Theorem tnggrpr 24882

Description: If a structure equipped with a norm is a normed group, the structure itself must be a group. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
tngngp3.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tnggrpr	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tnggrpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngp3.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	tngbas 24868	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
4		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	tngplusg 24869	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
7	6	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑇) = (+g‘𝐺))
8	7	oveqdr 7444	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝑇)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
9	3, 4, 8	grppropd 19076	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑇 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp))
10	9	biimpd 232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑇 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp))
11		ngpgrp 24826	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
12	10, 11	impel 515	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  Grpcgrp 19058  NrmGrpcngp 24804   toNrmGrp ctng 24805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-tset 17365  df-ds 17368  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-ngp 24810  df-tng 24811

This theorem is used by:  tngngp3  24883