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Theorem cvgdvgrat 39472
Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio 𝑅 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 converges to less than one, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number; and if 𝑅 converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 15018 and dvgrat 39471 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 14650 and absltd 14576 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191, and how to use r19.29a 3264 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 3213 at https://groups.google.com/forum/#!topic/metamath/2RPikOiXLMo.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
cvgdvgrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgdvgrat.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
cvgdvgrat.n (𝜑𝑁𝑍)
cvgdvgrat.f (𝜑𝐹𝑉)
cvgdvgrat.c ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgdvgrat.n0 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
cvgdvgrat.r 𝑅 = (𝑘𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
cvgdvgrat.cvg (𝜑𝑅𝐿)
cvgdvgrat.n1 (𝜑𝐿 ≠ 1)
Assertion
Ref Expression
cvgdvgrat (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊   𝑅,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem cvgdvgrat
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgdvgrat.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3 elioore 12517 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) → 𝑟 ∈ ℝ)
43ad3antlr 721 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5 cvgdvgrat.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁𝑍)
6 cvgdvgrat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6syl6eleq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
8 eluzelz 12002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
10 cvgdvgrat.cvg . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅𝐿)
11 cvgdvgrat.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = (𝑘𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 = (𝑘𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))))
131peano2uzs 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
14 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 + 1) ∈ V
15 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
1615anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑖𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
17 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1817eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
1916, 18imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
20 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑊𝑖𝑊))
2120anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑊) ↔ (𝜑𝑖𝑊)))
22 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2322eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
2421, 23imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)))
251eleq2i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
266uztrn2 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
275, 26sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
2825, 27sylan2b 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
29 cvgdvgrat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3028, 29syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3124, 30chvarv 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3214, 19, 31vtocl 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3313, 32sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
34 cvgdvgrat.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
3533, 30, 34divcld 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑊) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
3635abscld 14583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
3712, 36fvmpt2d 6554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
3837, 36eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) ∈ ℝ)
391, 9, 10, 38climrecl 14722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4039rexrd 10426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
41 1xr 10436 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ*
42 elioo2 12528 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟𝑟 < 1)))
4340, 41, 42sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟𝑟 < 1)))
4443biimpa 470 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟𝑟 < 1))
4544simp3d 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑟 < 1)
4645ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → 𝑟 < 1)
47 simplr 759 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → 𝑛𝑊)
4831ex 403 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖𝑊 → (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
4948ad3antrrr 720 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → (𝑖𝑊 → (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
5049imp 397 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) ∧ 𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
51 fvoveq1 6945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
5251fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
5322fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘(𝐹𝑖)))
5453oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) = (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖))))
5552, 54breq12d 4899 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖)))))
5655rspccva 3510 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖))))
5756adantll 704 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖))))
581, 2, 4, 46, 47, 50, 57cvgrat 15018 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
599adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6044simp2d 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝐿 < 𝑟)
61 difrp 12177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟𝐿) ∈ ℝ+))
6239, 3, 61syl2an 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟𝐿) ∈ ℝ+))
6360, 62mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟𝐿) ∈ ℝ+)
6437adantlr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
6510adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑅𝐿)
661, 59, 63, 64, 65climi2 14650 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿))
671uztrn2 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘𝑊)
6867, 33sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
6968anassrs 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7069adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7170adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7271abscld 14583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
733ad4antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → 𝑟 ∈ ℝ)
7467, 30sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7574anassrs 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7675adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7776adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7877abscld 14583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
7973, 78remulcld 10407 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
8067, 34sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8180anassrs 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8281adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8382adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8471, 77, 83absdivd 14602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
8570, 76, 82divcld 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
8685abscld 14583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
8739ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
8886, 87resubcld 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
893ad3antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9089, 87resubcld 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑟𝐿) ∈ ℝ)
9188, 90absltd 14576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) ↔ (-(𝑟𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝑟𝐿))))
9291simplbda 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝑟𝐿))
9371, 77, 83divcld 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
9493abscld 14583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
9539ad4antr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
9694, 73, 95ltsub1d 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) < 𝑟 ↔ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝑟𝐿)))
9792, 96mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) < 𝑟)
9884, 97eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑟)
