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Theorem cvgdvgrat 40937
Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio 𝑅 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 converges to less than one, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number; and if 𝑅 converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 15239 and dvgrat 40936 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 14868 and absltd 14789 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191 14789, and how to use r19.29a 3281 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 3276 at https://groups.google.com/g/metamath/c/2RPikOiXLMo 3276.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
cvgdvgrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgdvgrat.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
cvgdvgrat.n (𝜑𝑁𝑍)
cvgdvgrat.f (𝜑𝐹𝑉)
cvgdvgrat.c ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgdvgrat.n0 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
cvgdvgrat.r 𝑅 = (𝑘𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
cvgdvgrat.cvg (𝜑𝑅𝐿)
cvgdvgrat.n1 (𝜑𝐿 ≠ 1)
Assertion
Ref Expression
cvgdvgrat (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊   𝑅,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem cvgdvgrat
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgdvgrat.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3 elioore 12765 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) → 𝑟 ∈ ℝ)
43ad3antlr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5 cvgdvgrat.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁𝑍)
6 cvgdvgrat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6eleqtrdi 2926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
8 eluzelz 12250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
10 cvgdvgrat.cvg . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅𝐿)
11 cvgdvgrat.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = (𝑘𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 = (𝑘𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))))
131peano2uzs 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
14 ovex 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 + 1) ∈ V
15 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
1615anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑖𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
17 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1817eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
1916, 18imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
20 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑊𝑖𝑊))
2120anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑊) ↔ (𝜑𝑖𝑊)))
22 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2322eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
2421, 23imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)))
251eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
266uztrn2 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
275, 26sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
2825, 27sylan2b 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
29 cvgdvgrat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3028, 29syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3124, 30chvarvv 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3214, 19, 31vtocl 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3313, 32sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
34 cvgdvgrat.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
3533, 30, 34divcld 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑊) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
3635abscld 14796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
3712, 36fvmpt2d 6772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
3837, 36eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) ∈ ℝ)
391, 9, 10, 38climrecl 14940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4039rexrd 10689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
41 1xr 10698 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ*
42 elioo2 12776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟𝑟 < 1)))
4340, 41, 42sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟𝑟 < 1)))
4443biimpa 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟𝑟 < 1))
4544simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑟 < 1)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → 𝑟 < 1)
47 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → 𝑛𝑊)
4831ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖𝑊 → (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
4948ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → (𝑖𝑊 → (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
5049imp 410 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) ∧ 𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
51 fvoveq1 7172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
5251fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
5322fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘(𝐹𝑖)))
5453oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) = (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖))))
5552, 54breq12d 5065 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖)))))
5655rspccva 3608 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖))))
5756adantll 713 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖))))
581, 2, 4, 46, 47, 50, 57cvgrat 15239 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
599adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6044simp2d 1140 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝐿 < 𝑟)
61 difrp 12424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟𝐿) ∈ ℝ+))
6239, 3, 61syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟𝐿) ∈ ℝ+))
6360, 62mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟𝐿) ∈ ℝ+)
6437adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
6510adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑅𝐿)
661, 59, 63, 64, 65climi2 14868 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿))
671uztrn2 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘𝑊)
6867, 33sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
6968anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7069adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7170adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7271abscld 14796 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
733ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → 𝑟 ∈ ℝ)
7467, 30sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7574anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7675adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7776adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7877abscld 14796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
7973, 78remulcld 10669 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
8067, 34sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8180anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8281adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8382adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8471, 77, 83absdivd 14815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
8570, 76, 82divcld 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
8685abscld 14796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
8739ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
8886, 87resubcld 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
893ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9089, 87resubcld 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑟𝐿) ∈ ℝ)
9188, 90absltd 14789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) ↔ (-(𝑟𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝑟𝐿))))
9291simplbda 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝑟𝐿))
9371, 77, 83divcld 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
9493abscld 14796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
9539ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
9694, 73, 95ltsub1d 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) < 𝑟 ↔ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝑟𝐿)))
9792, 96mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) < 𝑟)
9884, 97eqbrtrrd 5076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑟)
9977, 83absrpcld 14808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
