MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmoid 24250
Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoid.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoid.3 0 = (0gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
nmoid ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1)
Proof of Theorem nmoid
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoid.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2 nmoid.2 . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2732 . . 3 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
4 nmoid.3 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘†)
5 simpl 483 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
6 ngpgrp 24099 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ 𝑆 ∈ Grp)
76adantr 481 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
82idghm 19101 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp β†’ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10 1red 11211 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 1 ∈ ℝ)
11 0le1 11733 . . . 4 0 ≀ 1
1211a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 0 ≀ 1)
132, 3nmcl 24116 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1413ad2ant2r 745 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1514leidd 11776 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ≀ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
16 fvresi 7167 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯) = π‘₯)
1716ad2antrl 726 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯) = π‘₯)
1817fveq2d 6892 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
1914recnd 11238 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2019mullidd 11228 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
2115, 18, 203brtr4d 5179 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) ≀ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
221, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21nmolb2d 24226 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1)
23 pssnel 4469 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
2423adantl 482 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
25 velsn 4643 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ { 0 } ↔ π‘₯ = 0 )
2625biimpri 227 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ ∈ { 0 })
2726necon3bi 2967 . . . 4 (Β¬ π‘₯ ∈ { 0 } β†’ π‘₯ β‰  0 )
2820, 18eqtr4d 2775 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)))
291nmocl 24228 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ*)
305, 5, 9, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ*)
311nmoge0 24229 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
325, 5, 9, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
33 xrrege0 13149 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∧ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1)) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ)
3430, 10, 32, 22, 33syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ)
351isnghm2 24232 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ))
365, 5, 9, 35syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ))
3734, 36mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
38 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
391, 2, 3, 3nmoi 24236 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
4037, 38, 39syl2an2r 683 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
4128, 40eqbrtrd 5169 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
42 1red 11211 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ 1 ∈ ℝ)
4334adantr 481 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ)
442, 3, 4nmrpcl 24120 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
45443expb 1120 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4645adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4742, 43, 46lemul1d 13055 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ↔ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
4841, 47mpbird 256 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
4927, 48sylanr2 681 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
5024, 49exlimddv 1938 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
51 1xr 11269 . . 3 1 ∈ ℝ*
52 xrletri3 13129 . . 3 (((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1 ↔ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))))
5330, 51, 52sylancl 586 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1 ↔ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))))
5422, 50, 53mpbir2and 711 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ⊊ wpss 3948  {csn 4627   class class class wbr 5147   I cid 5572   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  β„+crp 12970  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077   normOp cnmo 24213   NGHom cnghm 24214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nmo 24216  df-nghm 24217
This theorem is referenced by:  idnghm  24251
  Copyright terms: Public domain W3C validator