MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idnghm 23498
Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idnghm.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
idnghm (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Proof of Theorem idnghm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 (𝑆 normOp 𝑆) = (𝑆 normOp 𝑆)
2 idnghm.2 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2738 . . . . 5 (0g𝑆) = (0g𝑆)
41, 2, 3nmoid 23497 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
5 1re 10721 . . . 4 1 ∈ ℝ
64, 5eqeltrdi 2841 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
7 eleq2 2821 . . . . . . . . . 10 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ {(0g𝑆)} ↔ 𝑥𝑉))
87biimpar 481 . . . . . . . . 9 (({(0g𝑆)} = 𝑉𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ {(0g𝑆)})
9 elsni 4533 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {(0g𝑆)} → 𝑥 = (0g𝑆))
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (({(0g𝑆)} = 𝑉𝑥𝑉) → 𝑥 = (0g𝑆))
1110mpteq2dva 5125 . . . . . . 7 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → (𝑥𝑉𝑥) = (𝑥𝑉 ↦ (0g𝑆)))
12 mptresid 5892 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝑉) = (𝑥𝑉𝑥)
13 fconstmpt 5585 . . . . . . 7 (𝑉 × {(0g𝑆)}) = (𝑥𝑉 ↦ (0g𝑆))
1411, 12, 133eqtr4g 2798 . . . . . 6 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → ( I ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g𝑆)}))
1514fveq2d 6680 . . . . 5 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})))
161, 2, 3nmo0 23490 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})) = 0)
1716anidms 570 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})) = 0)
1815, 17sylan9eqr 2795 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 0)
19 0re 10723 . . . 4 0 ∈ ℝ
2018, 19eqeltrdi 2841 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
21 ngpgrp 23354 . . . . . 6 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
222, 3grpidcl 18251 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
2423snssd 4697 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmGrp → {(0g𝑆)} ⊆ 𝑉)
25 sspss 3990 . . . 4 ({(0g𝑆)} ⊆ 𝑉 ↔ ({(0g𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g𝑆)} = 𝑉))
2624, 25sylib 221 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → ({(0g𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g𝑆)} = 𝑉))
276, 20, 26mpjaodan 958 . 2 (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
28 id 22 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ NrmGrp)
292idghm 18493 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
3021, 29syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
311isnghm2 23479 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3228, 30, 31mpd3an23 1464 . 2 (𝑆 ∈ NrmGrp → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3327, 32mpbird 260 1 (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3843  wpss 3844  {csn 4516  cmpt 5110   I cid 5428   × cxp 5523  cres 5527  cfv 6339  (class class class)co 7172  cr 10616  0cc0 10617  1c1 10618  Basecbs 16588  0gc0g 16818  Grpcgrp 18221   GrpHom cghm 18475  NrmGrpcngp 23332   normOp cnmo 23460   NGHom cnghm 23461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-sup 8981  df-inf 8982  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-xneg 12592  df-xadd 12593  df-xmul 12594  df-ico 12829  df-0g 16820  df-topgen 16822  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-mhm 18074  df-grp 18224  df-ghm 18476  df-psmet 20211  df-xmet 20212  df-met 20213  df-bl 20214  df-mopn 20215  df-top 21647  df-topon 21664  df-topsp 21686  df-bases 21699  df-xms 23075  df-ms 23076  df-nm 23337  df-ngp 23338  df-nmo 23463  df-nghm 23464
This theorem is referenced by:  idnmhm  23509
  Copyright terms: Public domain W3C validator