MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul3 24685
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring, at indices high enough that at most one component can be active in the sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul3.s 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1mul3.t = (.r𝑌)
coe1mul3.u · = (.r𝑅)
coe1mul3.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
coe1mul3.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1mul3.f1 (𝜑𝐹𝐵)
coe1mul3.f2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
coe1mul3.f3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐼)
coe1mul3.g1 (𝜑𝐺𝐵)
coe1mul3.g2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
coe1mul3.g3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
coe1mul3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘𝐽)))

Proof of Theorem coe1mul3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1mul3.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 coe1mul3.f1 . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
3 coe1mul3.g1 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
4 coe1mul3.s . . . . 5 𝑌 = (Poly1𝑅)
5 coe1mul3.t . . . . 5 = (.r𝑌)
6 coe1mul3.u . . . . 5 · = (.r𝑅)
7 coe1mul3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
84, 5, 6, 7coe1mul 20430 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)))))))
91, 2, 3, 8syl3anc 1365 . . 3 (𝜑 → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)))))))
109fveq1d 6665 . 2 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)))
11 coe1mul3.f2 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
12 coe1mul3.g2 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
1311, 12nn0addcld 11951 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0)
14 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (0...𝑥) = (0...(𝐼 + 𝐽)))
15 fvoveq1 7171 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)) = ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
1615oveq2d 7164 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))) = (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
1714, 16mpteq12dv 5142 . . . . 5 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))))
1817oveq2d 7164 . . . 4 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
19 eqid 2819 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))))
20 ovex 7181 . . . 4 (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6761 . . 3 ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
2213, 21syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
23 eqid 2819 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24 eqid 2819 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
25 ringmnd 19298 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
261, 25syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
27 ovexd 7183 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝐼 + 𝐽)) ∈ V)
2811nn0red 11948 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
29 nn0addge1 11935 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
3028, 12, 29syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
31 fznn0 12991 . . . . . 6 ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
3213, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
3311, 30, 32mpbir2and 711 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)))
341adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
35 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
3635, 7, 4, 23coe1f 20371 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
372, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
38 elfznn0 12992 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
39 ffvelrn 6842 . . . . . . 7 (((coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
4037, 38, 39syl2an 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
41 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
4241, 7, 4, 23coe1f 20371 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
433, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
44 fznn0sub 12931 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
45 ffvelrn 6842 . . . . . . 7 (((coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
4643, 44, 45syl2an 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
4723, 6ringcl 19303 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
4834, 40, 46, 47syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
4948fmpttd 6872 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))):(0...(𝐼 + 𝐽))⟶(Base‘𝑅))
50 eldifsn 4711 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦𝐼))
5138adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5251nn0red 11948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ)
5328adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐼 ∈ ℝ)
5452, 53lttri2d 10771 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦𝐼 ↔ (𝑦 < 𝐼𝐼 < 𝑦)))
553ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐺𝐵)
5644adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
5756adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
58 coe1mul3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = ( deg1𝑅)
5958, 4, 7deg1xrcl 24668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
603, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
6212nn0red 11948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
6362rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ ℝ*)
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℝ*)
6513nn0red 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
6665adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
6766, 52resubcld 11060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ)
6867rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
6968adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
70 coe1mul3.g3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐽)
7170ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷𝐺) ≤ 𝐽)
7262adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℝ)
7352, 53, 72ltadd1d 11225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽)))
7452, 72, 66ltaddsub2d 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽) ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
7573, 74bitrd 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
7675biimpa 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
7761, 64, 69, 71, 76xrlelttrd 12545 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
7858, 4, 7, 24, 41deg1lt 24683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝐵 ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g𝑅))
7955, 57, 77, 78syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g𝑅))
8079oveq2d 7164 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1𝐹)‘𝑦) · (0g𝑅)))
8123, 6, 24ringrz 19330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8234, 40, 81syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8382adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8480, 83eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
852ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐹𝐵)
8651adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ0)
8758, 4, 7deg1xrcl 24668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
882, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
8988ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
9028rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ∈ ℝ*)
9190ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 ∈ ℝ*)
9252rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9392adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
94 coe1mul3.f3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐼)
9594ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷𝐹) ≤ 𝐼)
96 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 < 𝑦)
9789, 91, 93, 95, 96xrlelttrd 12545 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷𝐹) < 𝑦)
9858, 4, 7, 24, 35deg1lt 24683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐵𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝑦) → ((coe1𝐹)‘𝑦) = (0g𝑅))
9985, 86, 97, 98syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((coe1𝐹)‘𝑦) = (0g𝑅))
10099oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = ((0g𝑅) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
10123, 6, 24ringlz 19329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
10234, 46, 101syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((0g𝑅) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
103102adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((0g𝑅) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
104100, 103eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
10584, 104jaodan 953 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ (𝑦 < 𝐼𝐼 < 𝑦)) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
106105ex 415 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 < 𝐼𝐼 < 𝑦) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅)))
10754, 106sylbid 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦𝐼 → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅)))
108107impr 457 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦𝐼)) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
10950, 108sylan2b 595 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼})) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
110109, 27suppss2 7856 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐼})
11123, 24, 26, 27, 33, 49, 110gsumpt 19074 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼))
112 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐼 → ((coe1𝐹)‘𝑦) = ((coe1𝐹)‘𝐼))
113 oveq2 7156 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) = ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))
114113fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐼 → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)))
115112, 114oveq12d 7166 . . . . 5 (𝑦 = 𝐼 → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
116 eqid 2819 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
117 ovex 7181 . . . . 5 (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) ∈ V
118115, 116, 117fvmpt 6761 . . . 4 (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
11933, 118syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
12011nn0cnd 11949 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
12112nn0cnd 11949 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
122120, 121pncan2d 10991 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼) = 𝐽)
123122fveq2d 6667 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)) = ((coe1𝐺)‘𝐽))
124123oveq2d 7164 . . 3 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘𝐽)))
125111, 119, 1243eqtrd 2858 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘𝐽)))
12610, 22, 1253eqtrd 2858 1 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  Vcvv 3493  cdif 3931  {csn 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  0cn0 11889  ...cfz 12884  Basecbs 16475  .rcmulr 16558  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Mndcmnd 17903  Ringcrg 19289  Poly1cpl1 20337  coe1cco1 20338   deg1 cdg1 24640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-psr 20128  df-mpl 20130  df-opsr 20132  df-psr1 20340  df-ply1 20342  df-coe1 20343  df-cnfld 20538  df-mdeg 24641  df-deg1 24642
This theorem is referenced by:  coe1mul4  24686
  Copyright terms: Public domain W3C validator