cvgdvgrat - Mathbox for Steve Rodriguez

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Theorem cvgdvgrat 44949

Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio 𝑅 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 converges to less than one, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number; and if 𝑅 converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 15937 and dvgrat 44948 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 15562 and absltd 15483 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191 15483, and how to use r19.29a 3179 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 3172 at https://groups.google.com/g/metamath/c/2RPikOiXLMo 3172.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvgdvgrat.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
cvgdvgrat.w	⊢ 𝑊 = (ℤ_≥‘𝑁)
cvgdvgrat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
cvgdvgrat.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
cvgdvgrat.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgdvgrat.n0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
cvgdvgrat.r	⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
cvgdvgrat.cvg	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝐿)
cvgdvgrat.n1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 1)

**Assertion**
Ref	Expression
cvgdvgrat	⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑘 𝑘,𝐹 𝑘,𝐿 𝑘,𝑁 𝑘,𝑊 𝑅,𝑘 𝑘,𝑀 𝑘,𝑍 Allowed substitution hint: 𝑉(𝑘)

Proof of Theorem cvgdvgrat Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgdvgrat.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (ℤ_≥‘𝑁)
2		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ_≥‘𝑛) = (ℤ_≥‘𝑛)
3		elioore 13402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) → 𝑟 ∈ ℝ)
4	3	ad3antlr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5		cvgdvgrat.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
6		cvgdvgrat.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
8		eluzelz 12872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		cvgdvgrat.cvg	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝐿)
11		cvgdvgrat.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))))
13	1	peano2uzs 12926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
14		ovex 7444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
15		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
16	15	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
17		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	17	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
19	16, 18	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
20		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑖 ∈ 𝑊))
21	20	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊)))
22		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
23	22	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
24	21, 23	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)))
25	1	eleq2i 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
26	6	uztrn2 12881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	5, 26	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	25, 27	sylan2b 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29		cvgdvgrat.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	28, 29	syldan 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	24, 30	chvarvv 2016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
32	14, 19, 31	vtocl 3534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
33	13, 32	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
34		cvgdvgrat.n0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
35	33, 30, 34	divcld 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
37	12, 36	fvmpt2d 7004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
38	37, 36	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
39	1, 9, 10, 38	climrecl 15634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
40	39	rexrd 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ^*)
41		1xr 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
42		elioo2 13413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1)))
43	40, 41, 42	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1)))
44	43	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1))
45	44	simp3d 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑟 < 1)
46	45	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 < 1)
47		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑛 ∈ 𝑊)
48	31	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
49	48	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
50	49	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
51		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
52	51	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
53	22	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑖)))
54	53	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
55	52, 54	breq12d 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖)))))
56	55	rspccva 3589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
57	56	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))
58	1, 2, 4, 46, 47, 50, 57	cvgrat 15937	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
59	9	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
60	44	simp2d 1159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝐿 < 𝑟)
61		difrp 13056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
62	39, 3, 61	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
63	60, 62	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ⁺)
64	37	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
65	10	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑅 ⇝ 𝐿)
66	1, 59, 63, 64, 65	climi2 15562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿))
67	1	uztrn2 12881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑊)
68	67, 33	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
69	68	anassrs 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
70	69	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
71	70	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
72	71	abscld 15490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
73	3	ad4antlr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℝ)
74	67, 30	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
75	74	anassrs 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
76	75	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
77	76	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
78	77	abscld 15490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
79	73, 78	remulcld 11239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
80	67, 34	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
81	80	anassrs 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
82	81	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
83	82	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
84	71, 77, 83	absdivd 15509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
85	70, 76, 82	divcld 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
86	85	abscld 15490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
87	39	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
88	86, 87	resubcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
89	3	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑟 ∈ ℝ)
90	89, 87	resubcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ)
91	88, 90	absltd 15483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) ↔ (-(𝑟 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿))))
92	91	simplbda 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿))
93	71, 77, 83	divcld 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
94	93	abscld 15490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
95	39	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
96	94, 73, 95	ltsub1d 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿)))
97	92, 96	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟)
98	84, 97	eqbrtrrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟)
99	77, 83	absrpcld 15502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ⁺)
100	72, 73, 99	ltdivmuld 13111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟)))
101	98, 100	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟))
102	99	rpcnd 13062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
103	73	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℂ)
104	102, 103	mulcomd 11230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
105	101, 104	breqtrd 5141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
106	72, 79, 105	ltled 11358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
107	106	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
108	107	ralimdva 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
109	108	reximdva 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
110	66, 109	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
111	58, 110	r19.29a 3179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112	111	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
113	112	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
114		ioon0 13398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
115	40, 41, 114	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
116	115	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (𝐿(,)1) ≠ ∅)
117		r19.3rzv 4469	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿(,)1) ≠ ∅ → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
118	116, 117	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
119	113, 118	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
120	6, 5, 29	iserex 15708	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
121	120	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
122	119, 121	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
123	122	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
124		cvgdvgrat.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 1)
125		1red 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
126	39, 125	lttri2d 11349	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≠ 1 ↔ (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿)))
127	124, 126	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿))
128	127	orcanai 1018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → 1 < 𝐿)
129		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ 𝑊)
130		cvgdvgrat.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
131	130	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹 ∈ 𝑉)
132	48	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
133	132	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
134	1	uztrn2 12881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑊)
135	22	neeq1d 3023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑖) ≠ 0))
136	21, 135	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)))
137	136, 34	chvarvv 2016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
138	134, 137	sylan2 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
139	138	anassrs 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
140	139	adantllr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
141	140	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
142	53, 52	breq12d 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))))
143	142	rspccva 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
144	143	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
145	1, 2, 129, 131, 133, 141, 144	dvgrat 44948	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
146	9	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
147		1re 11208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
148		difrp 13056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺))
149	147, 39, 148	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺))
150	149	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ⁺)
151	37	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
152	10	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑅 ⇝ 𝐿)
153	1, 146, 150, 151, 152	climi2 15562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1))
154	75	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
155	154	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
156	155	abscld 15490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
157	69	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
158	157	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
159	158	abscld 15490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
160	81	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
161	160	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
162	155, 161	absrpcld 15502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ⁺)
163	162	rpcnd 13062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
164	163	mullidd 11227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
165	39	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ)
166	165	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℂ)
167		1cnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
168	166, 167	negsubdi2d 11585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) = (1 − 𝐿))
169	157, 154, 160	divcld 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
170	169	abscld 15490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
171	39	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
172	170, 171	resubcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
173		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
174	171, 173	resubcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
175	172, 174	absltd 15483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) ↔ (-(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝐿 − 1))))
176	175	simprbda 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿))
177	168, 176	eqbrtrrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿))
178		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
179	158, 155, 161	divcld 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
180	179	abscld 15490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
181	178, 180, 165	ltsub1d 11823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ↔ (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)))
182	177, 181	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))
183	158, 155, 161	absdivd 15509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
184	182, 183	breqtrd 5141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))
185	178, 159, 162	ltmuldivd 13107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
186	184, 185	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
187	164, 186	eqbrtrrd 5139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
188	156, 159, 187	ltled 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
189	188	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
190	189	ralimdva 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
191	190	reximdva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
192	153, 191	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
193	145, 192	r19.29a 3179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
194		df-nel 3071	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195	193, 194	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
196	120	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
197	195, 196	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
198	128, 197	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
199	198	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐿 < 1 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
200	123, 199	impcon4bid 230	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 ∧ w3a 1101 = wceq 1567 ∈ wcel 2149 ≠ wne 2964 ∉ wnel 3070 ∀wral 3085 ∃wrex 3095 ∅c0 4294 class class class wbr 5113 ↦ cmpt 5196 dom cdm 5662 ‘cfv 6537 (class class class)co 7411 ℂcc 11098 ℝcr 11099 0cc0 11100 1c1 11101 + caddc 11103 · cmul 11105 ℝ^*cxr 11242 < clt 11243 ≤ cle 11244 − cmin 11441 -cneg 11442 / cdiv 11871 ℤcz 12591 ℤ_≥cuz 12862 ℝ⁺crp 13016 (,)cioo 13372 seqcseq 14037 abscabs 15285 ⇝ cli 15535

