Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvgdvgrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvgdvgrat 43375
Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio ๐‘… of the absolute values of successive terms in an infinite sequence ๐น converges to less than one, then the infinite sum of the terms of ๐น converges to a complex number; and if ๐‘… converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 15834 and dvgrat 43374 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 15460 and absltd 15381 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191 15381, and how to use r19.29a 3161 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 3154 at https://groups.google.com/g/metamath/c/2RPikOiXLMo 3154.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
cvgdvgrat.z ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
cvgdvgrat.w ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)
cvgdvgrat.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
cvgdvgrat.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)
cvgdvgrat.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
cvgdvgrat.n0 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
cvgdvgrat.r ๐‘… = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
cvgdvgrat.cvg (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‡ ๐ฟ)
cvgdvgrat.n1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โ‰  1)
Assertion
Ref Expression
cvgdvgrat (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ < 1 โ†” seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐ฟ   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘Š   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐‘‰(๐‘˜)

Proof of Theorem cvgdvgrat
Dummy variables ๐‘– ๐‘› ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgdvgrat.w . . . . . . . . 9 ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)
2 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)
3 elioore 13359 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
43ad3antlr 728 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
5 cvgdvgrat.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
6 cvgdvgrat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
75, 6eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
8 eluzelz 12837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 cvgdvgrat.cvg . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‡ ๐ฟ)
11 cvgdvgrat.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘… = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)))))
131peano2uzs 12891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š)
14 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ + 1) โˆˆ V
15 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘Š โ†” (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š))
1615anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š)))
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))
1817eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚))
1916, 18imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘– = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)))
20 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†” ๐‘– โˆˆ ๐‘Š))
2120anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š)))
22 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘–))
2322eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚))
2421, 23imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)))
251eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
266uztrn2 12846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
275, 26sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
2825, 27sylan2b 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
29 cvgdvgrat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3028, 29syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3124, 30chvarvv 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3214, 19, 31vtocl 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
3313, 32sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
34 cvgdvgrat.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
3533, 30, 34divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3635abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
3712, 36fvmpt2d 7011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
3837, 36eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
391, 9, 10, 38climrecl 15532 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
4039rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„*)
41 1xr 11278 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„*
42 elioo2 13370 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ฟ โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ < ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < 1)))
4340, 41, 42sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ < ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < 1)))
4443biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ < ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < 1))
4544simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ ๐‘Ÿ < 1)
4645ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ๐‘Ÿ < 1)
47 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘Š)
4831ex 412 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚))
4948ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚))
5049imp 406 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
51 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = (๐นโ€˜(๐‘– + 1)))
5251fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))))
5322fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)))
5453oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–))))
5552, 54breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) โ†” (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)))))
5655rspccva 3611 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–))))
5756adantll 711 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–))))
581, 2, 4, 46, 47, 50, 57cvgrat 15834 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
599adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6044simp2d 1142 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ ๐ฟ < ๐‘Ÿ)
61 difrp 13017 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ฟ < ๐‘Ÿ โ†” (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„+))
6239, 3, 61syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ (๐ฟ < ๐‘Ÿ โ†” (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„+))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„+)
6437adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
6510adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ ๐‘… โ‡ ๐ฟ)
661, 59, 63, 64, 65climi2 15460 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ))
671uztrn2 12846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š)
6867, 33sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
6968anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7069adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7271abscld 15388 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
733ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
7467, 30sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7574anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7675adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7877abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
7973, 78remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
8067, 34sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8180anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8281adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8471, 77, 83absdivd 15407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
8570, 76, 82divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
8685abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
8739ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
8886, 87resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„)
893ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
9089, 87resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„)
9188, 90absltd 15381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โ†” (-(๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) โˆง ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ))))
9291simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ))
9371, 77, 83divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
9493abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
9539ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
9694, 73, 95ltsub1d 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘Ÿ โ†” ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)))
9792, 96mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘Ÿ)
9884, 97eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘Ÿ)
9977, 83absrpcld 15400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
10072, 73, 99ltdivmuld 13072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) < ๐‘Ÿ โ†” (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) < ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท ๐‘Ÿ)))
10198, 100mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) < ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท ๐‘Ÿ))
10299rpcnd 13023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
10373recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
104102, 103mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท ๐‘Ÿ) = (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
105101, 104breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) < (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
