Theorem nmoid 24880

Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoid.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoid.3	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
nmoid	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Proof of Theorem nmoid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoid.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2		nmoid.2	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		nmoid.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
5		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6		ngpgrp 24737	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ Grp)
8	2	idghm 19302	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10		1red 11210	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
11		0le1 11738	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ 1)
13	2, 3	nmcl 24754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	ad2ant2r 759	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	leidd 11781	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ≤ ((norm‘𝑆)‘𝑥))
16		fvresi 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
17	16	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
19	14	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11228	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
21	15, 18, 20	3brtr4d 5144	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
22	1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21	nmolb2d 24856	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)
23		pssnel 4432	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑉 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
24	23	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
25		velsn 4606	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
26	25	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
27	26	necon3bi 2984	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
28	20, 18	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)))
29	1	nmocl 24858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
30	5, 5, 9, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
31	1	nmoge0 24859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
32	5, 5, 9, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
33		xrrege0 13201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∧ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
34	30, 10, 32, 22, 33	syl22anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
35	1	isnghm2 24862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
36	5, 5, 9, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
37	34, 36	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
38		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑥 ∈ 𝑉)
39	1, 2, 3, 3	nmoi 24866	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
40	37, 38, 39	syl2an2r 697	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
41	28, 40	eqbrtrd 5134	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
42		1red 11210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ∈ ℝ)
43	34	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
44	2, 3, 4	nmrpcl 24758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
45	44	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	45	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
47	42, 43, 46	lemul1d 13104	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ↔ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
48	41, 47	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
49	27, 48	sylanr2 695	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
50	24, 49	exlimddv 1965	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
51		1xr 11269	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
52		xrletri3 13180	. . 3 ⊢ (((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
53	30, 51, 52	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
54	22, 50, 53	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊊ wpss 3907  {csn 4590   class class class wbr 5110   I cid 5557   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 13017  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  Grpcgrp 19001   GrpHom cghm 19284  normcnm 24714  NrmGrpcngp 24715   normOp cnmo 24843   NGHom cnghm 24844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13379  df-0g 17495  df-topgen 17497  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-ghm 19285  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-xms 24458  df-ms 24459  df-nm 24720  df-ngp 24721  df-nmo 24846  df-nghm 24847

This theorem is referenced by:  idnghm  24881