cvgdvgrat - Mathbox for Steve Rodriguez

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Theorem cvgdvgrat 44496

Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio 𝑅 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 converges to less than one, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number; and if 𝑅 converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 15804 and dvgrat 44495 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 15432 and absltd 15353 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191 15353, and how to use r19.29a 3142 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 3135 at https://groups.google.com/g/metamath/c/2RPikOiXLMo 3135.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvgdvgrat.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
cvgdvgrat.w	⊢ 𝑊 = (ℤ_≥‘𝑁)
cvgdvgrat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
cvgdvgrat.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
cvgdvgrat.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgdvgrat.n0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
cvgdvgrat.r	⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
cvgdvgrat.cvg	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝐿)
cvgdvgrat.n1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 1)

**Assertion**
Ref	Expression
cvgdvgrat	⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑘 𝑘,𝐹 𝑘,𝐿 𝑘,𝑁 𝑘,𝑊 𝑅,𝑘 𝑘,𝑀 𝑘,𝑍 Allowed substitution hint: 𝑉(𝑘)

Proof of Theorem cvgdvgrat Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgdvgrat.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (ℤ_≥‘𝑁)
2		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ_≥‘𝑛) = (ℤ_≥‘𝑛)
3		elioore 13289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) → 𝑟 ∈ ℝ)
4	3	ad3antlr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5		cvgdvgrat.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
6		cvgdvgrat.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
8		eluzelz 12759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		cvgdvgrat.cvg	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝐿)
11		cvgdvgrat.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))))
13	1	peano2uzs 12813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
14		ovex 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
15		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
16	15	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
17		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	17	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
19	16, 18	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
20		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑖 ∈ 𝑊))
21	20	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊)))
22		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
23	22	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)))
25	1	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
26	6	uztrn2 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	5, 26	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	25, 27	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29		cvgdvgrat.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	28, 29	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	24, 30	chvarvv 1990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
32	14, 19, 31	vtocl 3513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
33	13, 32	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
34		cvgdvgrat.n0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
35	33, 30, 34	divcld 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
37	12, 36	fvmpt2d 6952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
38	37, 36	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
39	1, 9, 10, 38	climrecl 15504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
40	39	rexrd 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ^*)
41		1xr 11189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
42		elioo2 13300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1)))
43	40, 41, 42	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1)))
44	43	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1))
45	44	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑟 < 1)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 < 1)
47		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑛 ∈ 𝑊)
48	31	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
49	48	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
50	49	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
51		fvoveq1 7379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
52	51	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
53	22	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑖)))
54	53	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
55	52, 54	breq12d 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖)))))
56	55	rspccva 3573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
57	56	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
58	1, 2, 4, 46, 47, 50, 57	cvgrat 15804	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
59	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
60	44	simp2d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝐿 < 𝑟)
61		difrp 12943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
62	39, 3, 61	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
63	60, 62	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺)
64	37	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
65	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑅 ⇝ 𝐿)
66	1, 59, 63, 64, 65	climi2 15432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿))
67	1	uztrn2 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑊)
68	67, 33	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
69	68	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
70	69	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
72	71	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
73	3	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℝ)
74	67, 30	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
75	74	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
76	75	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
78	77	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
79	73, 78	remulcld 11160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
80	67, 34	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
81	80	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
82	81	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
84	71, 77, 83	absdivd 15379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
85	70, 76, 82	divcld 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
86	85	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
87	39	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
88	86, 87	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
89	3	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑟 ∈ ℝ)
90	89, 87	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ)
91	88, 90	absltd 15353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) ↔ (-(𝑟 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿))))
92	91	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿))
93	71, 77, 83	divcld 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
94	93	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
95	39	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
96	94, 73, 95	ltsub1d 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿)))
97	92, 96	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟)
98	84, 97	eqbrtrrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟)
99	77, 83	absrpcld 15372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ⁺)
100	72, 73, 99	ltdivmuld 12998	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟)))
101	98, 100	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟))
102	99	rpcnd 12949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
103	73	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℂ)
104	102, 103	mulcomd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
105	101, 104	breqtrd 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
106	72, 79, 105	ltled 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
107	106	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
