Theorem nrmtngnrm 24794

Description: The augmentation of a normed group by its own norm is a normed group with the same norm. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nrmtngdist.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nrmtngnrm	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))

Proof of Theorem nrmtngnrm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24735	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nrmtngdist.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	nrmtngdist 24793	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
6	3, 5	ngpmet 24739	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
7	4, 6	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9	3, 8	nmf 24751	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ)
10		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
11	2, 3, 10	tngngp2 24788	. . . 4 ⊢ ((norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
12	9, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 725	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ NrmGrp)
14	1, 9	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ))
15		reex 11190	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
16	2, 3, 15	tngnm 24787	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ) → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
17	14, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
18	17	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺))
19	13, 18	jca 520	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  Basecbs 17268  distcds 17318  Grpcgrp 18999  Metcmet 21487  normcnm 24712  NrmGrpcngp 24713   toNrmGrp ctng 24714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-tset 17328  df-ds 17331  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-topgen 17495  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-xms 24456  df-ms 24457  df-nm 24718  df-ngp 24719  df-tng 24720

This theorem is referenced by:  tngngpim  24795