cvgdvgrat - Mathbox for Steve Rodriguez

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Theorem cvgdvgrat 45440

Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio 𝑅 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 converges to less than one, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number; and if 𝑅 converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 16067 and dvgrat 45439 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 15693 and absltd 15614 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191 15614, and how to use r19.29a 3174 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 3167 at https://groups.google.com/g/metamath/c/2RPikOiXLMo 3167.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvgdvgrat.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
cvgdvgrat.w	⊢ 𝑊 = (ℤ_≥‘𝑁)
cvgdvgrat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
cvgdvgrat.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
cvgdvgrat.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgdvgrat.n0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
cvgdvgrat.r	⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
cvgdvgrat.cvg	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝐿)
cvgdvgrat.n1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 1)

**Assertion**
Ref	Expression
cvgdvgrat	⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑘 𝑘,𝐹 𝑘,𝐿 𝑘,𝑁 𝑘,𝑊 𝑅,𝑘 𝑘,𝑀 𝑘,𝑍 Allowed substitution hint: 𝑉(𝑘)

Proof of Theorem cvgdvgrat Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgdvgrat.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (ℤ_≥‘𝑁)
2		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ_≥‘𝑛) = (ℤ_≥‘𝑛)
3		elioore 13519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) → 𝑟 ∈ ℝ)
4	3	ad3antlr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5		cvgdvgrat.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
6		cvgdvgrat.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
8		eluzelz 12988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		cvgdvgrat.cvg	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝐿)
11		cvgdvgrat.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))))
13	1	peano2uzs 13042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
14		ovex 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
15		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
16	15	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
17		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	17	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
19	16, 18	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
20		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑖 ∈ 𝑊))
21	20	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊)))
22		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
23	22	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
24	21, 23	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)))
25	1	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
26	6	uztrn2 12997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	5, 26	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	25, 27	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29		cvgdvgrat.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	28, 29	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	24, 30	chvarvv 2023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
32	14, 19, 31	vtocl 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
33	13, 32	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
34		cvgdvgrat.n0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
35	33, 30, 34	divcld 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
37	12, 36	fvmpt2d 7018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
38	37, 36	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
39	1, 9, 10, 38	climrecl 15765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
40	39	rexrd 11372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ^*)
41		1xr 11381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
42		elioo2 13530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1)))
43	40, 41, 42	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1)))
44	43	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1))
45	44	simp3d 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑟 < 1)
46	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 < 1)
47		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑛 ∈ 𝑊)
48	31	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
49	48	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
50	49	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
51		fvoveq1 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
52	51	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
53	22	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑖)))
54	53	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
55	52, 54	breq12d 5119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖)))))
56	55	rspccva 3579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
57	56	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
58	1, 2, 4, 46, 47, 50, 57	cvgrat 16067	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
59	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
60	44	simp2d 1161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝐿 < 𝑟)
61		difrp 13173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
62	39, 3, 61	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
63	60, 62	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺)
64	37	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
65	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑅 ⇝ 𝐿)
66	1, 59, 63, 64, 65	climi2 15693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿))
67	1	uztrn2 12997	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑊)
68	67, 33	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
69	68	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
70	69	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
71	70	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
72	71	abscld 15621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
73	3	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℝ)
74	67, 30	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
75	74	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
76	75	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
77	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
78	77	abscld 15621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
79	73, 78	remulcld 11352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
80	67, 34	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
81	80	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
82	81	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
83	82	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
84	71, 77, 83	absdivd 15640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
85	70, 76, 82	divcld 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
86	85	abscld 15621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
87	39	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
88	86, 87	resubcld 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
89	3	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑟 ∈ ℝ)
90	89, 87	resubcld 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ)
91	88, 90	absltd 15614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) ↔ ( -(𝑟 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿))))
92	91	simplbda 505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿))
93	71, 77, 83	divcld 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
94	93	abscld 15621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
95	39	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
96	94, 73, 95	ltsub1d 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿)))
97	92, 96	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟)
98	84, 97	eqbrtrrd 5132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟)
99	77, 83	absrpcld 15633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ⁺)
100	72, 73, 99	ltdivmuld 13228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟)))
101	98, 100	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟))
102	99	rpcnd 13179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
103	73	recnd 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℂ)
104	102, 103	mulcomd 11343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
105	101, 104	breqtrd 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
106	72, 79, 105	ltled 11471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
107	106	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
108	107	ralimdva 3178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
109	108	reximdva 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
110	66, 109	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
111	58, 110	r19.29a 3174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112	111	ralrimiva 3158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
113	112	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
114		ioon0 13515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
115	40, 41, 114	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
116	115	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (𝐿(,)1) ≠ ∅)
117		r19.3rzv 4462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿(,)1) ≠ ∅ → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
118	116, 117	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
119	113, 118	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
120	6, 5, 29	iserex 15839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
121	120	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
122	119, 121	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
123	122	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
124		cvgdvgrat.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 1)
125		1red 11322	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
126	39, 125	lttri2d 11462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≠ 1 ↔ (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿)))
127	124, 126	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿))
128	127	orcanai 1018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → 1 < 𝐿)
129		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ 𝑊)
130		cvgdvgrat.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
131	130	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹 ∈ 𝑉)
132	48	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
133	132	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
134	1	uztrn2 12997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑊)
135	22	neeq1d 3018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑖) ≠ 0))
136	21, 135	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)))
137	136, 34	chvarvv 2023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
138	134, 137	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
139	138	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
140	139	adantllr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
141	140	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
142	53, 52	breq12d 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))))
143	142	rspccva 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
144	143	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
145	1, 2, 129, 131, 133, 141, 144	dvgrat 45439	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
146	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
147		1re 11321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
148		difrp 13173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺))
149	147, 39, 148	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺))
150	149	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺)
151	37	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
152	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑅 ⇝ 𝐿)
153	1, 146, 150, 151, 152	climi2 15693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1))
154	75	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
155	154	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
156	155	abscld 15621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
157	69	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
158	157	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
159	158	abscld 15621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
160	81	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
161	160	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
162	155, 161	absrpcld 15633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ⁺)
163	162	rpcnd 13179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
164	163	mullidd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
165	39	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ)
166	165	recnd 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℂ)
167		1cnd 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
168	166, 167	negsubdi2d 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) = (1 − 𝐿))
169	157, 154, 160	divcld 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
170	169	abscld 15621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
171	39	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
172	170, 171	resubcld 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
173		1red 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
174	171, 173	resubcld 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
175	172, 174	absltd 15614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) ↔ ( -(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝐿 − 1))))
176	175	simprbda 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿))
177	168, 176	eqbrtrrd 5132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿))
178		1red 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
179	158, 155, 161	divcld 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
180	179	abscld 15621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
181	178, 180, 165	ltsub1d 11938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ↔ (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)))
182	177, 181	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
183	158, 155, 161	absdivd 15640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
184	182, 183	breqtrd 5134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
185	178, 159, 162	ltmuldivd 13224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
186	184, 185	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
187	164, 186	eqbrtrrd 5132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
188	156, 159, 187	ltled 11471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
189	188	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
190	189	ralimdva 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
191	190	reximdva 3179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
192	153, 191	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
193	145, 192	r19.29a 3174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
194		df-nel 3066	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195	193, 194	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
196	120	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
197	195, 196	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
198	128, 197	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
199	198	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐿 < 1 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
200	123, 199	impcon4bid 230	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1569 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2959 ∉ wnel 3065 ∀wral 3080 ∃wrex 3090 ∅c0 4281 class class class wbr 5106 ↦ cmpt 5189 dom cdm 5655 ‘cfv 6547 (class class class)co 7430 ℂcc 11211 ℝcr 11212 0cc0 11213 1c1 11214 + caddc 11216 · cmul 11218 ℝ^*cxr 11355 < clt 11356 ≤ cle 11357 − cmin 11554 -cneg 11555 / cdiv 11986 ℤcz 12706 ℤ_≥cuz 12978 ℝ⁺crp 13133 (,)cioo 13489 seqcseq 14157 abscabs 15416 ⇝ cli 15666

