Theorem ngpsubcan 24963

Description: Cancel right subtraction inside a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpsubcan.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpsubcan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ngpsubcan.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpsubcan	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐶)𝐷(𝐵 − 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpsubcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
3		ngpsubcan.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		ngpsubcan.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	grpsubval 19225	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
9		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10	3, 4, 5, 6	grpsubval 19225	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
11	9, 2, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶)))
12	8, 11	oveq12d 7461	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐶)𝐷(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))))
13		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
14		ngpgrp 24948	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
15	3, 5	grpinvcl 19227	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
16	14, 2, 15	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
17		ngpsubcan.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
18	3, 4, 17	ngprcan 24959	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
19	13, 1, 9, 16, 18	syl13anc 1400	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
20	12, 19	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐶)𝐷(𝐵 − 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  distcds 17466  Grpcgrp 19173  inv_gcminusg 19174  -_gcsg 19175  NrmGrpcngp 24926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-0g 17641  df-topgen 17643  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-xms 24669  df-ms 24670  df-nm 24931  df-ngp 24932

This theorem is used by:  ngptgp  24985