Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvgdvgrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvgdvgrat 43154
Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio ๐‘… of the absolute values of successive terms in an infinite sequence ๐น converges to less than one, then the infinite sum of the terms of ๐น converges to a complex number; and if ๐‘… converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 15831 and dvgrat 43153 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 15457 and absltd 15378 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191 15378, and how to use r19.29a 3162 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 3155 at https://groups.google.com/g/metamath/c/2RPikOiXLMo 3155.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
cvgdvgrat.z ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
cvgdvgrat.w ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)
cvgdvgrat.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
cvgdvgrat.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)
cvgdvgrat.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
cvgdvgrat.n0 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
cvgdvgrat.r ๐‘… = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
cvgdvgrat.cvg (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‡ ๐ฟ)
cvgdvgrat.n1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โ‰  1)
Assertion
Ref Expression
cvgdvgrat (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ < 1 โ†” seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐ฟ   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘Š   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐‘‰(๐‘˜)

Proof of Theorem cvgdvgrat
Dummy variables ๐‘– ๐‘› ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgdvgrat.w . . . . . . . . 9 ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)
2 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)
3 elioore 13356 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
43ad3antlr 729 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
5 cvgdvgrat.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
6 cvgdvgrat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
75, 6eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
8 eluzelz 12834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 cvgdvgrat.cvg . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‡ ๐ฟ)
11 cvgdvgrat.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘… = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)))))
131peano2uzs 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š)
14 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ + 1) โˆˆ V
15 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘Š โ†” (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š))
1615anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š)))
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))
1817eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚))
1916, 18imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)))
20 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†” ๐‘– โˆˆ ๐‘Š))
2120anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š)))
22 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘–))
2322eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚))
2421, 23imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)))
251eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
266uztrn2 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
275, 26sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
2825, 27sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
29 cvgdvgrat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3028, 29syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3124, 30chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3214, 19, 31vtocl 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
3313, 32sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
34 cvgdvgrat.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
3533, 30, 34divcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3635abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
3712, 36fvmpt2d 7011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
3837, 36eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
391, 9, 10, 38climrecl 15529 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
4039rexrd 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„*)
41 1xr 11275 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„*
42 elioo2 13367 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ฟ โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ < ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < 1)))
4340, 41, 42sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ < ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < 1)))
4443biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ < ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < 1))
4544simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ ๐‘Ÿ < 1)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ๐‘Ÿ < 1)
47 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘Š)
4831ex 413 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚))
4948ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚))
5049imp 407 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
51 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = (๐นโ€˜(๐‘– + 1)))
5251fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))))
5322fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)))
5453oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–))))
5552, 54breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) โ†” (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)))))
5655rspccva 3611 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–))))
5756adantll 712 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–))))
581, 2, 4, 46, 47, 50, 57cvgrat 15831 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
599adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6044simp2d 1143 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ ๐ฟ < ๐‘Ÿ)
61 difrp 13014 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ฟ < ๐‘Ÿ โ†” (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„+))
6239, 3, 61syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ (๐ฟ < ๐‘Ÿ โ†” (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„+))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„+)
6437adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
6510adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ ๐‘… โ‡ ๐ฟ)
661, 59, 63, 64, 65climi2 15457 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ))
671uztrn2 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š)
6867, 33sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
6968anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7069adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7271abscld 15385 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
733ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
7467, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7574anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7675adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7877abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
7973, 78remulcld 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
8067, 34sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8180anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8281adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8471, 77, 83absdivd 15404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
8570, 76, 82divcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
8685abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
8739ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
8886, 87resubcld 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„)
893ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
9089, 87resubcld 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„)
9188, 90absltd 15378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โ†” (-(๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) โˆง ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ))))
9291simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ))
9371, 77, 83divcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
9493abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
9539ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
9694, 73, 95ltsub1d 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘Ÿ โ†” ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)))
9792, 96mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘Ÿ)
9884, 97eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘Ÿ)
9977, 83absrpcld 15397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
10072, 73, 99ltdivmuld 13069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘Ÿ โ†” (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) < ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท ๐‘Ÿ)))
10198, 100mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) < ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท ๐‘Ÿ))
10299rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
10373recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
