MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmsub 22759
Description: The norm of the difference between two elements. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmsub ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))

Proof of Theorem nmsub
StepHypRef Expression
1 simp1 1167 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpgrp 22735 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
4 simp3 1169 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
5 simp2 1168 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
6 nmf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
7 nmmtri.m . . . . 5 = (-g𝐺)
8 eqid 2803 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
96, 7, 8grpinvsub 17817 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴)) = (𝐴 𝐵))
103, 4, 5, 9syl3anc 1491 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴)) = (𝐴 𝐵))
1110fveq2d 6419 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴))) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
126, 7grpsubcl 17815 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵 𝐴) ∈ 𝑋)
133, 4, 5, 12syl3anc 1491 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵 𝐴) ∈ 𝑋)
14 nmf.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
156, 14, 8nminv 22757 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴))) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))
161, 13, 15syl2anc 580 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴))) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))
1711, 16eqtr3d 2839 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6105  (class class class)co 6882  Basecbs 16188  Grpcgrp 17742  invgcminusg 17743  -gcsg 17744  normcnm 22713  NrmGrpcngp 22714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-sup 8594  df-inf 8595  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10981  df-nn 11317  df-2 11380  df-n0 11585  df-z 11671  df-uz 11935  df-q 12038  df-rp 12079  df-xneg 12197  df-xadd 12198  df-xmul 12199  df-0g 16421  df-topgen 16423  df-mgm 17561  df-sgrp 17603  df-mnd 17614  df-grp 17745  df-minusg 17746  df-sbg 17747  df-psmet 20064  df-xmet 20065  df-met 20066  df-bl 20067  df-mopn 20068  df-top 21031  df-topon 21048  df-topsp 21070  df-bases 21083  df-xms 22457  df-ms 22458  df-nm 22719  df-ngp 22720
This theorem is referenced by:  ncvsdif  23286
  Copyright terms: Public domain W3C validator