MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idnghm 22924
Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idnghm.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
idnghm (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))

Proof of Theorem idnghm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . . 5 (𝑆 normOp 𝑆) = (𝑆 normOp 𝑆)
2 idnghm.2 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2825 . . . . 5 (0g𝑆) = (0g𝑆)
41, 2, 3nmoid 22923 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
5 1re 10363 . . . 4 1 ∈ ℝ
64, 5syl6eqel 2914 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} ⊊ 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
7 eleq2 2895 . . . . . . . . . 10 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → (𝑥 ∈ {(0g𝑆)} ↔ 𝑥𝑉))
87biimpar 471 . . . . . . . . 9 (({(0g𝑆)} = 𝑉𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ {(0g𝑆)})
9 elsni 4416 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {(0g𝑆)} → 𝑥 = (0g𝑆))
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (({(0g𝑆)} = 𝑉𝑥𝑉) → 𝑥 = (0g𝑆))
1110mpteq2dva 4969 . . . . . . 7 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → (𝑥𝑉𝑥) = (𝑥𝑉 ↦ (0g𝑆)))
12 mptresid 5703 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉𝑥) = ( I ↾ 𝑉)
1312eqcomi 2834 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝑉) = (𝑥𝑉𝑥)
14 fconstmpt 5402 . . . . . . 7 (𝑉 × {(0g𝑆)}) = (𝑥𝑉 ↦ (0g𝑆))
1511, 13, 143eqtr4g 2886 . . . . . 6 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → ( I ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g𝑆)}))
1615fveq2d 6441 . . . . 5 ({(0g𝑆)} = 𝑉 → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})))
171, 2, 3nmo0 22916 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})) = 0)
1817anidms 562 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘(𝑉 × {(0g𝑆)})) = 0)
1916, 18sylan9eqr 2883 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) = 0)
20 0re 10365 . . . 4 0 ∈ ℝ
2119, 20syl6eqel 2914 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ {(0g𝑆)} = 𝑉) → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
22 ngpgrp 22780 . . . . . 6 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
232, 3grpidcl 17811 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
2524snssd 4560 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmGrp → {(0g𝑆)} ⊆ 𝑉)
26 sspss 3934 . . . 4 ({(0g𝑆)} ⊆ 𝑉 ↔ ({(0g𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g𝑆)} = 𝑉))
2725, 26sylib 210 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → ({(0g𝑆)} ⊊ 𝑉 ∨ {(0g𝑆)} = 𝑉))
286, 21, 27mpjaodan 986 . 2 (𝑆 ∈ NrmGrp → ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
29 id 22 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ NrmGrp)
302idghm 18033 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
3122, 30syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
321isnghm2 22905 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3329, 31, 32mpd3an23 1591 . 2 (𝑆 ∈ NrmGrp → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ ((𝑆 normOp 𝑆)‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3428, 33mpbird 249 1 (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  wss 3798  wpss 3799  {csn 4399  cmpt 4954   I cid 5251   × cxp 5344  cres 5348  cfv 6127  (class class class)co 6910  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260  Basecbs 16229  0gc0g 16460  Grpcgrp 17783   GrpHom cghm 18015  NrmGrpcngp 22759   normOp cnmo 22886   NGHom cnghm 22887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ico 12476  df-0g 16462  df-topgen 16464  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-ghm 18016  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-xms 22502  df-ms 22503  df-nm 22764  df-ngp 22765  df-nmo 22889  df-nghm 22890
This theorem is referenced by:  idnmhm  22935
  Copyright terms: Public domain W3C validator