MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoid 24763
Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoid.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoid.3 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
nmoid ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Proof of Theorem nmoid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoid.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2 nmoid.2 . . 3 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2737 . . 3 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4 nmoid.3 . . 3 0 = (0g𝑆)
5 simpl 482 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6 ngpgrp 24612 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
76adantr 480 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ Grp)
82idghm 19249 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10 1red 11262 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
11 0le1 11786 . . . 4 0 ≤ 1
1211a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ 1)
132, 3nmcl 24629 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1413ad2ant2r 747 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1514leidd 11829 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ≤ ((norm‘𝑆)‘𝑥))
16 fvresi 7193 . . . . . 6 (𝑥𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
1716ad2antrl 728 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
1817fveq2d 6910 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
1914recnd 11289 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
2019mullidd 11279 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
2115, 18, 203brtr4d 5175 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
221, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21nmolb2d 24739 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)
23 pssnel 4471 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑉 → ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
2423adantl 481 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
25 velsn 4642 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
2625biimpri 228 . . . . 5 (𝑥 = 0𝑥 ∈ { 0 })
2726necon3bi 2967 . . . 4 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥0 )
2820, 18eqtr4d 2780 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)))
291nmocl 24741 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
305, 5, 9, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
311nmoge0 24742 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
325, 5, 9, 31syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
33 xrrege0 13216 . . . . . . . . 9 ((((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∧ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
3430, 10, 32, 22, 33syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
351isnghm2 24745 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
365, 5, 9, 35syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3734, 36mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
38 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝑥𝑉)
391, 2, 3, 3nmoi 24749 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
4037, 38, 39syl2an2r 685 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
4128, 40eqbrtrd 5165 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
42 1red 11262 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 1 ∈ ℝ)
4334adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
442, 3, 4nmrpcl 24633 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉𝑥0 ) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
45443expb 1121 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
4645adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
4742, 43, 46lemul1d 13120 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ↔ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
4841, 47mpbird 257 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
4927, 48sylanr2 683 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
5024, 49exlimddv 1935 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
51 1xr 11320 . . 3 1 ∈ ℝ*
52 xrletri3 13196 . . 3 (((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
5330, 51, 52sylancl 586 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
5422, 50, 53mpbir2and 713 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wpss 3952  {csn 4626   class class class wbr 5143   I cid 5577  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  *cxr 11294  cle 11296  +crp 13034  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951   GrpHom cghm 19230  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726   NGHom cnghm 24727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nmo 24729  df-nghm 24730
This theorem is referenced by:  idnghm  24764
  Copyright terms: Public domain W3C validator