MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmods Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmods 23906
Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmods.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmods.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmods.c 𝐶 = (dist‘𝑆)
nmods.d 𝐷 = (dist‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmods ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Proof of Theorem nmods
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
2 nghmrcl1 23894 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3 ngpgrp 23753 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
5 nmods.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑆)
6 eqid 2740 . . . . 5 (-g𝑆) = (-g𝑆)
75, 6grpsubcl 18653 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
84, 7syl3an1 1162 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
9 nmods.n . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
10 eqid 2740 . . . 4 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
11 eqid 2740 . . . 4 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
129, 5, 10, 11nmoi 23890 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
131, 8, 12syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
14 nghmrcl2 23895 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
15143ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16 nghmghm 23896 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17163ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
18 eqid 2740 . . . . . . 7 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
195, 18ghmf 18836 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2017, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
21 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
2220, 21ffvelrnd 6959 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑇))
23 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
2420, 23ffvelrnd 6959 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
25 eqid 2740 . . . . 5 (-g𝑇) = (-g𝑇)
26 nmods.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑇)
2711, 18, 25, 26ngpds 23758 . . . 4 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
2815, 22, 24, 27syl3anc 1370 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
295, 6, 25ghmsub 18840 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)) = ((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵)))
3016, 29syl3an1 1162 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)) = ((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵)))
3130fveq2d 6775 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
3228, 31eqtr4d 2783 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
33 nmods.c . . . . 5 𝐶 = (dist‘𝑆)
3410, 5, 6, 33ngpds 23758 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)))
352, 34syl3an1 1162 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)))
3635oveq2d 7287 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)) = ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
3713, 32, 363brtr4d 5111 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271   · cmul 10877  cle 11011  Basecbs 16910  distcds 16969  Grpcgrp 18575  -gcsg 18577   GrpHom cghm 18829  normcnm 23730  NrmGrpcngp 23731   normOp cnmo 23867   NGHom cnghm 23868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ico 13084  df-0g 17150  df-topgen 17152  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-ghm 18830  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-xms 23471  df-ms 23472  df-nm 23736  df-ngp 23737  df-nmo 23870  df-nghm 23871
This theorem is referenced by:  nghmcn  23907
  Copyright terms: Public domain W3C validator