MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmsub 23231
Description: The norm of the difference between two elements. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmsub ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))

Proof of Theorem nmsub
StepHypRef Expression
1 simp1 1132 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpgrp 23207 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
4 simp3 1134 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
5 simp2 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
6 nmf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
7 nmmtri.m . . . . 5 = (-g𝐺)
8 eqid 2821 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
96, 7, 8grpinvsub 18180 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴)) = (𝐴 𝐵))
103, 4, 5, 9syl3anc 1367 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴)) = (𝐴 𝐵))
1110fveq2d 6673 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴))) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
126, 7grpsubcl 18178 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵 𝐴) ∈ 𝑋)
133, 4, 5, 12syl3anc 1367 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵 𝐴) ∈ 𝑋)
14 nmf.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
156, 14, 8nminv 23229 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴))) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))
161, 13, 15syl2anc 586 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((invg𝐺)‘(𝐵 𝐴))) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))
1711, 16eqtr3d 2858 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  Grpcgrp 18102  invgcminusg 18103  -gcsg 18104  normcnm 23185  NrmGrpcngp 23186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-0g 16714  df-topgen 16716  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-xms 22929  df-ms 22930  df-nm 23191  df-ngp 23192
This theorem is referenced by:  ncvsdif  23758
  Copyright terms: Public domain W3C validator