MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmoid 24658
Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoid.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoid.3 0 = (0gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
nmoid ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1)
Proof of Theorem nmoid
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoid.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2 nmoid.2 . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2728 . . 3 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
4 nmoid.3 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘†)
5 simpl 482 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
6 ngpgrp 24507 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ 𝑆 ∈ Grp)
76adantr 480 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
82idghm 19184 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp β†’ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10 1red 11245 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 1 ∈ ℝ)
11 0le1 11767 . . . 4 0 ≀ 1
1211a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 0 ≀ 1)
132, 3nmcl 24524 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1413ad2ant2r 746 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1514leidd 11810 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ≀ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
16 fvresi 7182 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯) = π‘₯)
1716ad2antrl 727 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯) = π‘₯)
1817fveq2d 6901 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
1914recnd 11272 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2019mullidd 11262 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
2115, 18, 203brtr4d 5180 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) ≀ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
221, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21nmolb2d 24634 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1)
23 pssnel 4471 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
2423adantl 481 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
25 velsn 4645 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ { 0 } ↔ π‘₯ = 0 )
2625biimpri 227 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ ∈ { 0 })
2726necon3bi 2964 . . . 4 (Β¬ π‘₯ ∈ { 0 } β†’ π‘₯ β‰  0 )
2820, 18eqtr4d 2771 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)))
291nmocl 24636 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ*)
305, 5, 9, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ*)
311nmoge0 24637 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
325, 5, 9, 31syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
33 xrrege0 13185 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∧ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1)) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ)
3430, 10, 32, 22, 33syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ)
351isnghm2 24640 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ))
365, 5, 9, 35syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ))
3734, 36mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
38 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
391, 2, 3, 3nmoi 24644 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
4037, 38, 39syl2an2r 684 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜(( I β†Ύ 𝑉)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
4128, 40eqbrtrd 5170 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
42 1red 11245 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ 1 ∈ ℝ)
4334adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ)
442, 3, 4nmrpcl 24528 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
45443expb 1118 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4645adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4742, 43, 46lemul1d 13091 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ↔ (1 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
4841, 47mpbird 257 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
4927, 48sylanr2 682 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
5024, 49exlimddv 1931 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))
51 1xr 11303 . . 3 1 ∈ ℝ*
52 xrletri3 13165 . . 3 (((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1 ↔ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))))
5330, 51, 52sylancl 585 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1 ↔ ((π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)))))
5422, 50, 53mpbir2and 712 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) β†’ (π‘β€˜( I β†Ύ 𝑉)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   ⊊ wpss 3948  {csn 4629   class class class wbr 5148   I cid 5575   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   ≀ cle 11279  β„+crp 13006  Basecbs 17179  0gc0g 17420  Grpcgrp 18889   GrpHom cghm 19166  normcnm 24484  NrmGrpcngp 24485   normOp cnmo 24621   NGHom cnghm 24622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ico 13362  df-0g 17422  df-topgen 17424  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-ghm 19167  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-xms 24225  df-ms 24226  df-nm 24490  df-ngp 24491  df-nmo 24624  df-nghm 24625
This theorem is referenced by:  idnghm  24659
  Copyright terms: Public domain W3C validator