MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul3 25487
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring, at indices high enough that at most one component can be active in the sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul3.s ๐‘Œ = (Poly1โ€˜๐‘…)
coe1mul3.t โˆ™ = (.rโ€˜๐‘Œ)
coe1mul3.u ยท = (.rโ€˜๐‘…)
coe1mul3.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
coe1mul3.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
coe1mul3.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
coe1mul3.f1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
coe1mul3.f2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•0)
coe1mul3.f3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐น) โ‰ค ๐ผ)
coe1mul3.g1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
coe1mul3.g2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
coe1mul3.g3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐บ) โ‰ค ๐ฝ)
Assertion
Ref Expression
coe1mul3 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐น โˆ™ ๐บ))โ€˜(๐ผ + ๐ฝ)) = (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜๐ฝ)))

Proof of Theorem coe1mul3
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1mul3.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 coe1mul3.f1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
3 coe1mul3.g1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
4 coe1mul3.s . . . . 5 ๐‘Œ = (Poly1โ€˜๐‘…)
5 coe1mul3.t . . . . 5 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘Œ)
6 coe1mul3.u . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
7 coe1mul3.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
84, 5, 6, 7coe1mul 21664 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (coe1โ€˜(๐น โˆ™ ๐บ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))))
91, 2, 3, 8syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐น โˆ™ ๐บ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))))
109fveq1d 6848 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐น โˆ™ ๐บ))โ€˜(๐ผ + ๐ฝ)) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))โ€˜(๐ผ + ๐ฝ)))
11 coe1mul3.f2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•0)
12 coe1mul3.g2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
1311, 12nn0addcld 12485 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0)
14 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ผ + ๐ฝ) โ†’ (0...๐‘ฅ) = (0...(๐ผ + ๐ฝ)))
15 fvoveq1 7384 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐ผ + ๐ฝ) โ†’ ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)))
1615oveq2d 7377 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ผ + ๐ฝ) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))
1714, 16mpteq12dv 5200 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐ผ + ๐ฝ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)))))
1817oveq2d 7377 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐ผ + ๐ฝ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))))
19 eqid 2733 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
20 ovex 7394 . . . 4 (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))) โˆˆ V
2118, 19, 20fvmpt 6952 . . 3 ((๐ผ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))โ€˜(๐ผ + ๐ฝ)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))))
2213, 21syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))โ€˜(๐ผ + ๐ฝ)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))))
23 eqid 2733 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
24 eqid 2733 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
25 ringmnd 19982 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
261, 25syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
27 ovexd 7396 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โˆˆ V)
2811nn0red 12482 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
29 nn0addge1 12467 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ผ โ‰ค (๐ผ + ๐ฝ))
3028, 12, 29syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค (๐ผ + ๐ฝ))
31 fznn0 13542 . . . . . 6 ((๐ผ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ผ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ผ โ‰ค (๐ผ + ๐ฝ))))
3213, 31syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ผ โ‰ค (๐ผ + ๐ฝ))))
3311, 30, 32mpbir2and 712 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)))
341adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
35 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (coe1โ€˜๐น) = (coe1โ€˜๐น)
3635, 7, 4, 23coe1f 21605 . . . . . . . 8 (๐น โˆˆ ๐ต โ†’ (coe1โ€˜๐น):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
372, 36syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜๐น):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
38 elfznn0 13543 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
39 ffvelcdm 7036 . . . . . . 7 (((coe1โ€˜๐น):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4037, 38, 39syl2an 597 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
41 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (coe1โ€˜๐บ) = (coe1โ€˜๐บ)
4241, 7, 4, 23coe1f 21605 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ ๐ต โ†’ (coe1โ€˜๐บ):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
433, 42syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜๐บ):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
44 fznn0sub 13482 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†’ ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
45 ffvelcdm 7036 . . . . . . 7 (((coe1โ€˜๐บ):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4643, 44, 45syl2an 597 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4723, 6ringcl 19989 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4834, 40, 46, 47syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4948fmpttd 7067 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)))):(0...(๐ผ + ๐ฝ))โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
50 eldifsn 4751 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...(๐ผ + ๐ฝ)) โˆ– {๐ผ}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โˆง ๐‘ฆ โ‰  ๐ผ))
5138adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
5251nn0red 12482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
5328adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
5452, 53lttri2d 11302 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  ๐ผ โ†” (๐‘ฆ < ๐ผ โˆจ ๐ผ < ๐‘ฆ)))
553ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
5644adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
58 coe1mul3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
5958, 4, 7deg1xrcl 25470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐บ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐บ) โˆˆ โ„*)
603, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐บ) โˆˆ โ„*)
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ (๐ทโ€˜๐บ) โˆˆ โ„*)
6212nn0red 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
6362rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„*)
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„*)
6513nn0red 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + ๐ฝ) โˆˆ โ„)
