Theorem nmoid 25066

Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoid.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoid.3	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
nmoid	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Proof of Theorem nmoid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoid.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2		nmoid.2	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		nmoid.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
5		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6		ngpgrp 24923	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ Grp)
8	2	idghm 19450	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10		1red 11312	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
11		0le1 11842	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ 1)
13	2, 3	nmcl 24940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	ad2ant2r 760	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	leidd 11885	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ≤ ((norm‘𝑆)‘𝑥))
16		fvresi 7178	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
17	16	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
19	14	recnd 11340	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11330	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
21	15, 18, 20	3brtr4d 5136	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
22	1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21	nmolb2d 25042	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)
23		pssnel 4423	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑉 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
25		velsn 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
26	25	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
27	26	necon3bi 2981	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
28	20, 18	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)))
29	1	nmocl 25044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
30	5, 5, 9, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
31	1	nmoge0 25045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
32	5, 5, 9, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
33		xrrege0 13307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∧ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
34	30, 10, 32, 22, 33	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
35	1	isnghm2 25048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
36	5, 5, 9, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
37	34, 36	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
38		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑥 ∈ 𝑉)
39	1, 2, 3, 3	nmoi 25052	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
40	37, 38, 39	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
41	28, 40	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
42		1red 11312	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ∈ ℝ)
43	34	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
44	2, 3, 4	nmrpcl 24944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
45	44	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	45	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
47	42, 43, 46	lemul1d 13210	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ↔ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
48	41, 47	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
49	27, 48	sylanr2 696	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
50	24, 49	exlimddv 1967	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
51		1xr 11371	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
52		xrletri3 13286	. . 3 ⊢ (((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
53	30, 51, 52	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
54	22, 50, 53	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊊ wpss 4013  {csn 4584   class class class wbr 5102   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208  ℝ^*cxr 11345   ≤ cle 11347  ℝ⁺crp 13123  Basecbs 17392  0_gc0g 17615  Grpcgrp 19149   GrpHom cghm 19432  normcnm 24900  NrmGrpcngp 24901   normOp cnmo 25029   NGHom cnghm 25030

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ico 13485  df-0g 17617  df-topgen 17619  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-ghm 19433  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-xms 24644  df-ms 24645  df-nm 24906  df-ngp 24907  df-nmo 25032  df-nghm 25033

This theorem is used by:  idnghm  25067