MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnggrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnggrpr 24496
Description: If a structure equipped with a norm is a normed group, the structure itself must be a group. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
tngngp3.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tnggrpr ((𝑁𝑉𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tnggrpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngngp3.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31, 2tngbas 24475 . . . 4 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
4 eqidd 2725 . . . 4 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5 eqid 2724 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
61, 5tngplusg 24477 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝑇))
76eqcomd 2730 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (+g𝑇) = (+g𝐺))
87oveqdr 7430 . . . 4 ((𝑁𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝑇)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
93, 4, 8grppropd 18873 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝑇 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp))
109biimpd 228 . 2 (𝑁𝑉 → (𝑇 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp))
11 ngpgrp 24432 . 2 (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
1210, 11impel 505 1 ((𝑁𝑉𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  Grpcgrp 18855  NrmGrpcngp 24410   toNrmGrp ctng 24411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-tset 17217  df-ds 17220  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-ngp 24416  df-tng 24417
This theorem is referenced by:  tngngp3  24497
  Copyright terms: Public domain W3C validator