104102, 103mulcomd 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท ๐‘Ÿ) = (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
105101, 104breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) < (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
10672, 79, 105ltled 11364 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
107106ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))))
108107ralimdva 3167 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))))
109108reximdva 3168 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))))
11066, 109mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
11158, 110r19.29a 3162 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
112111ralrimiva 3146 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
113112adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
114 ioon0 13352 . . . . . . . 8 ((๐ฟ โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ฟ(,)1) โ‰  โˆ… โ†” ๐ฟ < 1))
11540, 41, 114sylancl 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฟ(,)1) โ‰  โˆ… โ†” ๐ฟ < 1))
116115biimpar 478 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ (๐ฟ(,)1) โ‰  โˆ…)
117 r19.3rzv 4498 . . . . . 6 ((๐ฟ(,)1) โ‰  โˆ… โ†’ (seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
118116, 117syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ (seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
119113, 118mpbird 256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
1206, 5, 29iserex 15605 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
121120adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ (seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
122119, 121mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
123122ex 413 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ < 1 โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
124 cvgdvgrat.n1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โ‰  1)
125 1red 11217 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12639, 125lttri2d 11355 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โ‰  1 โ†” (๐ฟ < 1 โˆจ 1 < ๐ฟ)))
127124, 126mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ < 1 โˆจ 1 < ๐ฟ))
128127orcanai 1001 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฟ < 1) โ†’ 1 < ๐ฟ)
129 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘Š)
130 cvgdvgrat.f . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)
131130ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)
13248ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚))
133132imp 407 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1341uztrn2 12843 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘Š)
13522neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0 โ†” (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0))
13621, 135imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)))
137136, 34chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
138134, 137sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
139138anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
140139adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
141140adantlr 713 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
14253, 52breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†” (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1)))))
143142rspccva 3611 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))))
144143adantll 712 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))))
1451, 2, 129, 131, 133, 141, 144dvgrat 43153 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆ‰ dom โ‡ )
1469adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
147 1re 11216 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
148 difrp 13014 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ฟ โ†” (๐ฟ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
149147, 39, 148sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ฟ โ†” (๐ฟ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
150149biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ (๐ฟ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
15137adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
15210adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ ๐‘… โ‡ ๐ฟ)
1531, 146, 150, 151, 152climi2 15457 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1))
15475adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
156155abscld 15385 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
15769adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
158157adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
159158abscld 15385 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
16081adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
161160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
162155, 161absrpcld 15397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
163162rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
164163mullidd 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (1 ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))
16539ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
166165recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
167 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
168166, 167negsubdi2d 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ -(๐ฟ โˆ’ 1) = (1 โˆ’ ๐ฟ))
169157, 154, 160divcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
170169abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
17139ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
172170, 171resubcld 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„)
173 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
174171, 173resubcld 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐ฟ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
175172, 174absltd 15378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1) โ†” (-(๐ฟ โˆ’ 1) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) โˆง ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) < (๐ฟ โˆ’ 1))))
176175simprbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ -(๐ฟ โˆ’ 1) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ))
177168, 176eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (1 โˆ’ ๐ฟ) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ))
178 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
179158, 155, 161divcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
180179abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
181178, 180, 165ltsub1d 11825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (1 < (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โ†” (1 โˆ’ ๐ฟ) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)))
182177, 181mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ 1 < (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
183158, 155, 161absdivd 15404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
184182, 183breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
185178, 159, 162ltmuldivd 13065 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ ((1 ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) < (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†” 1 < ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))))
186184, 185mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (1 ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) < (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
187164, 186eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) < (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
188156, 159, 187ltled 11364 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
189188ex 413 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
190189ralimdva 3167 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
191190reximdva 3168 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
192153, 191mpd 15 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
193145, 192r19.29a 3162 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆ‰ dom โ‡ )
194 df-nel 3047 . . . . . 6 (seq๐‘( + , ๐น) โˆ‰ dom โ‡ โ†” ยฌ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
195193, 194sylib 217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ ยฌ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
196120adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ (seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
197195, 196mtbird 324 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ ยฌ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
198128, 197syldan 591 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฟ < 1) โ†’ ยฌ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
199198ex 413 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐ฟ < 1 โ†’ ยฌ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
200123, 199impcon4bid 226 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ < 1 โ†” seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โˆ‰ wnel 3046  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  dom cdm 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11249   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  (,)cioo 13326  seqcseq 13968  abscabs 15183   โ‡ cli 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635
This theorem is referenced by:  radcnvrat  43155
  Copyright terms: Public domain W3C validator