Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idnghm 23328
 Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idnghm.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
idnghm (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Proof of Theorem idnghm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2820 . . . . 5 (𝑆 normOp 𝑆) = (𝑆 normOp 𝑆)
2 idnghm.2 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2820 . . . . 5 (0g𝑆) = (0g𝑆)
41, 2, 3nmoid 23327 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
5 1re 10619 . . . 4 1 ∈ ℝ
64, 5eqeltrdi 2919 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
7 eleq2 2899 . . . . . . . . . 10 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ {(0g𝑆)} ↔ 𝑥𝑉))
87biimpar 480 . . . . . . . . 9 (({(0g𝑆)} = 𝑉𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ {(0g𝑆)})
9 elsni 4560 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {(0g𝑆)} → 𝑥 = (0g𝑆))
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (({(0g𝑆)} = 𝑉𝑥𝑉) → 𝑥 = (0g𝑆))
1110mpteq2dva 5137 . . . . . . 7 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → (𝑥𝑉𝑥) = (𝑥𝑉 ↦ (0g𝑆)))
12 mptresid 5894 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝑉) = (𝑥𝑉𝑥)
13 fconstmpt 5590 . . . . . . 7 (𝑉 × {(0g𝑆)}) = (𝑥𝑉 ↦ (0g𝑆))
1411, 12, 133eqtr4g 2880 . . . . . 6 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → ( I ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g𝑆)}))
1514fveq2d 6650 . . . . 5 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})))
161, 2, 3nmo0 23320 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})) = 0)
1716anidms 569 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})) = 0)
1815, 17sylan9eqr 2877 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 0)
19 0re 10621 . . . 4 0 ∈ ℝ
2018, 19eqeltrdi 2919 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
21 ngpgrp 23184 . . . . . 6 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
222, 3grpidcl 18110 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
2423snssd 4718 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmGrp → {(0g𝑆)} ⊆ 𝑉)
25 sspss 4055 . . . 4 ({(0g𝑆)} ⊆ 𝑉 ↔ ({(0g𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g𝑆)} = 𝑉))
2624, 25sylib 220 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → ({(0g𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g𝑆)} = 𝑉))
276, 20, 26mpjaodan 955 . 2 (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
28 id 22 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ NrmGrp)
292idghm 18352 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
3021, 29syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
311isnghm2 23309 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3228, 30, 31mpd3an23 1459 . 2 (𝑆 ∈ NrmGrp → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3327, 32mpbird 259 1 (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914  {csn 4543   ↦ cmpt 5122   I cid 5435   × cxp 5529   ↾ cres 5533  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℝcr 10514  0cc0 10515  1c1 10516  Basecbs 16462  0gc0g 16692  Grpcgrp 18082   GrpHom cghm 18334  NrmGrpcngp 23163   normOp cnmo 23290   NGHom cnghm 23291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ico 12723  df-0g 16694  df-topgen 16696  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-grp 18085  df-ghm 18335  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-xms 22906  df-ms 22907  df-nm 23168  df-ngp 23169  df-nmo 23293  df-nghm 23294 This theorem is referenced by:  idnmhm  23339
 Copyright terms: Public domain W3C validator