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1944 ax-6 2001 ax-7 2042 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2196 ax-12 2215 ax-ext 2735 ax-rep 5235 ax-sep 5252 ax-nul 5263 ax-pow 5331 ax-pr 5395 ax-un 7761 ax-inf2 9655 ax-cnex 11269 ax-resscn 11270 ax-1cn 11271 ax-icn 11272 ax-addcl 11273 ax-addrcl 11274 ax-mulcl 11275 ax-mulrcl 11276 ax-mulcom 11277 ax-addass 11278 ax-mulass 11279 ax-distr 11280 ax-i2m1 11281 ax-1ne0 11282 ax-1rid 11283 ax-rnegex 11284 ax-rrecex 11285 ax-cnre 11286 ax-pre-lttri 11287 ax-pre-lttrn 11288 ax-pre-ltadd 11289 ax-pre-mulgt0 11290 ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2101 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4839 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5171 df-mpt 5190 df-tr 5216 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-se 5609 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6311 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6501 df-fun 6549 df-fn 6550 df-f 6551 df-f1 6552 df-fo 6553 df-f1o 6554 df-fv 6555 df-isom 6556 df-riota 7387 df-ov 7433 df-oprab 7434 df-mpo 7435 df-om 7888 df-1st 8011 df-2nd 8012 df-frecs 8313 df-wrecs 8344 df-recs 8393 df-rdg 8432 df-1o 8490 df-er 8731 df-pm 8864 df-en 8988 df-dom 8989 df-sdom 8990 df-fin 8991 df-sup 9447 df-inf 9448 df-oi 9517 df-card 10033 df-pnf 11358 df-mnf 11359 df-xr 11360 df-ltxr 11361 df-le 11362 df-sub 11556 df-neg 11557 df-div 11987 df-nn 12349 df-2 12418 df-3 12419 df-n0 12620 df-z 12707 df-uz 12979 df-q 13089 df-rp 13134 df-ioo 13493 df-ico 13495 df-fz 13653 df-fzo 13802 df-fl 13945 df-seq 14158 df-exp 14218 df-hash 14488 df-shft 15235 df-cj 15281 df-re 15282 df-im 15283 df-sqrt 15417 df-abs 15418 df-limsup 15653 df-clim 15670 df-rlim 15671 df-sum 15869

This theorem is used by: radcnvrat 45441

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