10072, 73, 99ltdivmuld 12479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 𝑟)))
10198, 100mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 𝑟))
10299rpcnd 12430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
10373recnd 10667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → 𝑟 ∈ ℂ)
104102, 103mulcomd 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · 𝑟) = (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
105101, 104breqtrd 5078 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
10672, 79, 105ltled 10786 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
107106ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))))
108107ralimdva 3172 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))))
109108reximdva 3266 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))))
11066, 109mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
11158, 110r19.29a 3281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112111ralrimiva 3177 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
113112adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 1) → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
114 ioon0 12761 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
11540, 41, 114sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
116115biimpar 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 1) → (𝐿(,)1) ≠ ∅)
117 r19.3rzv 4427 . . . . . 6 ((𝐿(,)1) ≠ ∅ → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
118116, 117syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 1) → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
119113, 118mpbird 260 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1206, 5, 29iserex 15013 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
121120adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
122119, 121mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝐿 < 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
123122ex 416 . 2 (𝜑 → (𝐿 < 1 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
124 cvgdvgrat.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ≠ 1)
125 1red 10640 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12639, 125lttri2d 10777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ≠ 1 ↔ (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿)))
127124, 126mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿))
128127orcanai 1000 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → 1 < 𝐿)
129 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑛𝑊)
130 cvgdvgrat.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑉)
131130ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹𝑉)
13248ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑖𝑊 → (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
133132imp 410 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
1341uztrn2 12259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑊𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖𝑊)
13522neeq1d 3073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑖) ≠ 0))
13621, 135imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ≠ 0)))
137136, 34chvarvv 2006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
138134, 137sylan2 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑖 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
139138anassrs 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
140139adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
141140adantlr 714 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
14253, 52breq12d 5065 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))))
143142rspccva 3608 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
144143adantll 713 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
1451, 2, 129, 131, 133, 141, 144dvgrat 40936 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
1469adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
147 1re 10639 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
148 difrp 12424 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ+))
149147, 39, 148sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ+))
150149biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ+)
15137adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
15210adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑅𝐿)
1531, 146, 150, 151, 152climi2 14868 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1))
15475adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
155154adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
156155abscld 14796 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15769adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
158157adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
159158abscld 14796 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
16081adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
161160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
162155, 161absrpcld 14808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
163162rpcnd 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
164163mulid2d 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
16539ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ)
166165recnd 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℂ)
167 1cnd 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
168166, 167negsubdi2d 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) = (1 − 𝐿))
169157, 154, 160divcld 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
170169abscld 14796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
17139ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
172170, 171resubcld 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
173 1red 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
174171, 173resubcld 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
175172, 174absltd 14789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) ↔ (-(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝐿 − 1))))
176175simprbda 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿))
177168, 176eqbrtrrd 5076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿))
178 1red 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
179158, 155, 161divcld 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
180179abscld 14796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
181178, 180, 165ltsub1d 11247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ↔ (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)))
182177, 181mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
183158, 155, 161absdivd 14815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
184182, 183breqtrd 5078 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
185178, 159, 162ltmuldivd 12475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((1 · (abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘)))))
186184, 185mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
187164, 186eqbrtrrd 5076 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
188156, 159, 187ltled 10786 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
189188ex 416 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
190189ralimdva 3172 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
191190reximdva 3266 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
192153, 191mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
193145, 192r19.29a 3281 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
194 df-nel 3119 . . . . . 6 (seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195193, 194sylib 221 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
196120adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
197195, 196mtbird 328 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
198128, 197syldan 594 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
199198ex 416 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐿 < 1 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
200123, 199impcon4bid 230 1 (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wnel 3118  wral 3133  wrex 3134  c0 4276   class class class wbr 5052  cmpt 5132  dom cdm 5542  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  cmin 10868  -cneg 10869   / cdiv 11295  cz 11978  cuz 12240  +crp 12386  (,)cioo 12735  seqcseq 13373  abscabs 14593  cli 14841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043
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