MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmods Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmods 24780
Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmods.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmods.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmods.c 𝐶 = (dist‘𝑆)
nmods.d 𝐷 = (dist‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmods ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Proof of Theorem nmods
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
2 nghmrcl1 24768 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3 ngpgrp 24627 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
5 nmods.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑆)
6 eqid 2734 . . . . 5 (-g𝑆) = (-g𝑆)
75, 6grpsubcl 19050 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
84, 7syl3an1 1162 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
9 nmods.n . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
10 eqid 2734 . . . 4 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
11 eqid 2734 . . . 4 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
129, 5, 10, 11nmoi 24764 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
131, 8, 12syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
14 nghmrcl2 24769 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
15143ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16 nghmghm 24770 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17163ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
18 eqid 2734 . . . . . . 7 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
195, 18ghmf 19250 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2017, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
21 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
2220, 21ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑇))
23 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
2420, 23ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
25 eqid 2734 . . . . 5 (-g𝑇) = (-g𝑇)
26 nmods.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑇)
2711, 18, 25, 26ngpds 24632 . . . 4 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
2815, 22, 24, 27syl3anc 1370 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
295, 6, 25ghmsub 19254 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)) = ((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵)))
3016, 29syl3an1 1162 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)) = ((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵)))
3130fveq2d 6910 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
3228, 31eqtr4d 2777 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
33 nmods.c . . . . 5 𝐶 = (dist‘𝑆)
3410, 5, 6, 33ngpds 24632 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)))
352, 34syl3an1 1162 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)))
3635oveq2d 7446 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)) = ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
3713, 32, 363brtr4d 5179 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430   · cmul 11157  cle 11293  Basecbs 17244  distcds 17306  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965   GrpHom cghm 19242  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605   normOp cnmo 24741   NGHom cnghm 24742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-ghm 19243  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nmo 24744  df-nghm 24745
This theorem is referenced by:  nghmcn  24781
  Copyright terms: Public domain W3C validator