6665adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ (๐ผ + ๐ฝ) โˆˆ โ„)
6766, 52resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
6867rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
70 coe1mul3.g3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐บ) โ‰ค ๐ฝ)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ (๐ทโ€˜๐บ) โ‰ค ๐ฝ)
7262adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
7352, 53, 72ltadd1d 11756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐ผ โ†” (๐‘ฆ + ๐ฝ) < (๐ผ + ๐ฝ)))
7452, 72, 66ltaddsub2d 11764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐ฝ) < (๐ผ + ๐ฝ) โ†” ๐ฝ < ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)))
7573, 74bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐ผ โ†” ๐ฝ < ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)))
7675biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ ๐ฝ < ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))
7761, 64, 69, 71, 76xrlelttrd 13088 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ (๐ทโ€˜๐บ) < ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))
7858, 4, 7, 24, 41deg1lt 25485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ทโ€˜๐บ) < ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†’ ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0gโ€˜๐‘…))
7955, 57, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0gโ€˜๐‘…))
8079oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท (0gโ€˜๐‘…)))
8123, 6, 24ringrz 20020 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
8234, 40, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
8382adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
8480, 83eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐‘ฆ < ๐ผ) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…))
852ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
8651adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
8758, 4, 7deg1xrcl 25470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐น โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐น) โˆˆ โ„*)
882, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐น) โˆˆ โ„*)
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐ทโ€˜๐น) โˆˆ โ„*)
9028rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„*)
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„*)
9252rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„*)
9392adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„*)
94 coe1mul3.f3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐น) โ‰ค ๐ผ)
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐ทโ€˜๐น) โ‰ค ๐ผ)
96 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ ๐ผ < ๐‘ฆ)
9789, 91, 93, 95, 96xrlelttrd 13088 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ (๐ทโ€˜๐น) < ๐‘ฆ)
9858, 4, 7, 24, 35deg1lt 25485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ทโ€˜๐น) < ๐‘ฆ) โ†’ ((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘…))
9985, 86, 97, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ ((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘…))
10099oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))
10123, 6, 24ringlz 20019 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…))
10234, 46, 101syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…))
103102adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…))
104100, 103eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…))
10584, 104jaodan 957 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โˆง (๐‘ฆ < ๐ผ โˆจ ๐ผ < ๐‘ฆ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…))
106105ex 414 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐ผ โˆจ ๐ผ < ๐‘ฆ) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…)))
10754, 106sylbid 239 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ))) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  ๐ผ โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…)))
108107impr 456 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โˆง ๐‘ฆ โ‰  ๐ผ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…))
10950, 108sylan2b 595 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...(๐ผ + ๐ฝ)) โˆ– {๐ผ})) โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (0gโ€˜๐‘…))
110109, 27suppss2 8135 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โŠ† {๐ผ})
11123, 24, 26, 27, 33, 49, 110gsumpt 19747 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))) = ((๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜๐ผ))
112 fveq2 6846 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ผ โ†’ ((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) = ((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ))
113 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ผ โ†’ ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ) = ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐ผ))
114113fveq2d 6850 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ผ โ†’ ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐ผ)))
115112, 114oveq12d 7379 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ผ โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐ผ))))
116 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))
117 ovex 7394 . . . . 5 (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐ผ))) โˆˆ V
118115, 116, 117fvmpt 6952 . . . 4 (๐ผ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜๐ผ) = (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐ผ))))
11933, 118syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜๐ผ) = (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐ผ))))
12011nn0cnd 12483 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
12112nn0cnd 12483 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
122120, 121pncan2d 11522 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐ผ) = ๐ฝ)
123122fveq2d 6850 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐ผ)) = ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜๐ฝ))
124123oveq2d 7377 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐ผ))) = (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜๐ฝ)))
125111, 119, 1243eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...(๐ผ + ๐ฝ)) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜((๐ผ + ๐ฝ) โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜๐ฝ)))
12610, 22, 1253eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐น โˆ™ ๐บ))โ€˜(๐ผ + ๐ฝ)) = (((coe1โ€˜๐น)โ€˜๐ผ) ยท ((coe1โ€˜๐บ)โ€˜๐ฝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911  {csn 4590   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062  โ„*cxr 11196   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  โ„•0cn0 12421  ...cfz 13433  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329   ฮฃg cgsu 17330  Mndcmnd 18564  Ringcrg 19972  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572   deg1 cdg1 25439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-cnfld 20820  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-ply1 21576  df-coe1 21577  df-mdeg 25440  df-deg1 25441
This theorem is referenced by:  coe1mul4  25488
  Copyright terms: Public domain W3C validator