Theorem nmoid 24784

Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoid.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoid.3	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
nmoid	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Proof of Theorem nmoid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoid.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2		nmoid.2	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		nmoid.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6		ngpgrp 24633	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ Grp)
8	2	idghm 19271	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10		1red 11291	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
11		0le1 11813	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ 1)
13	2, 3	nmcl 24650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	ad2ant2r 746	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	leidd 11856	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ≤ ((norm‘𝑆)‘𝑥))
16		fvresi 7207	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
17	16	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
19	14	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11308	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
21	15, 18, 20	3brtr4d 5198	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
22	1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21	nmolb2d 24760	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)
23		pssnel 4494	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑉 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
25		velsn 4664	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
26	25	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
27	26	necon3bi 2973	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
28	20, 18	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)))
29	1	nmocl 24762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
30	5, 5, 9, 29	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
31	1	nmoge0 24763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
32	5, 5, 9, 31	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
33		xrrege0 13236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∧ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
34	30, 10, 32, 22, 33	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
35	1	isnghm2 24766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
36	5, 5, 9, 35	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
37	34, 36	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
38		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑥 ∈ 𝑉)
39	1, 2, 3, 3	nmoi 24770	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
40	37, 38, 39	syl2an2r 684	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
41	28, 40	eqbrtrd 5188	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
42		1red 11291	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ∈ ℝ)
43	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
44	2, 3, 4	nmrpcl 24654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
45	44	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	45	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
47	42, 43, 46	lemul1d 13142	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ↔ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
48	41, 47	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
49	27, 48	sylanr2 682	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
50	24, 49	exlimddv 1934	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
51		1xr 11349	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
52		xrletri3 13216	. . 3 ⊢ (((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
53	30, 51, 52	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
54	22, 50, 53	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊊ wpss 3977  {csn 4648   class class class wbr 5166   I cid 5592   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  ℝ⁺crp 13057  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973   GrpHom cghm 19252  normcnm 24610  NrmGrpcngp 24611   normOp cnmo 24747   NGHom cnghm 24748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-0g 17501  df-topgen 17503  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-ghm 19253  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-xms 24351  df-ms 24352  df-nm 24616  df-ngp 24617  df-nmo 24750  df-nghm 24751

This theorem is referenced by:  idnghm  24785