€)))
25 eqeq12 2750 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ↔ 𝑀 = 𝑧))
26 eqcom 2740 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑀)
2725, 26bitrdi 287 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ↔ 𝑧 = 𝑀))
2824, 27imbi12d 345 . . . 4 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ (((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏) ↔ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)))
29 elfzelz 13501 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
3029zred 12666 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
3130ssriv 3987 . . . . 5 (1...𝑁) βŠ† ℝ
3231a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) βŠ† ℝ)
33 biidd 262 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁))) β†’ (((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)))
34 simpr1 1195 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ (1...𝑁))
35 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜π‘›) = (πΌβ€˜π‘§))
36 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 β†’ (π½β€˜π‘›) = (π½β€˜π‘§))
3735, 36opeq12d 4882 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑧 β†’ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩)
38 opex 5465 . . . . . . . . 9 ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩ ∈ V
3937, 13, 38fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘‡β€˜π‘§) = ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩)
4034, 39syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (π‘‡β€˜π‘§) = ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩)
41 simpr2 1196 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
42 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘›) = (πΌβ€˜π‘€))
43 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ (π½β€˜π‘›) = (π½β€˜π‘€))
4442, 43opeq12d 4882 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩)
45 opex 5465 . . . . . . . . 9 ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩ ∈ V
4644, 13, 45fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩)
4741, 46syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩)
4840, 47eqeq12d 2749 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) ↔ ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩))
49 fvex 6905 . . . . . . . 8 (πΌβ€˜π‘§) ∈ V
50 fvex 6905 . . . . . . . 8 (π½β€˜π‘§) ∈ V
5149, 50opth 5477 . . . . . . 7 (⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩ ↔ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)))
5234, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
5331, 41sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
54 simpr3 1197 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)
5552, 53, 54leltned 11367 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ 𝑀 β‰  𝑧))
562adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
57 f1fveq 7261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ 𝑧 = 𝑀))
5856, 34, 41, 57syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ 𝑧 = 𝑀))
5958, 26bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ 𝑀 = 𝑧))
6059necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) ↔ 𝑀 β‰  𝑧))
6155, 60bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€)))
6261biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€))
63 f1f 6788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
642, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
6634adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝑧 ∈ (1...𝑁))
6765, 66ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
6841adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
6965, 68ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
7067, 69lttri2d 11353 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§))))
7162, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)))
721ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
732ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
74 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝑧 < 𝑀)
7572, 73, 3, 4, 66, 68, 74erdszelem8 34189 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€)))
7672, 73, 7, 8, 66, 68, 74erdszelem8 34189 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ ((π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€)))
7775, 76anim12d 610 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€))))
78 ioran 983 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)))
79 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘§) ∈ V
80 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘€) ∈ V
8179, 80brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§))
8281notbii 320 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§))
8382anbi2i 624 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€)) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)))
8478, 83bitr4i 278 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€)))
8577, 84syl6ibr 252 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§))))
8671, 85mt2d 136 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ Β¬ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)))
8786ex 414 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (𝑧 < 𝑀 β†’ Β¬ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€))))
8855, 87sylbird 260 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (𝑀 β‰  𝑧 β†’ Β¬ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€))))
8988necon4ad 2960 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)) β†’ 𝑀 = 𝑧))
9051, 89biimtrid 241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩ β†’ 𝑀 = 𝑧))
9148, 90sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑀 = 𝑧))
9291, 26imbitrdi 250 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀))
9319, 28, 32, 33, 92wlogle 11747 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀))
9493ralrimivva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘€ ∈ (1...𝑁)((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀))
95 dff13 7254 . 2 (𝑇:(1...𝑁)–1-1β†’(β„• Γ— β„•) ↔ (𝑇:(1...𝑁)⟢(β„• Γ— β„•) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘€ ∈ (1...𝑁)((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)))
9614, 94, 95sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)–1-1β†’(β„• Γ— β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  1c1 11111   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  ...cfz 13484  β™―chash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291
This theorem is referenced by:  erdszelem10  34191
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