MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idnghm 24764
Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idnghm.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
idnghm (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Proof of Theorem idnghm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (𝑆 normOp 𝑆) = (𝑆 normOp 𝑆)
2 idnghm.2 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑆) = (0g𝑆)
41, 2, 3nmoid 24763 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
5 1re 11261 . . . 4 1 ∈ ℝ
64, 5eqeltrdi 2849 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
7 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ {(0g𝑆)} ↔ 𝑥𝑉))
87biimpar 477 . . . . . . . . 9 (({(0g𝑆)} = 𝑉𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ {(0g𝑆)})
9 elsni 4643 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {(0g𝑆)} → 𝑥 = (0g𝑆))
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (({(0g𝑆)} = 𝑉𝑥𝑉) → 𝑥 = (0g𝑆))
1110mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → (𝑥𝑉𝑥) = (𝑥𝑉 ↦ (0g𝑆)))
12 mptresid 6069 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝑉) = (𝑥𝑉𝑥)
13 fconstmpt 5747 . . . . . . 7 (𝑉 × {(0g𝑆)}) = (𝑥𝑉 ↦ (0g𝑆))
1411, 12, 133eqtr4g 2802 . . . . . 6 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → ( I ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g𝑆)}))
1514fveq2d 6910 . . . . 5 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})))
161, 2, 3nmo0 24756 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})) = 0)
1716anidms 566 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})) = 0)
1815, 17sylan9eqr 2799 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 0)
19 0re 11263 . . . 4 0 ∈ ℝ
2018, 19eqeltrdi 2849 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
21 ngpgrp 24612 . . . . . 6 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
222, 3grpidcl 18983 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
2423snssd 4809 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmGrp → {(0g𝑆)} ⊆ 𝑉)
25 sspss 4102 . . . 4 ({(0g𝑆)} ⊆ 𝑉 ↔ ({(0g𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g𝑆)} = 𝑉))
2624, 25sylib 218 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → ({(0g𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g𝑆)} = 𝑉))
276, 20, 26mpjaodan 961 . 2 (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
28 id 22 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ NrmGrp)
292idghm 19249 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
3021, 29syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
311isnghm2 24745 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3228, 30, 31mpd3an23 1465 . 2 (𝑆 ∈ NrmGrp → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3327, 32mpbird 257 1 (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  wpss 3952  {csn 4626  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951   GrpHom cghm 19230  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726   NGHom cnghm 24727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nmo 24729  df-nghm 24730
This theorem is referenced by:  idnmhm  24775
  Copyright terms: Public domain W3C validator