MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nm2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nm2dif 24116
Description: Inequality for the difference of norms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nm2dif ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem nm2dif
StepHypRef Expression
1 nmf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 nmf.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝐺)
31, 2nmcl 24107 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
433adant3 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
51, 2nmcl 24107 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
653adant2 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 11638 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ∈ ℝ)
87recnd 11238 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ∈ ℂ)
98abscld 15379 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ∈ ℝ)
10 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
11 ngpgrp 24090 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
12 nmmtri.m . . . . 5 = (-g𝐺)
131, 12grpsubcl 18899 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
1411, 13syl3an1 1164 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
151, 2nmcl 24107 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ)
1610, 14, 15syl2anc 585 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ)
177leabsd 15357 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))))
181, 2, 12nmrtri 24115 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
197, 9, 16, 17, 18letrd 11367 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  cle 11245  cmin 11440  abscabs 15177  Basecbs 17140  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  normcnm 24067  NrmGrpcngp 24068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-xrs 17444  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-xms 23808  df-ms 23809  df-nm 24073  df-ngp 24074
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24184  nrginvrcnlem  24190  ipcnlem2  24743
  Copyright terms: Public domain W3C validator