MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmods Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmods 23329
Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmods.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmods.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmods.c 𝐶 = (dist‘𝑆)
nmods.d 𝐷 = (dist‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmods ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Proof of Theorem nmods
StepHypRef Expression
1 simp1 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
2 nghmrcl1 23317 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3 ngpgrp 23184 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
5 nmods.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑆)
6 eqid 2820 . . . . 5 (-g𝑆) = (-g𝑆)
75, 6grpsubcl 18158 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
84, 7syl3an1 1159 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
9 nmods.n . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
10 eqid 2820 . . . 4 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
11 eqid 2820 . . . 4 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
129, 5, 10, 11nmoi 23313 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
131, 8, 12syl2anc 586 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
14 nghmrcl2 23318 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
15143ad2ant1 1129 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16 nghmghm 23319 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17163ad2ant1 1129 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
18 eqid 2820 . . . . . . 7 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
195, 18ghmf 18341 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2017, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
21 simp2 1133 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
2220, 21ffvelrnd 6828 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑇))
23 simp3 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
2420, 23ffvelrnd 6828 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
25 eqid 2820 . . . . 5 (-g𝑇) = (-g𝑇)
26 nmods.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑇)
2711, 18, 25, 26ngpds 23189 . . . 4 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
2815, 22, 24, 27syl3anc 1367 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
295, 6, 25ghmsub 18345 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)) = ((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵)))
3016, 29syl3an1 1159 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)) = ((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵)))
3130fveq2d 6650 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
3228, 31eqtr4d 2858 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
33 nmods.c . . . . 5 𝐶 = (dist‘𝑆)
3410, 5, 6, 33ngpds 23189 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)))
352, 34syl3an1 1159 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)))
3635oveq2d 7149 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)) = ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
3713, 32, 363brtr4d 5074 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5042  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133   · cmul 10520  cle 10654  Basecbs 16462  distcds 16553  Grpcgrp 18082  -gcsg 18084   GrpHom cghm 18334  normcnm 23162  NrmGrpcngp 23163   normOp cnmo 23290   NGHom cnghm 23291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ico 12723  df-0g 16694  df-topgen 16696  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-ghm 18335  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-xms 22906  df-ms 22907  df-nm 23168  df-ngp 23169  df-nmo 23293  df-nghm 23294
This theorem is referenced by:  nghmcn  23330
  Copyright terms: Public domain W3C validator