Theorem idnghm 23907

Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
idnghm.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idnghm	⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Proof of Theorem idnghm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑆 normOp 𝑆) = (𝑆 normOp 𝑆)
2		idnghm.2	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4	1, 2, 3	nmoid 23906	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
5		1re 10975	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
7		eleq2 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ {(0g‘𝑆)} ↔ 𝑥 ∈ 𝑉))
8	7	biimpar 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (({(0g‘𝑆)} = 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝑆)})
9		elsni 4578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑆)} → 𝑥 = (0g‘𝑆))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (({(0g‘𝑆)} = 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 = (0g‘𝑆))
11	10	mpteq2dva 5174	. . . . . . 7 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (0g‘𝑆)))
12		mptresid 5958	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥)
13		fconstmpt 5649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 × {(0g‘𝑆)}) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (0g‘𝑆))
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2803	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → ( I ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘𝑆)}))
15	14	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g‘𝑆)})))
16	1, 2, 3	nmo0 23899	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g‘𝑆)})) = 0)
17	16	anidms 567	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g‘𝑆)})) = 0)
18	15, 17	sylan9eqr 2800	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 0)
19		0re 10977	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
20	18, 19	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
21		ngpgrp 23755	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
22	2, 3	grpidcl 18607	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
24	23	snssd 4742	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → {(0g‘𝑆)} ⊆ 𝑉)
25		sspss 4034	. . . 4 ⊢ ({(0g‘𝑆)} ⊆ 𝑉 ↔ ({(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g‘𝑆)} = 𝑉))
26	24, 25	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ({(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g‘𝑆)} = 𝑉))
27	6, 20, 26	mpjaodan 956	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
28		id 22	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ NrmGrp)
29	2	idghm 18849	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
30	21, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
31	1	isnghm2 23888	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
32	28, 30, 31	mpd3an23 1462	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
33	27, 32	mpbird 256	1 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577   GrpHom cghm 18831  NrmGrpcngp 23733   normOp cnmo 23869   NGHom cnghm 23870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-ghm 18832  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nmo 23872  df-nghm 23873

This theorem is referenced by:  idnmhm  23918