Theorem nrmtngnrm 24603

Description: The augmentation of a normed group by its own norm is a normed group with the same norm. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nrmtngdist.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nrmtngnrm	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))

Proof of Theorem nrmtngnrm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24536	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nrmtngdist.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
3		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	nrmtngdist 24602	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
5		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
6	3, 5	ngpmet 24540	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
7	4, 6	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
8		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9	3, 8	nmf 24552	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ)
10		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
11	2, 3, 10	tngngp2 24597	. . . 4 ⊢ ((norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ NrmGrp)
14	1, 9	jca 510	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ))
15		reex 11239	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
16	2, 3, 15	tngnm 24596	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ) → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
18	17	eqcomd 2734	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺))
19	13, 18	jca 510	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   × cxp 5680   ↾ cres 5684  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11147  Basecbs 17189  distcds 17251  Grpcgrp 18904  Metcmet 21279  normcnm 24513  NrmGrpcngp 24514   toNrmGrp ctng 24515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-tset 17261  df-ds 17264  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-topgen 17434  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-xms 24254  df-ms 24255  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-tng 24521

This theorem is referenced by:  tngngpim  24604