Theorem idnghm 24779

Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
idnghm.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idnghm	⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Proof of Theorem idnghm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑆 normOp 𝑆) = (𝑆 normOp 𝑆)
2		idnghm.2	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4	1, 2, 3	nmoid 24778	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
5		1re 11258	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltrdi 2846	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
7		eleq2 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ {(0g‘𝑆)} ↔ 𝑥 ∈ 𝑉))
8	7	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (({(0g‘𝑆)} = 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝑆)})
9		elsni 4647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑆)} → 𝑥 = (0g‘𝑆))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (({(0g‘𝑆)} = 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 = (0g‘𝑆))
11	10	mpteq2dva 5247	. . . . . . 7 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (0g‘𝑆)))
12		mptresid 6070	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 𝑥)
13		fconstmpt 5750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 × {(0g‘𝑆)}) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (0g‘𝑆))
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2799	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → ( I ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘𝑆)}))
15	14	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ({(0g‘𝑆)} = 𝑉 → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g‘𝑆)})))
16	1, 2, 3	nmo0 24771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g‘𝑆)})) = 0)
17	16	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g‘𝑆)})) = 0)
18	15, 17	sylan9eqr 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 0)
19		0re 11260	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
20	18, 19	eqeltrdi 2846	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g‘𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
21		ngpgrp 24627	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
22	2, 3	grpidcl 18995	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
24	23	snssd 4813	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → {(0g‘𝑆)} ⊆ 𝑉)
25		sspss 4111	. . . 4 ⊢ ({(0g‘𝑆)} ⊆ 𝑉 ↔ ({(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g‘𝑆)} = 𝑉))
26	24, 25	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ({(0g‘𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g‘𝑆)} = 𝑉))
27	6, 20, 26	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
28		id 22	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ NrmGrp)
29	2	idghm 19261	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
30	21, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
31	1	isnghm2 24760	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
32	28, 30, 31	mpd3an23 1462	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
33	27, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962   ⊊ wpss 3963  {csn 4630   ↦ cmpt 5230   I cid 5581   × cxp 5686   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  Basecbs 17244  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18963   GrpHom cghm 19242  NrmGrpcngp 24605   normOp cnmo 24741   NGHom cnghm 24742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-ghm 19243  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nmo 24744  df-nghm 24745

This theorem is referenced by:  idnmhm  24790