Theorem coe1mul3 26397

Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring, at indices high enough that at most one component can be active in the sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul3.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul3.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
coe1mul3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mul3.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
coe1mul3.f2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
coe1mul3.f3	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
coe1mul3.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
coe1mul3.g2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
coe1mul3.g3	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))

Proof of Theorem coe1mul3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mul3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1mul3.f1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		coe1mul3.g1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
4		coe1mul3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
5		coe1mul3.t	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
6		coe1mul3.u	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		coe1mul3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	4, 5, 6, 7	coe1mul 22569	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
10	9	fveq1d 6879	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)))
11		coe1mul3.f2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
12		coe1mul3.g2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
13	11, 12	nn0addcld 12652	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0)
14		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (0...𝑥) = (0...(𝐼 + 𝐽)))
15		fvoveq1 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)) = ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
16	15	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
17	14, 16	mpteq12dv 5192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))))
18	17	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))
20		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6985	. . 3 ⊢ ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
22	13, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
23		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25		ringmnd 20450	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
26	1, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
27		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐼 + 𝐽)) ∈ V)
28	11	nn0red 12649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
29		nn0addge1 12633	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
30	28, 12, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
31		fznn0 13733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
32	13, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
33	11, 30, 32	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)))
34	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
35		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
36	35, 7, 4, 23	coe1f 22509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
37	2, 36	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
38		elfznn0 13734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
39		ffvelcdm 7073	. . . . . . 7 ⊢ (((coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
40	37, 38, 39	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
41		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
42	41, 7, 4, 23	coe1f 22509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
43	3, 42	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
44		fznn0sub 13670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
45		ffvelcdm 7073	. . . . . . 7 ⊢ (((coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
46	43, 44, 45	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
47	23, 6	ringcl 20457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
48	34, 40, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
49	48	fmpttd 7107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))):(0...(𝐼 + 𝐽))⟶(Base‘𝑅))
50		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐼))
51	38	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
52	51	nn0red 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	28	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐼 ∈ ℝ)
54	52, 53	lttri2d 11430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 ≠ 𝐼 ↔ (𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦)))
55	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
56	44	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
58		coe1mul3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
59	58, 4, 7	deg1xrcl 26380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
60	3, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
61	60	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
62	12	nn0red 12649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
63	62	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ*)
64	63	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℝ*)
65	13	nn0red 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
67	66, 52	resubcld 11725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ)
68	67	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
70		coe1mul3.g3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)
72	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℝ)
73	52, 53, 72	ltadd1d 11890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽)))
74	52, 72, 66	ltaddsub2d 11898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽) ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
75	73, 74	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
76	75	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
77	61, 64, 69, 71, 76	xrlelttrd 13270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
78	58, 4, 7, 24, 41	deg1lt 26395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g‘𝑅))
79	55, 57, 77, 78	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g‘𝑅))
80	79	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)))
81	23, 6, 24	ringrz 20505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
82	34, 40, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
83	82	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
84	80, 83	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
85	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐹 ∈ 𝐵)
86	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ0)
87	58, 4, 7	deg1xrcl 26380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
88	2, 87	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
89	88	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
90	28	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ*)
91	90	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 ∈ ℝ*)
92	52	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
94		coe1mul3.f3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
95	94	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
96		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 < 𝑦)
97	89, 91, 93, 95, 96	xrlelttrd 13270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) < 𝑦)
98	58, 4, 7, 24, 35	deg1lt 26395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑦) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = (0g‘𝑅))
99	85, 86, 97, 98	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = (0g‘𝑅))
100	99	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
101	23, 6, 24	ringlz 20504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
102	34, 46, 101	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
103	102	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
104	100, 103	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
105	84, 104	jaodan 972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ (𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
106	105	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅)))
107	54, 106	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 ≠ 𝐼 → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅)))
108	107	impr 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐼)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
109	50, 108	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼})) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
110	109, 27	suppss2 8201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝐼})
111	23, 24, 26, 27, 33, 49, 110	gsumpt 20156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼))
112		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = ((coe1‘𝐹)‘𝐼))
113		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) = ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))
114	113	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)))
115	112, 114	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
116		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
117		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
119	33, 118	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
120	11	nn0cnd 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
121	12	nn0cnd 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
122	120, 121	pncan2d 11652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼) = 𝐽)
123	122	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)) = ((coe1‘𝐺)‘𝐽))
124	123	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))
125	111, 119, 124	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))
126	10, 22, 125	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   + caddc 11184  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℕ₀cn0 12587  ...cfz 13620  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590   Σ_g cgsu 17591  Mndcmnd 18903  Ringcrg 20439  Poly₁cpl1 22475  coe₁cco1 22476  deg₁cdg1 26352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mulg 19258  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-cnfld 21659  df-psr 22197  df-mpl 22199  df-opsr 22201  df-psr1 22478  df-ply1 22480  df-coe1 22481  df-mdeg 26353  df-deg1 26354

This theorem is used by:  coe1mul4  26398