Theorem ngpsubcan 24752

Description: Cancel right subtraction inside a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpsubcan.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpsubcan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ngpsubcan.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpsubcan	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐶)𝐷(𝐵 − 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpsubcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
3		ngpsubcan.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		ngpsubcan.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	grpsubval 19053	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
8	1, 2, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
9		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10	3, 4, 5, 6	grpsubval 19053	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
11	9, 2, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
12	8, 11	oveq12d 7430	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐶)𝐷(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))))
13		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
14		ngpgrp 24737	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
15	3, 5	grpinvcl 19055	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
16	14, 2, 15	syl2an2r 697	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
17		ngpsubcan.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
18	3, 4, 17	ngprcan 24748	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
19	13, 1, 9, 16, 18	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
20	12, 19	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐶)𝐷(𝐵 − 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  distcds 17320  Grpcgrp 19001  inv_gcminusg 19002  -_gcsg 19003  NrmGrpcngp 24715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-0g 17495  df-topgen 17497  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-xms 24458  df-ms 24459  df-nm 24720  df-ngp 24721

This theorem is referenced by:  ngptgp  24774