MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnggrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnggrpr 24042
Description: If a structure equipped with a norm is a normed group, the structure itself must be a group. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
tngngp3.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tnggrpr ((𝑁𝑉𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tnggrpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngngp3.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31, 2tngbas 24021 . . . 4 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
4 eqidd 2734 . . . 4 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
61, 5tngplusg 24023 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝑇))
76eqcomd 2739 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (+g𝑇) = (+g𝐺))
87oveqdr 7389 . . . 4 ((𝑁𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝑇)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
93, 4, 8grppropd 18773 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝑇 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp))
109biimpd 228 . 2 (𝑁𝑉 → (𝑇 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp))
11 ngpgrp 23978 . 2 (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
1210, 11impel 507 1 ((𝑁𝑉𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Grpcgrp 18756  NrmGrpcngp 23956   toNrmGrp ctng 23957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-ds 17163  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-ngp 23962  df-tng 23963
This theorem is referenced by:  tngngp3  24043
  Copyright terms: Public domain W3C validator