Theorem coe1mul3 26060

Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring, at indices high enough that at most one component can be active in the sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul3.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul3.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
coe1mul3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mul3.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
coe1mul3.f2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
coe1mul3.f3	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
coe1mul3.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
coe1mul3.g2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
coe1mul3.g3	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))

Proof of Theorem coe1mul3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mul3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1mul3.f1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		coe1mul3.g1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
4		coe1mul3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
5		coe1mul3.t	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
6		coe1mul3.u	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		coe1mul3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	4, 5, 6, 7	coe1mul 22212	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
10	9	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)))
11		coe1mul3.f2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
12		coe1mul3.g2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
13	11, 12	nn0addcld 12466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0)
14		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (0...𝑥) = (0...(𝐼 + 𝐽)))
15		fvoveq1 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)) = ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
16	15	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
17	14, 16	mpteq12dv 5185	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))))
18	17	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))
20		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6941	. . 3 ⊢ ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
22	13, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25		ringmnd 20178	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
26	1, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
27		ovexd 7393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐼 + 𝐽)) ∈ V)
28	11	nn0red 12463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
29		nn0addge1 12447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
30	28, 12, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
31		fznn0 13535	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
32	13, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
33	11, 30, 32	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)))
34	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
35		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
36	35, 7, 4, 23	coe1f 22152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
37	2, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
38		elfznn0 13536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
39		ffvelcdm 7026	. . . . . . 7 ⊢ (((coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
40	37, 38, 39	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
41		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
42	41, 7, 4, 23	coe1f 22152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
43	3, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
44		fznn0sub 13472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
45		ffvelcdm 7026	. . . . . . 7 ⊢ (((coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
46	43, 44, 45	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
47	23, 6	ringcl 20185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
48	34, 40, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
49	48	fmpttd 7060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))):(0...(𝐼 + 𝐽))⟶(Base‘𝑅))
50		eldifsn 4742	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐼))
51	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
52	51	nn0red 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐼 ∈ ℝ)
54	52, 53	lttri2d 11272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 ≠ 𝐼 ↔ (𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦)))
55	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
56	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
58		coe1mul3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
59	58, 4, 7	deg1xrcl 26043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
60	3, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
62	12	nn0red 12463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
63	62	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ*)
64	63	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℝ*)
65	13	nn0red 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
67	66, 52	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ)
68	67	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
70		coe1mul3.g3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)
71	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)
72	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℝ)
73	52, 53, 72	ltadd1d 11730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽)))
74	52, 72, 66	ltaddsub2d 11738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽) ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
75	73, 74	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
76	75	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
77	61, 64, 69, 71, 76	xrlelttrd 13074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
78	58, 4, 7, 24, 41	deg1lt 26058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g‘𝑅))
79	55, 57, 77, 78	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g‘𝑅))
80	79	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)))
81	23, 6, 24	ringrz 20229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
82	34, 40, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
84	80, 83	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
85	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐹 ∈ 𝐵)
86	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ0)
87	58, 4, 7	deg1xrcl 26043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
88	2, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
89	88	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
90	28	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ*)
91	90	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 ∈ ℝ*)
92	52	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
94		coe1mul3.f3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
95	94	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
96		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 < 𝑦)
97	89, 91, 93, 95, 96	xrlelttrd 13074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) < 𝑦)
98	58, 4, 7, 24, 35	deg1lt 26058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑦) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = (0g‘𝑅))
99	85, 86, 97, 98	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = (0g‘𝑅))
100	99	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
101	23, 6, 24	ringlz 20228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
102	34, 46, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
104	100, 103	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
105	84, 104	jaodan 959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ (𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
106	105	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅)))
107	54, 106	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 ≠ 𝐼 → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅)))
108	107	impr 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐼)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
109	50, 108	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼})) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
110	109, 27	suppss2 8142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝐼})
111	23, 24, 26, 27, 33, 49, 110	gsumpt 19891	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼))
112		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = ((coe1‘𝐹)‘𝐼))
113		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) = ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))
114	113	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)))
115	112, 114	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
116		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
117		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 6941	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
119	33, 118	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
120	11	nn0cnd 12464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
121	12	nn0cnd 12464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
122	120, 121	pncan2d 11494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼) = 𝐽)
123	122	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)) = ((coe1‘𝐺)‘𝐽))
124	123	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))
125	111, 119, 124	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))
126	10, 22, 125	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕ₀cn0 12401  ...cfz 13423  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659  Ringcrg 20168  Poly₁cpl1 22117  coe₁cco1 22118  deg₁cdg1 26015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-cnfld 21310  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-mdeg 26016  df-deg1 26017

This theorem is referenced by:  coe1mul4  26061