MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpsubcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpsubcan 23966
Description: Cancel right subtraction inside a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpsubcan.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpsubcan.m = (-g𝐺)
ngpsubcan.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ngpsubcan ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 𝐶)𝐷(𝐵 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpsubcan
StepHypRef Expression
1 simpr1 1194 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
2 simpr3 1196 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
3 ngpsubcan.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 eqid 2736 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
6 ngpsubcan.m . . . . 5 = (-g𝐺)
73, 4, 5, 6grpsubval 18793 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 𝐶) = (𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶)))
81, 2, 7syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 𝐶) = (𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶)))
9 simpr2 1195 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
103, 4, 5, 6grpsubval 18793 . . . 4 ((𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵 𝐶) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶)))
119, 2, 10syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶)))
128, 11oveq12d 7372 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 𝐶)𝐷(𝐵 𝐶)) = ((𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))))
13 simpl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
14 ngpgrp 23951 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
153, 5grpinvcl 18795 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
1614, 2, 15syl2an2r 683 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)
17 ngpsubcan.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
183, 4, 17ngprcan 23962 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
1913, 1, 9, 16, 18syl13anc 1372 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))𝐷(𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐶))) = (𝐴𝐷𝐵))
2012, 19eqtrd 2776 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 𝐶)𝐷(𝐵 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6494  (class class class)co 7354  Basecbs 17080  +gcplusg 17130  distcds 17139  Grpcgrp 18745  invgcminusg 18746  -gcsg 18747  NrmGrpcngp 23929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-sup 9375  df-inf 9376  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-q 12871  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-0g 17320  df-topgen 17322  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-sbg 18750  df-psmet 20784  df-xmet 20785  df-met 20786  df-bl 20787  df-mopn 20788  df-top 22239  df-topon 22256  df-topsp 22278  df-bases 22292  df-xms 23669  df-ms 23670  df-nm 23934  df-ngp 23935
This theorem is referenced by:  ngptgp  23988
  Copyright terms: Public domain W3C validator