MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmoid 24603
Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoid.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoid.3 0 = (0gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
nmoid ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1)
Proof of Theorem nmoid
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoid.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2 nmoid.2 . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2724 . . 3 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
4 nmoid.3 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘†)
5 simpl 482 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
6 ngpgrp 24452 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ 𝑆 ∈ Grp)
76adantr 480 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
82idghm 19152 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp β†’ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10 1red 11214 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 1 ∈ ℝ)
11 0le1 11736 . . . 4 0 ≀ 1
1211a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 0 ≀ 1)
132, 3nmcl 24469 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1413ad2ant2r 744 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1514leidd 11779 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ≀ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
16 fvresi 7164 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯) = π‘₯)
1716ad2antrl 725 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯) = π‘₯)
1817fveq2d 6886 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
1914recnd 11241 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2019mullidd 11231 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
2115, 18, 203brtr4d 5171 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) ≀ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
221, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21nmolb2d 24579 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1)
23 pssnel 4463 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
2423adantl 481 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
25 velsn 4637 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ { 0 } ↔ π‘₯ = 0 )
2625biimpri 227 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ ∈ { 0 })
2726necon3bi 2959 . . . 4 (Β¬ π‘₯ ∈ { 0 } β†’ π‘₯ β‰  0 )
2820, 18eqtr4d 2767 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)))
291nmocl 24581 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ*)
305, 5, 9, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ*)
311nmoge0 24582 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
325, 5, 9, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
33 xrrege0 13154 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∧ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1)) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ)
3430, 10, 32, 22, 33syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ)
351isnghm2 24585 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ))
365, 5, 9, 35syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ))
3734, 36mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
38 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
391, 2, 3, 3nmoi 24589 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
4037, 38, 39syl2an2r 682 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
4128, 40eqbrtrd 5161 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
42 1red 11214 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ 1 ∈ ℝ)
4334adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ)
442, 3, 4nmrpcl 24473 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
45443expb 1117 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4645adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4742, 43, 46lemul1d 13060 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ↔ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
4841, 47mpbird 257 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
4927, 48sylanr2 680 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
5024, 49exlimddv 1930 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
51 1xr 11272 . . 3 1 ∈ ℝ*
52 xrletri3 13134 . . 3 (((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1 ↔ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))))
5330, 51, 52sylancl 585 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1 ↔ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))))
5422, 50, 53mpbir2and 710 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   ⊊ wpss 3942  {csn 4621   class class class wbr 5139   I cid 5564   β†Ύ cres 5669  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   Β· cmul 11112  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  β„+crp 12975  Basecbs 17149  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859   GrpHom cghm 19134  normcnm 24429  NrmGrpcngp 24430   normOp cnmo 24566   NGHom cnghm 24567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ico 13331  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-ghm 19135  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-xms 24170  df-ms 24171  df-nm 24435  df-ngp 24436  df-nmo 24569  df-nghm 24570
This theorem is referenced by:  idnghm  24604
  Copyright terms: Public domain W3C validator