MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlly2i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nlly2i 22972
Description: Eliminate the neighborhood symbol from nllyi 22971. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nlly2i ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘ˆβˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑠,𝐴   𝑃,𝑠,𝑒   π‘ˆ,𝑠,𝑒   𝐽,𝑠,𝑒
Proof of Theorem nlly2i
StepHypRef Expression
1 nllyi 22971 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
2 simprrl 780 . . 3 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 βŠ† π‘ˆ)
3 velpw 4607 . . 3 (𝑠 ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ 𝑠 βŠ† π‘ˆ)
42, 3sylibr 233 . 2 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘ˆ)
5 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
6 nllytop 22969 . . . . 5 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 β†’ 𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
8 simprl 770 . . . 4 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}))
9 neii2 22604 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠))
107, 8, 9syl2anc 585 . . 3 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠))
11 simprl 770 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠)) β†’ {𝑃} βŠ† 𝑒)
12 simpll3 1215 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠)) β†’ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
13 snssg 4787 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ↔ {𝑃} βŠ† 𝑒))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ↔ {𝑃} βŠ† 𝑒))
1511, 14mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑒)
16 simprr 772 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑠)
17 simprrr 781 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
1817adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
1915, 16, 183jca 1129 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
2019ex 414 . . . 4 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)))
2120reximdv 3171 . . 3 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ({𝑃} βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)))
2210, 21mpd 15 . 2 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑠 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
231, 4, 22reximssdv 3173 1 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘ˆβˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   β†Ύt crest 17363  Topctop 22387  neicnei 22593  π‘›-Locally cnlly 22961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-top 22388  df-nei 22594  df-nlly 22963
This theorem is referenced by:  restnlly  22978  nllyrest  22982  nllyidm  22985  cldllycmp  22991  txnlly  23133  txkgen  23148  xkococnlem  23155  connpconn  34215  cvmliftmolem2  34262  cvmlift3lem8  34306
  Copyright terms: Public domain W3C validator