Theorem nmoid 24936

Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoid.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoid.3	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
nmoid	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Proof of Theorem nmoid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoid.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2		nmoid.2	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2766	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		nmoid.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
5		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6		ngpgrp 24793	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ Grp)
8	2	idghm 19332	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10		1red 11227	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
11		0le1 11755	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ 1)
13	2, 3	nmcl 24810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	ad2ant2r 760	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	leidd 11798	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ≤ ((norm‘𝑆)‘𝑥))
16		fvresi 7178	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
17	16	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
19	14	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11245	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
21	15, 18, 20	3brtr4d 5148	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
22	1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21	nmolb2d 24912	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)
23		pssnel 4434	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑉 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
25		velsn 4610	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
26	25	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
27	26	necon3bi 2987	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
28	20, 18	eqtr4d 2804	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)))
29	1	nmocl 24914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
30	5, 5, 9, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
31	1	nmoge0 24915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
32	5, 5, 9, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
33		xrrege0 13218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∧ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
34	30, 10, 32, 22, 33	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
35	1	isnghm2 24918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
36	5, 5, 9, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
37	34, 36	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
38		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑥 ∈ 𝑉)
39	1, 2, 3, 3	nmoi 24922	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
40	37, 38, 39	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
41	28, 40	eqbrtrd 5138	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
42		1red 11227	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ∈ ℝ)
43	34	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
44	2, 3, 4	nmrpcl 24814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
45	44	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	45	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
47	42, 43, 46	lemul1d 13121	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ↔ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
48	41, 47	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
49	27, 48	sylanr2 696	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
50	24, 49	exlimddv 1968	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
51		1xr 11286	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
52		xrletri3 13197	. . 3 ⊢ (((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
53	30, 51, 52	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
54	22, 50, 53	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ⊊ wpss 3909  {csn 4594   class class class wbr 5114   I cid 5560   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123  ℝ^*cxr 11260   ≤ cle 11262  ℝ⁺crp 13034  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  Grpcgrp 19031   GrpHom cghm 19314  normcnm 24770  NrmGrpcngp 24771   normOp cnmo 24899   NGHom cnghm 24900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13396  df-0g 17519  df-topgen 17521  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-ghm 19315  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-xms 24514  df-ms 24515  df-nm 24776  df-ngp 24777  df-nmo 24902  df-nghm 24903

This theorem is used by:  idnghm  24937