Theorem nmoid 24974

Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoid.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoid.3	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
nmoid	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Proof of Theorem nmoid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoid.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2		nmoid.2	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		nmoid.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
5		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6		ngpgrp 24831	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ Grp)
8	2	idghm 19364	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10		1red 11237	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
11		0le1 11765	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ 1)
13	2, 3	nmcl 24848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	ad2ant2r 760	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	leidd 11808	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ≤ ((norm‘𝑆)‘𝑥))
16		fvresi 7175	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
17	16	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
19	14	recnd 11265	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11255	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
21	15, 18, 20	3brtr4d 5141	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
22	1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21	nmolb2d 24950	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)
23		pssnel 4427	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑉 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
25		velsn 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
26	25	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
27	26	necon3bi 2983	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
28	20, 18	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)))
29	1	nmocl 24952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
30	5, 5, 9, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
31	1	nmoge0 24953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
32	5, 5, 9, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
33		xrrege0 13230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∧ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
34	30, 10, 32, 22, 33	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
35	1	isnghm2 24956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
36	5, 5, 9, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
37	34, 36	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
38		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑥 ∈ 𝑉)
39	1, 2, 3, 3	nmoi 24960	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
40	37, 38, 39	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
41	28, 40	eqbrtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
42		1red 11237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ∈ ℝ)
43	34	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
44	2, 3, 4	nmrpcl 24852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
45	44	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	45	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
47	42, 43, 46	lemul1d 13133	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ↔ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
48	41, 47	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
49	27, 48	sylanr2 696	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
50	24, 49	exlimddv 1968	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
51		1xr 11296	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
52		xrletri3 13209	. . 3 ⊢ (((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
53	30, 51, 52	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
54	22, 50, 53	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊊ wpss 3903  {csn 4587   class class class wbr 5107   I cid 5553   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133  ℝ^*cxr 11270   ≤ cle 11272  ℝ⁺crp 13046  Basecbs 17307  0_gc0g 17530  Grpcgrp 19063   GrpHom cghm 19346  normcnm 24808  NrmGrpcngp 24809   normOp cnmo 24937   NGHom cnghm 24938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ico 13408  df-0g 17532  df-topgen 17534  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-ghm 19347  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-xms 24552  df-ms 24553  df-nm 24814  df-ngp 24815  df-nmo 24940  df-nghm 24941

This theorem is used by:  idnghm  24975