9977, 83absrpcld 14595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
10072, 73, 99ltdivmuld 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 𝑟)))
10198, 100mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 𝑟))
10299rpcnd 12183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
10373recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → 𝑟 ∈ ℂ)
104102, 103mulcomd 10398 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · 𝑟) = (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
105101, 104breqtrd 4912 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
10672, 79, 105ltled 10524 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
107106ex 403 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))))
108107ralimdva 3144 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))))
109108reximdva 3198 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))))
11066, 109mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
11158, 110r19.29a 3264 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112111ralrimiva 3148 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
113112adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 1) → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
114 ioon0 12513 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
11540, 41, 114sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
116115biimpar 471 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 1) → (𝐿(,)1) ≠ ∅)
117 r19.3rzv 4287 . . . . . 6 ((𝐿(,)1) ≠ ∅ → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
118116, 117syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 1) → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
119113, 118mpbird 249 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1206, 5, 29iserex 14795 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
121120adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
122119, 121mpbird 249 . . 3 ((𝜑𝐿 < 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
123122ex 403 . 2 (𝜑 → (𝐿 < 1 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
124 cvgdvgrat.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ≠ 1)
125 1red 10377 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12639, 125lttri2d 10515 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ≠ 1 ↔ (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿)))
127124, 126mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿))
128127orcanai 988 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → 1 < 𝐿)
129 simplr 759 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑛𝑊)
130 cvgdvgrat.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑉)
131130ad3antrrr 720 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹𝑉)
13248ad3antrrr 720 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑖𝑊 → (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
133132imp 397 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
1341uztrn2 12010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑊𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖𝑊)
13522neeq1d 3028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑖) ≠ 0))
13621, 135imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ≠ 0)))
137136, 34chvarv 2361 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
138134, 137sylan2 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑖 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
139138anassrs 461 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
140139adantllr 709 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
141140adantlr 705 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
14253, 52breq12d 4899 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))))
143142rspccva 3510 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
144143adantll 704 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
1451, 2, 129, 131, 133, 141, 144dvgrat 39471 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
1469adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
147 1re 10376 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
148 difrp 12177 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ+))
149147, 39, 148sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ+))
150149biimpa 470 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ+)
15137adantlr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
15210adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑅𝐿)
1531, 146, 150, 151, 152climi2 14650 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1))
15475adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
155154adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
156155abscld 14583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15769adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
158157adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
159158abscld 14583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
16081adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
161160adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
162155, 161absrpcld 14595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
163162rpcnd 12183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
164163mulid2d 10395 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
16539ad4antr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ)
166165recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℂ)
167 1cnd 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
168166, 167negsubdi2d 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) = (1 − 𝐿))
169157, 154, 160divcld 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
170169abscld 14583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
17139ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
172170, 171resubcld 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
173 1red 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
174171, 173resubcld 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
175172, 174absltd 14576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) ↔ (-(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝐿 − 1))))
176175simprbda 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿))
177168, 176eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿))
178 1red 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
179158, 155, 161divcld 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
180179abscld 14583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
181178, 180, 165ltsub1d 10984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ↔ (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)))
182177, 181mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
183158, 155, 161absdivd 14602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
184182, 183breqtrd 4912 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
185178, 159, 162ltmuldivd 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((1 · (abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘)))))
186184, 185mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
187164, 186eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
188156, 159, 187ltled 10524 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
189188ex 403 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
190189ralimdva 3144 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
191190reximdva 3198 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
192153, 191mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
193145, 192r19.29a 3264 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
194 df-nel 3076 . . . . . 6 (seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195193, 194sylib 210 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
196120adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
197195, 196mtbird 317 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
198128, 197syldan 585 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
199198ex 403 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐿 < 1 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
200123, 199impcon4bid 219 1 (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wnel 3075  wral 3090  wrex 3091  c0 4141   class class class wbr 4886  cmpt 4965  dom cdm 5355  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  cz 11728  cuz 11992  +crp 12137  (,)cioo 12487  seqcseq 13119  abscabs 14381  cli 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825
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