108	107	ralimdva 3146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
109	108	reximdva 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
110	66, 109	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
111	58, 110	r19.29a 3142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112	111	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
113	112	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
114		ioon0 13285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
115	40, 41, 114	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
116	115	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (𝐿(,)1) ≠ ∅)
117		r19.3rzv 4454	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿(,)1) ≠ ∅ → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
118	116, 117	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
119	113, 118	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
120	6, 5, 29	iserex 15578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
121	120	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
122	119, 121	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
123	122	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
124		cvgdvgrat.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 1)
125		1red 11131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
126	39, 125	lttri2d 11270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≠ 1 ↔ (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿)))
127	124, 126	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿))
128	127	orcanai 1004	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → 1 < 𝐿)
129		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ 𝑊)
130		cvgdvgrat.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
131	130	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹 ∈ 𝑉)
132	48	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
133	132	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
134	1	uztrn2 12768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑊)
135	22	neeq1d 2989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑖) ≠ 0))
136	21, 135	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)))
137	136, 34	chvarvv 1990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
138	134, 137	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
139	138	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
140	139	adantllr 719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
141	140	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
142	53, 52	breq12d 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))))
143	142	rspccva 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
144	143	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
145	1, 2, 129, 131, 133, 141, 144	dvgrat 44495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
146	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
147		1re 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
148		difrp 12943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺))
149	147, 39, 148	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺))
150	149	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺)
151	37	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
152	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑅 ⇝ 𝐿)
153	1, 146, 150, 151, 152	climi2 15432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1))
154	75	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
155	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
156	155	abscld 15360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
157	69	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
158	157	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
159	158	abscld 15360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
160	81	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
161	160	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
162	155, 161	absrpcld 15372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ⁺)
163	162	rpcnd 12949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
164	163	mullidd 11148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
165	39	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ)
166	165	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℂ)
167		1cnd 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
168	166, 167	negsubdi2d 11506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) = (1 − 𝐿))
169	157, 154, 160	divcld 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
170	169	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
171	39	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
172	170, 171	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
173		1red 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
174	171, 173	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
175	172, 174	absltd 15353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) ↔ (-(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝐿 − 1))))
176	175	simprbda 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿))
177	168, 176	eqbrtrrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿))
178		1red 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
179	158, 155, 161	divcld 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
180	179	abscld 15360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
181	178, 180, 165	ltsub1d 11744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ↔ (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)))
182	177, 181	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
183	158, 155, 161	absdivd 15379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
184	182, 183	breqtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
185	178, 159, 162	ltmuldivd 12994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
186	184, 185	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
187	164, 186	eqbrtrrd 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
188	156, 159, 187	ltled 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
189	188	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
190	189	ralimdva 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
191	190	reximdva 3147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
192	153, 191	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
193	145, 192	r19.29a 3142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
194		df-nel 3035	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195	193, 194	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
196	120	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
197	195, 196	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
198	128, 197	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
199	198	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐿 < 1 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
200	123, 199	impcon4bid 227	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2930 ∉ wnel 3034 ∀wral 3049 ∃wrex 3058 ∅c0 4283 class class class wbr 5096 ↦ cmpt 5177 dom cdm 5622 ‘cfv 6490 (class class class)co 7356 ℂcc 11022 ℝcr 11023 0cc0 11024 1c1 11025 + caddc 11027 · cmul 11029 ℝ^*cxr 11163 < clt 11164 ≤ cle 11165 − cmin 11362 -cneg 11363 / cdiv 11792 ℤcz 12486 ℤ_≥cuz 12749 ℝ⁺crp 12903 (,)cioo 13259 seqcseq 13922 abscabs 15155 ⇝ cli 15405

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-rep 5222 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-inf2 9548 ax-cnex 11080 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101 ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-op 4585 df-uni 4862 df-int 4901 df-iun 4946 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-se 5576 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-isom 6499 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-er 8633 df-pm 8764 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-fin 8885 df-sup 9343 df-inf 9344 df-oi 9413 df-card 9849 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-div 11793 df-nn 12144 df-2 12206 df-3 12207 df-n0 12400 df-z 12487 df-uz 12750 df-q 12860 df-rp 12904 df-ioo 13263 df-ico 13265 df-fz 13422 df-fzo 13569 df-fl 13710 df-seq 13923 df-exp 13983 df-hash 14252 df-shft 14988 df-cj 15020 df-re 15021 df-im 15022 df-sqrt 15156 df-abs 15157 df-limsup 15392 df-clim 15409 df-rlim 15410 df-sum 15608

This theorem is referenced by: radcnvrat 44497

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