Theorem nmods 24862

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmods.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmods.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmods.c	⊢ 𝐶 = (dist‘𝑆)
nmods.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmods	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Proof of Theorem nmods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
2		nghmrcl1 24850	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3		ngpgrp 24717	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
5		nmods.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
7	5, 6	grpsubcl 19077	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl3an1 1179	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
9		nmods.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
10		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
12	9, 5, 10, 11	nmoi 24846	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (𝐴(-g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
13	1, 8, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
14		nghmrcl2 24851	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
15	14	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16		nghmghm 24852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17	16	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
18		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
19	5, 18	ghmf 19281	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
20	17, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
21		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
22	20, 21	ffvelcdmd 7070	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑇))
23		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
24	20, 23	ffvelcdmd 7070	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
25		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑇) = (-g‘𝑇)
26		nmods.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
27	11, 18, 25, 26	ngpds 24722	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
28	15, 22, 24, 27	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
29	5, 6, 25	ghmsub 19285	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
30	16, 29	syl3an1 1179	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
31	30	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
32	28, 31	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
33		nmods.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (dist‘𝑆)
34	10, 5, 6, 33	ngpds 24722	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)))
35	2, 34	syl3an1 1179	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)))
36	35	oveq2d 7416	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)) = ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
37	13, 32, 36	3brtr4d 5137	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   · cmul 11093   ≤ cle 11232  Basecbs 17259  distcds 17309  Grpcgrp 18990  -_gcsg 18992   GrpHom cghm 19274  normcnm 24694  NrmGrpcngp 24695   normOp cnmo 24823   NGHom cnghm 24824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13369  df-0g 17484  df-topgen 17486  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-ghm 19275  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-xms 24438  df-ms 24439  df-nm 24700  df-ngp 24701  df-nmo 24826  df-nghm 24827

This theorem is referenced by:  nghmcn  24863