Theorem nrmtngnrm 23929

Description: The augmentation of a normed group by its own norm is a normed group with the same norm. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nrmtngdist.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nrmtngnrm	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))

Proof of Theorem nrmtngnrm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 23862	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nrmtngdist.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	nrmtngdist 23928	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
6	3, 5	ngpmet 23866	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
7	4, 6	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9	3, 8	nmf 23878	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ)
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
11	2, 3, 10	tngngp2 23923	. . . 4 ⊢ ((norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 710	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ NrmGrp)
14	1, 9	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ))
15		reex 11064	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
16	2, 3, 15	tngnm 23922	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ) → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
18	17	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺))
19	13, 18	jca 512	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   × cxp 5619   ↾ cres 5623  ⟶wf 6476  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  ℝcr 10972  Basecbs 17010  distcds 17069  Grpcgrp 18674  Metcmet 20690  normcnm 23839  NrmGrpcngp 23840   toNrmGrp ctng 23841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-map 8689  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-sup 9300  df-inf 9301  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-q 12791  df-rp 12833  df-xneg 12950  df-xadd 12951  df-xmul 12952  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-tset 17079  df-ds 17082  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-topgen 17252  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-psmet 20696  df-xmet 20697  df-met 20698  df-bl 20699  df-mopn 20700  df-top 22150  df-topon 22167  df-topsp 22189  df-bases 22203  df-xms 23580  df-ms 23581  df-nm 23845  df-ngp 23846  df-tng 23847

This theorem is referenced by:  tngngpim  23930