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Theorem erdszelem9 34489
Description: Lemma for erdsze 34492. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.j 𝐽 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩)
Assertion
Ref Expression
erdszelem9 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)–1-1β†’(β„• Γ— β„•))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐼,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐽,π‘₯,𝑦   𝑛,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑛)
Proof of Theorem erdszelem9
Dummy variables 𝑀 𝑧 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 erdsze.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 erdszelem.i . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
4 ltso 11299 . . . . . 6 < Or ℝ
51, 2, 3, 4erdszelem6 34486 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼:(1...𝑁)βŸΆβ„•)
65ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΌβ€˜π‘›) ∈ β„•)
7 erdszelem.j . . . . . 6 𝐽 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
8 gtso 11300 . . . . . 6 β—‘ < Or ℝ
91, 2, 7, 8erdszelem6 34486 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽:(1...𝑁)βŸΆβ„•)
109ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π½β€˜π‘›) ∈ β„•)
11 opelxpi 5713 . . . 4 (((πΌβ€˜π‘›) ∈ β„• ∧ (π½β€˜π‘›) ∈ β„•) β†’ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩ ∈ (β„• Γ— β„•))
126, 10, 11syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩ ∈ (β„• Γ— β„•))
13 erdszelem.t . . 3 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩)
1412, 13fmptd 7115 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢(β„• Γ— β„•))
15 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘§))
16 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑀 β†’ (π‘‡β€˜π‘) = (π‘‡β€˜π‘€))
1715, 16eqeqan12d 2745 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝑧 ∧ 𝑏 = 𝑀) β†’ ((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) ↔ (π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€)))
18 eqeq12 2748 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝑧 ∧ 𝑏 = 𝑀) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ↔ 𝑧 = 𝑀))
1917, 18imbi12d 344 . . . 4 ((π‘Ž = 𝑧 ∧ 𝑏 = 𝑀) β†’ (((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏) ↔ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)))
20 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘€))
21 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑧 β†’ (π‘‡β€˜π‘) = (π‘‡β€˜π‘§))
2220, 21eqeqan12d 2745 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ ((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) ↔ (π‘‡β€˜π‘€) = (π‘‡β€˜π‘§)))
23 eqcom 2738 . . . . . 6 ((π‘‡β€˜π‘€) = (π‘‡β€˜π‘§) ↔ (π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€))
2422, 23bitrdi 287 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ ((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) ↔ (π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€)))
25 eqeq12 2748 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ↔ 𝑀 = 𝑧))
26 eqcom 2738 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑀)
2725, 26bitrdi 287 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ↔ 𝑧 = 𝑀))
2824, 27imbi12d 344 . . . 4 ((π‘Ž = 𝑀 ∧ 𝑏 = 𝑧) β†’ (((π‘‡β€˜π‘Ž) = (π‘‡β€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏) ↔ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)))
29 elfzelz 13506 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
3029zred 12671 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
3130ssriv 3986 . . . . 5 (1...𝑁) βŠ† ℝ
3231a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) βŠ† ℝ)
33 biidd 262 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁))) β†’ (((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)))
34 simpr1 1193 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ (1...𝑁))
35 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜π‘›) = (πΌβ€˜π‘§))
36 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 β†’ (π½β€˜π‘›) = (π½β€˜π‘§))
3735, 36opeq12d 4881 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑧 β†’ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩)
38 opex 5464 . . . . . . . . 9 ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩ ∈ V
3937, 13, 38fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘‡β€˜π‘§) = ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩)
4034, 39syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (π‘‡β€˜π‘§) = ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩)
41 simpr2 1194 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
42 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘›) = (πΌβ€˜π‘€))
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ (π½β€˜π‘›) = (π½β€˜π‘€))
4442, 43opeq12d 4881 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ ⟨(πΌβ€˜π‘›), (π½β€˜π‘›)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩)
45 opex 5464 . . . . . . . . 9 ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩ ∈ V
4644, 13, 45fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩)
4741, 46syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩)
4840, 47eqeq12d 2747 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) ↔ ⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩))
49 fvex 6904 . . . . . . . 8 (πΌβ€˜π‘§) ∈ V
50 fvex 6904 . . . . . . . 8 (π½β€˜π‘§) ∈ V
5149, 50opth 5476 . . . . . . 7 (⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩ ↔ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)))
5234, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
5331, 41sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
54 simpr3 1195 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)
5552, 53, 54leltned 11372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ 𝑀 β‰  𝑧))
562adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
57 f1fveq 7264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ 𝑧 = 𝑀))
5856, 34, 41, 57syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ 𝑧 = 𝑀))
5958, 26bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ 𝑀 = 𝑧))
6059necon3bid 2984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) ↔ 𝑀 β‰  𝑧))
6155, 60bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€)))
6261biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€))
63 f1f 6787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
642, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
6564ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
6634adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝑧 ∈ (1...𝑁))
6765, 66ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
6841adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
6965, 68ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
7067, 69lttri2d 11358 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) β‰  (πΉβ€˜π‘€) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§))))
7162, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)))
721ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
732ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
74 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ 𝑧 < 𝑀)
7572, 73, 3, 4, 66, 68, 74erdszelem8 34488 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€)))
7672, 73, 7, 8, 66, 68, 74erdszelem8 34488 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ ((π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€)))
7775, 76anim12d 608 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€))))
78 ioran 981 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)))
79 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘§) ∈ V
80 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘€) ∈ V
8179, 80brcnv 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§))
8281notbii 320 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§))
8382anbi2i 622 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€)) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)))
8478, 83bitr4i 278 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)β—‘ < (πΉβ€˜π‘€)))
8577, 84imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ (((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ∨ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘§))))
8671, 85mt2d 136 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) ∧ 𝑧 < 𝑀) β†’ Β¬ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)))
8786ex 412 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (𝑧 < 𝑀 β†’ Β¬ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€))))
8855, 87sylbird 260 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (𝑀 β‰  𝑧 β†’ Β¬ ((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€))))
8988necon4ad 2958 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (((πΌβ€˜π‘§) = (πΌβ€˜π‘€) ∧ (π½β€˜π‘§) = (π½β€˜π‘€)) β†’ 𝑀 = 𝑧))
9051, 89biimtrid 241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (⟨(πΌβ€˜π‘§), (π½β€˜π‘§)⟩ = ⟨(πΌβ€˜π‘€), (π½β€˜π‘€)⟩ β†’ 𝑀 = 𝑧))
9148, 90sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑀 = 𝑧))
9291, 26imbitrdi 250 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀))
9319, 28, 32, 33, 92wlogle 11752 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀))
9493ralrimivva 3199 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘€ ∈ (1...𝑁)((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀))
95 dff13 7257 . 2 (𝑇:(1...𝑁)–1-1β†’(β„• Γ— β„•) ↔ (𝑇:(1...𝑁)⟢(β„• Γ— β„•) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘€ ∈ (1...𝑁)((π‘‡β€˜π‘§) = (π‘‡β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)))
9614, 94, 95sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)–1-1β†’(β„• Γ— β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  {crab 3431   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9439  β„cr 11113  1c1 11115   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  ...cfz 13489  β™―chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  erdszelem10  34490
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