Theorem tnggrpr 22836

Description: If a structure equipped with a norm is a normed group, the structure itself must be a group. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
tngngp3.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tnggrpr	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tnggrpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngp3.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	tngbas 22822	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
4		eqidd 2826	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	tngplusg 22823	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
7	6	eqcomd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑇) = (+g‘𝐺))
8	7	oveqdr 6938	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝑇)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
9	3, 4, 8	grppropd 17798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑇 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp))
10	9	biimpd 221	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑇 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp))
11		ngpgrp 22780	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
12	10, 11	impel 501	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +_gcplusg 16312  Grpcgrp 17783  NrmGrpcngp 22759   toNrmGrp ctng 22760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-tset 16331  df-ds 16334  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-ngp 22765  df-tng 22766

This theorem is referenced by:  tngngp3  22837