Theorem nlly2i 23804

Description: Eliminate the neighborhood symbol from nllyi 23803. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlly2i	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈∃𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑠,𝐴   𝑃,𝑠,𝑢   𝑈,𝑠,𝑢   𝐽,𝑠,𝑢

Proof of Theorem nlly2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nllyi 23803	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))
2		simprrl 793	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠 ⊆ 𝑈)
3		velpw 4561	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑠 ⊆ 𝑈)
4	2, 3	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑈)
5		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
6		nllytop 23801	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 → 𝐽 ∈ Top)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
8		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9		neii2 23435	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑢 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠))
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → ∃𝑢 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠))
11		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠)) → {𝑃} ⊆ 𝑢)
12		simpll3 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠)) → 𝑃 ∈ 𝑈)
13		snssg 4740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑈 → (𝑃 ∈ 𝑢 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑢))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠)) → (𝑃 ∈ 𝑢 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑢))
15	11, 14	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠)) → 𝑃 ∈ 𝑢)
16		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠)) → 𝑢 ⊆ 𝑠)
17		simprrr 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠)) → (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴)
19	15, 16, 18	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠)) → (𝑃 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))
20	19	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠) → (𝑃 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴)))
21	20	reximdv 3177	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (∃𝑢 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠) → ∃𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴)))
22	10, 21	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))) → ∃𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))
23	1, 4, 22	reximssdv 3180	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈∃𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑠 ∧ (𝐽 ↾t 𝑠) ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↾_t crest 17600  Topctop 23220  neicnei 23424  𝑛-Locally cnlly 23793

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-top 23221  df-nei 23425  df-nlly 23795

This theorem is used by:  restnlly  23810  nllyrest  23814  nllyidm  23817  cldllycmp  23823  txnlly  23965  txkgen  23980  xkococnlem  23987  connpconn  36118  cvmliftmolem2  36165  cvmlift3lem8  36209