cvgdvgrat - Mathbox for Steve Rodriguez

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Theorem cvgdvgrat 42583

Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio 𝑅 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 converges to less than one, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number; and if 𝑅 converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 15768 and dvgrat 42582 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 15393 and absltd 15314 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191 15314, and how to use r19.29a 3159 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 3152 at https://groups.google.com/g/metamath/c/2RPikOiXLMo 3152.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvgdvgrat.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
cvgdvgrat.w	⊢ 𝑊 = (ℤ_≥‘𝑁)
cvgdvgrat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
cvgdvgrat.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
cvgdvgrat.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgdvgrat.n0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
cvgdvgrat.r	⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
cvgdvgrat.cvg	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝐿)
cvgdvgrat.n1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 1)

**Assertion**
Ref	Expression
cvgdvgrat	⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑘 𝑘,𝐹 𝑘,𝐿 𝑘,𝑁 𝑘,𝑊 𝑅,𝑘 𝑘,𝑀 𝑘,𝑍 Allowed substitution hint: 𝑉(𝑘)

Proof of Theorem cvgdvgrat Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgdvgrat.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (ℤ_≥‘𝑁)
2		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ_≥‘𝑛) = (ℤ_≥‘𝑛)
3		elioore 13294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) → 𝑟 ∈ ℝ)
4	3	ad3antlr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5		cvgdvgrat.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
6		cvgdvgrat.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
8		eluzelz 12773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		cvgdvgrat.cvg	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝐿)
11		cvgdvgrat.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))))
13	1	peano2uzs 12827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
14		ovex 7390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
15		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
16	15	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
17		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	17	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
19	16, 18	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
20		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑖 ∈ 𝑊))
21	20	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊)))
22		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
23	22	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)))
25	1	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
26	6	uztrn2 12782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	5, 26	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	25, 27	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29		cvgdvgrat.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	28, 29	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	24, 30	chvarvv 2002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
32	14, 19, 31	vtocl 3518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
33	13, 32	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
34		cvgdvgrat.n0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
35	33, 30, 34	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
37	12, 36	fvmpt2d 6961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
38	37, 36	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
39	1, 9, 10, 38	climrecl 15465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
40	39	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ^*)
41		1xr 11214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
42		elioo2 13305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1)))
43	40, 41, 42	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1)))
44	43	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1))
45	44	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑟 < 1)
46	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 < 1)
47		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑛 ∈ 𝑊)
48	31	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
49	48	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
50	49	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
51		fvoveq1 7380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
52	51	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
53	22	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑖)))
54	53	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
55	52, 54	breq12d 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖)))))
56	55	rspccva 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
57	56	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
58	1, 2, 4, 46, 47, 50, 57	cvgrat 15768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
59	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
60	44	simp2d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝐿 < 𝑟)
61		difrp 12953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
62	39, 3, 61	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
63	60, 62	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺)
64	37	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
65	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑅 ⇝ 𝐿)
66	1, 59, 63, 64, 65	climi2 15393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿))
67	1	uztrn2 12782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑊)
68	67, 33	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
69	68	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
70	69	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
72	71	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
73	3	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℝ)
74	67, 30	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
75	74	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
76	75	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
78	77	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
79	73, 78	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
80	67, 34	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
81	80	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
82	81	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
84	71, 77, 83	absdivd 15340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
85	70, 76, 82	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
86	85	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
87	39	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
88	86, 87	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
89	3	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑟 ∈ ℝ)
90	89, 87	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ)
91	88, 90	absltd 15314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) ↔ (-(𝑟 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿))))
92	91	simplbda 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿))
93	71, 77, 83	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
94	93	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
95	39	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
96	94, 73, 95	ltsub1d 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿)))
97	92, 96	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟)
98	84, 97	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟)
99	77, 83	absrpcld 15333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ⁺)
100	72, 73, 99	ltdivmuld 13008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟)))
101	98, 100	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟))
102	99	rpcnd 12959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
103	73	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℂ)
104	102, 103	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
105	101, 104	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
106	72, 79, 105	ltled 11303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
107	106	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
108	107	ralimdva 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
109	108	reximdva 3165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
110	66, 109	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
111	58, 110	r19.29a 3159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112	111	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
113	112	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
114		ioon0 13290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
115	40, 41, 114	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
116	115	biimpar 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (𝐿(,)1) ≠ ∅)
117		r19.3rzv 4456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿(,)1) ≠ ∅ → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
118	116, 117	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
119	113, 118	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
120	6, 5, 29	iserex 15541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
121	120	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
122	119, 121	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
123	122	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
124		cvgdvgrat.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 1)
125		1red 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
126	39, 125	lttri2d 11294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≠ 1 ↔ (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿)))
127	124, 126	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿))
128	127	orcanai 1001	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → 1 < 𝐿)
129		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ 𝑊)
130		cvgdvgrat.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
131	130	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹 ∈ 𝑉)
132	48	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
133	132	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
134	1	uztrn2 12782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑊)
135	22	neeq1d 3003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑖) ≠ 0))
136	21, 135	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)))
137	136, 34	chvarvv 2002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
138	134, 137	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
139	138	anassrs 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
140	139	adantllr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
141	140	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
142	53, 52	breq12d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))))
143	142	rspccva 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
144	143	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
145	1, 2, 129, 131, 133, 141, 144	dvgrat 42582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
146	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
147		1re 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
148		difrp 12953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺))
149	147, 39, 148	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺))
150	149	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺)
151	37	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
152	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑅 ⇝ 𝐿)
153	1, 146, 150, 151, 152	climi2 15393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1))
154	75	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
156	155	abscld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
157	69	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
159	158	abscld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
160	81	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
161	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
162	155, 161	absrpcld 15333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ⁺)
163	162	rpcnd 12959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
164	163	mulid2d 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
165	39	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ)
166	165	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℂ)
167		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
168	166, 167	negsubdi2d 11528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) = (1 − 𝐿))
169	157, 154, 160	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
170	169	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
171	39	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
172	170, 171	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
173		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
174	171, 173	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
175	172, 174	absltd 15314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) ↔ (-(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝐿 − 1))))
176	175	simprbda 499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿))
177	168, 176	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿))
178		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
179	158, 155, 161	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
180	179	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
181	178, 180, 165	ltsub1d 11764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ↔ (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)))
182	177, 181	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
183	158, 155, 161	absdivd 15340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
184	182, 183	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
185	178, 159, 162	ltmuldivd 13004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
186	184, 185	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
187	164, 186	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
188	156, 159, 187	ltled 11303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
189	188	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
190	189	ralimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
191	190	reximdva 3165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
192	153, 191	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
193	145, 192	r19.29a 3159	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
194		df-nel 3050	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195	193, 194	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
196	120	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
197	195, 196	mtbird 324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
198	128, 197	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
199	198	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐿 < 1 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
200	123, 199	impcon4bid 226	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∉ wnel 3049 ∀wral 3064 ∃wrex 3073 ∅c0 4282 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 dom cdm 5633 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 -cneg 11386 / cdiv 11812 ℤcz 12499 ℤ_≥cuz 12763 ℝ⁺crp 12915 (,)cioo 13264 seqcseq 13906 abscabs 15119 ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-er 8648 df-pm 8768 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-ioo 13268 df-ico 13270 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-seq 13907 df-exp 13968 df-hash 14231 df-shft 14952 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-limsup 15353 df-clim 15370 df-rlim 15371 df-sum 15571

This theorem is referenced by: radcnvrat 42584

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