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-rep 5242 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-inf2 9610 ax-cnex 11156 ax-resscn 11157 ax-1cn 11158 ax-icn 11159 ax-addcl 11160 ax-addrcl 11161 ax-mulcl 11162 ax-mulrcl 11163 ax-mulcom 11164 ax-addass 11165 ax-mulass 11166 ax-distr 11167 ax-i2m1 11168 ax-1ne0 11169 ax-1rid 11170 ax-rnegex 11171 ax-rrecex 11172 ax-cnre 11173 ax-pre-lttri 11174 ax-pre-lttrn 11175 ax-pre-ltadd 11176 ax-pre-mulgt0 11177 ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4877 df-int 4917 df-iun 4962 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-se 5616 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7863 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-1o 8453 df-er 8694 df-pm 8827 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-fin 8947 df-sup 9402 df-inf 9403 df-oi 9472 df-card 9925 df-pnf 11245 df-mnf 11246 df-xr 11247 df-ltxr 11248 df-le 11249 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11872 df-nn 12234 df-2 12303 df-3 12304 df-n0 12505 df-z 12592 df-uz 12863 df-q 12973 df-rp 13017 df-ioo 13376 df-ico 13378 df-fz 13536 df-fzo 13683 df-fl 13825 df-seq 14038 df-exp 14098 df-hash 14367 df-shft 15104 df-cj 15150 df-re 15151 df-im 15152 df-sqrt 15286 df-abs 15287 df-limsup 15522 df-clim 15539 df-rlim 15540 df-sum 15738

This theorem is referenced by: radcnvrat 44950

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