Theorem tnggrpr 24597

Description: If a structure equipped with a norm is a normed group, the structure itself must be a group. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
tngngp3.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tnggrpr	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tnggrpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngp3.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	tngbas 24583	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
4		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	tngplusg 24584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
7	6	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑇) = (+g‘𝐺))
8	7	oveqdr 7384	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝑇)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
9	3, 4, 8	grppropd 18879	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑇 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp))
10	9	biimpd 229	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑇 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp))
11		ngpgrp 24541	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
12	10, 11	impel 505	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  Grpcgrp 18861  NrmGrpcngp 24519   toNrmGrp ctng 24520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-tset 17194  df-ds 17197  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-ngp 24525  df-tng 24526

This theorem is referenced by:  tngngp3  24598