10672, 79, 105ltled 11367 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
107106ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))))
108107ralimdva 3166 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))))
109108reximdva 3167 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐‘Ÿ โˆ’ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))))
11066, 109mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐‘Ÿ ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
11158, 110r19.29a 3161 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
112111ralrimiva 3145 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
113112adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
114 ioon0 13355 . . . . . . . 8 ((๐ฟ โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ฟ(,)1) โ‰  โˆ… โ†” ๐ฟ < 1))
11540, 41, 114sylancl 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฟ(,)1) โ‰  โˆ… โ†” ๐ฟ < 1))
116115biimpar 477 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ (๐ฟ(,)1) โ‰  โˆ…)
117 r19.3rzv 4498 . . . . . 6 ((๐ฟ(,)1) โ‰  โˆ… โ†’ (seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
118116, 117syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ (seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐ฟ(,)1)seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
119113, 118mpbird 257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
1206, 5, 29iserex 15608 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
121120adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ (seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
122119, 121mpbird 257 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < 1) โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
123122ex 412 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ < 1 โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
124 cvgdvgrat.n1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โ‰  1)
125 1red 11220 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12639, 125lttri2d 11358 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โ‰  1 โ†” (๐ฟ < 1 โˆจ 1 < ๐ฟ)))
127124, 126mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ < 1 โˆจ 1 < ๐ฟ))
128127orcanai 1000 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฟ < 1) โ†’ 1 < ๐ฟ)
129 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘Š)
130 cvgdvgrat.f . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)
131130ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)
13248ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚))
133132imp 406 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1341uztrn2 12846 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘Š)
13522neeq1d 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0 โ†” (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0))
13621, 135imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)))
137136, 34chvarvv 2001 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
138134, 137sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
139138anassrs 467 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
140139adantllr 716 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
141140adantlr 712 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โ‰  0)
14253, 52breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†” (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1)))))
143142rspccva 3611 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))))
144143adantll 711 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘– + 1))))
1451, 2, 129, 131, 133, 141, 144dvgrat 43374 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆ‰ dom โ‡ )
1469adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
147 1re 11219 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
148 difrp 13017 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ฟ โ†” (๐ฟ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
149147, 39, 148sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ฟ โ†” (๐ฟ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
150149biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ (๐ฟ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
15137adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
15210adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ ๐‘… โ‡ ๐ฟ)
1531, 146, 150, 151, 152climi2 15460 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1))
15475adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
155154adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
156155abscld 15388 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
15769adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
159158abscld 15388 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
16081adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
162155, 161absrpcld 15400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
163162rpcnd 13023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
164163mullidd 11237 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (1 ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))
16539ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
166165recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
167 1cnd 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
168166, 167negsubdi2d 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ -(๐ฟ โˆ’ 1) = (1 โˆ’ ๐ฟ))
169157, 154, 160divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
170169abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
17139ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
172170, 171resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) โˆˆ โ„)
173 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
174171, 173resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐ฟ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
175172, 174absltd 15381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1) โ†” (-(๐ฟ โˆ’ 1) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) โˆง ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ) < (๐ฟ โˆ’ 1))))
176175simprbda 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ -(๐ฟ โˆ’ 1) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ))
177168, 176eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (1 โˆ’ ๐ฟ) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ))
178 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
179158, 155, 161divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
180179abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
181178, 180, 165ltsub1d 11828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (1 < (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โ†” (1 โˆ’ ๐ฟ) < ((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)))
182177, 181mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ 1 < (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))))
183158, 155, 161absdivd 15407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
184182, 183breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
185178, 159, 162ltmuldivd 13068 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ ((1 ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) < (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†” 1 < ((absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))))
186184, 185mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (1 ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) < (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
187164, 186eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) < (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
188156, 159, 187ltled 11367 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง (absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
189188ex 412 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
190189ralimdva 3166 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
191190reximdva 3167 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜((absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ๐ฟ)) < (๐ฟ โˆ’ 1) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
192153, 191mpd 15 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘Š โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
193145, 192r19.29a 3161 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ seq๐‘( + , ๐น) โˆ‰ dom โ‡ )
194 df-nel 3046 . . . . . 6 (seq๐‘( + , ๐น) โˆ‰ dom โ‡ โ†” ยฌ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
195193, 194sylib 217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ ยฌ seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
196120adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ (seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
197195, 196mtbird 325 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 1 < ๐ฟ) โ†’ ยฌ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
198128, 197syldan 590 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฟ < 1) โ†’ ยฌ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
199198ex 412 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐ฟ < 1 โ†’ ยฌ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
200123, 199impcon4bid 226 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ < 1 โ†” seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   โˆ‰ wnel 3045  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  dom cdm 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119  โ„*cxr 11252   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ„+crp 12979  (,)cioo 13329  seqcseq 13971  abscabs 15186   โ‡ cli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638
This theorem is referenced by:  radcnvrat  43376
  Copyright terms: Public domain W3C validator