MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpsubcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpsubcan 23512
Description: Cancel right subtraction inside a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpsubcan.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpsubcan.m = (-g𝐺)
ngpsubcan.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ngpsubcan ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 𝐶)𝐷(𝐵 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpsubcan
StepHypRef Expression
1 simpr1 1196 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
2 simpr3 1198 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
3 ngpsubcan.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 eqid 2737 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
6 ngpsubcan.m . . . . 5 = (-g𝐺)
73, 4, 5, 6grpsubval 18413 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 𝐶) = (𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶)))
81, 2, 7syl2anc 587 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 𝐶) = (𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶)))
9 simpr2 1197 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
103, 4, 5, 6grpsubval 18413 . . . 4 ((𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵 𝐶) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶)))
119, 2, 10syl2anc 587 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶)))
128, 11oveq12d 7231 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 𝐶)𝐷(𝐵 𝐶)) = ((𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))))
13 simpl 486 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
14 ngpgrp 23497 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
153, 5grpinvcl 18415 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
1614, 2, 15syl2an2r 685 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
17 ngpsubcan.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
183, 4, 17ngprcan 23508 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
1913, 1, 9, 16, 18syl13anc 1374 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
2012, 19eqtrd 2777 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 𝐶)𝐷(𝐵 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  distcds 16811  Grpcgrp 18365  invgcminusg 18366  -gcsg 18367  NrmGrpcngp 23475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-0g 16946  df-topgen 16948  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-xms 23218  df-ms 23219  df-nm 23480  df-ngp 23481
This theorem is referenced by:  ngptgp  23534
  Copyright terms: Public domain W3C validator