MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnggrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnggrpr 23256
Description: If a structure equipped with a norm is a normed group, the structure itself must be a group. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
tngngp3.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tnggrpr ((𝑁𝑉𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tnggrpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngngp3.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 eqid 2819 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31, 2tngbas 23242 . . . 4 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
4 eqidd 2820 . . . 4 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5 eqid 2819 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
61, 5tngplusg 23243 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝑇))
76eqcomd 2825 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (+g𝑇) = (+g𝐺))
87oveqdr 7176 . . . 4 ((𝑁𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝑇)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
93, 4, 8grppropd 18110 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝑇 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp))
109biimpd 231 . 2 (𝑁𝑉 → (𝑇 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp))
11 ngpgrp 23200 . 2 (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
1210, 11impel 508 1 ((𝑁𝑉𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  Grpcgrp 18095  NrmGrpcngp 23179   toNrmGrp ctng 23180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-tset 16576  df-ds 16579  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-ngp 23185  df-tng 23186
This theorem is referenced by:  tngngp3  23257
  Copyright terms: Public domain W3C validator