Theorem nrmtngnrm 24700

Description: The augmentation of a normed group by its own norm is a normed group with the same norm. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nrmtngdist.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nrmtngnrm	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))

Proof of Theorem nrmtngnrm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24633	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nrmtngdist.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	nrmtngdist 24699	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
6	3, 5	ngpmet 24637	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
7	4, 6	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9	3, 8	nmf 24649	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ)
10		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
11	2, 3, 10	tngngp2 24694	. . . 4 ⊢ ((norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ NrmGrp)
14	1, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ))
15		reex 11275	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
16	2, 3, 15	tngnm 24693	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ) → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
18	17	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺))
19	13, 18	jca 511	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   × cxp 5698   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  Basecbs 17258  distcds 17320  Grpcgrp 18973  Metcmet 21373  normcnm 24610  NrmGrpcngp 24611   toNrmGrp ctng 24612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-ds 17333  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-topgen 17503  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-xms 24351  df-ms 24352  df-nm 24616  df-ngp 24617  df-tng 24618

This theorem is referenced by:  tngngpim  24701