Theorem ngpsubcan 24643

Description: Cancel right subtraction inside a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpsubcan.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpsubcan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ngpsubcan.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpsubcan	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐶)𝐷(𝐵 − 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpsubcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
3		ngpsubcan.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		ngpsubcan.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	grpsubval 19016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
9		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10	3, 4, 5, 6	grpsubval 19016	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
11	9, 2, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
12	8, 11	oveq12d 7449	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐶)𝐷(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))))
13		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
14		ngpgrp 24628	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
15	3, 5	grpinvcl 19018	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
16	14, 2, 15	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
17		ngpsubcan.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
18	3, 4, 17	ngprcan 24639	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
19	13, 1, 9, 16, 18	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
20	12, 19	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐶)𝐷(𝐵 − 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  distcds 17307  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  -_gcsg 18966  NrmGrpcngp 24606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612

This theorem is referenced by:  ngptgp  24665