Theorem nmods 23908

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmods.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmods.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmods.c	⊢ 𝐶 = (dist‘𝑆)
nmods.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmods	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Proof of Theorem nmods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
2		nghmrcl1 23896	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3		ngpgrp 23755	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
5		nmods.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
7	5, 6	grpsubcl 18655	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
9		nmods.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
12	9, 5, 10, 11	nmoi 23892	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (𝐴(-g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
13	1, 8, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
14		nghmrcl2 23897	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
15	14	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16		nghmghm 23898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17	16	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
18		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
19	5, 18	ghmf 18838	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
20	17, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
21		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
22	20, 21	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑇))
23		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
24	20, 23	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
25		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑇) = (-g‘𝑇)
26		nmods.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
27	11, 18, 25, 26	ngpds 23760	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
28	15, 22, 24, 27	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
29	5, 6, 25	ghmsub 18842	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
30	16, 29	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
31	30	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹‘𝐴)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
32	28, 31	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
33		nmods.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (dist‘𝑆)
34	10, 5, 6, 33	ngpds 23760	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)))
35	2, 34	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵)))
36	35	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)) = ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g‘𝑆)𝐵))))
37	13, 32, 36	3brtr4d 5106	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝐴)𝐷(𝐹‘𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   · cmul 10876   ≤ cle 11010  Basecbs 16912  distcds 16971  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579   GrpHom cghm 18831  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733   normOp cnmo 23869   NGHom cnghm 23870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-ghm 18832  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nmo 23872  df-nghm 23873

This theorem is referenced by:  nghmcn  23909