Theorem nmods 23814

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmods.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmods.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmods.c	⊢ 𝐶 = (dist‘𝑆)
nmods.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmods	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Proof of Theorem nmods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
2		nghmrcl1 23802	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3		ngpgrp 23661	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
5		nmods.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
7	5, 6	grpsubcl 18570	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl3an1 1161	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
9		nmods.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
12	9, 5, 10, 11	nmoi 23798	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (𝐴(-g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
13	1, 8, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
14		nghmrcl2 23803	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
15	14	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16		nghmghm 23804	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17	16	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
18		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
19	5, 18	ghmf 18753	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
20	17, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
21		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
22	20, 21	ffvelrnd 6944	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑇))
23		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
24	20, 23	ffvelrnd 6944	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
25		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑇) = (-g‘𝑇)
26		nmods.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
27	11, 18, 25, 26	ngpds 23666	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
28	15, 22, 24, 27	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
29	5, 6, 25	ghmsub 18757	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
30	16, 29	syl3an1 1161	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
31	30	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
32	28, 31	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
33		nmods.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (dist‘𝑆)
34	10, 5, 6, 33	ngpds 23666	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)))
35	2, 34	syl3an1 1161	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)))
36	35	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)) = ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
37	13, 32, 36	3brtr4d 5102	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   · cmul 10807   ≤ cle 10941  Basecbs 16840  distcds 16897  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494   GrpHom cghm 18746  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639   normOp cnmo 23775   NGHom cnghm 23776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-ghm 18747  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nmo 23778  df-nghm 23779

This theorem is referenced by:  nghmcn  23815