MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpds 23911
Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpds.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpds.m = (-g𝐺)
ngpds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ngpds ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem ngpds
StepHypRef Expression
1 ngpds.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 ngpds.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
3 ngpds.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝐺)
4 ngpds.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
61, 2, 3, 4, 5isngp2 23904 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
76simp3bi 1147 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
873ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
98oveqd 7368 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝑁 )𝐵) = (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵))
10 ngpgrp 23906 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
114, 2grpsubf 18784 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
13123ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
14 opelxpi 5668 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
15143adant1 1130 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
16 fvco3 6937 . . . 4 (( :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
1713, 15, 16syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁 )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
18 df-ov 7354 . . 3 (𝐴(𝑁 )𝐵) = ((𝑁 )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
19 df-ov 7354 . . . 4 (𝐴 𝐵) = ( ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2019fveq2i 6842 . . 3 (𝑁‘(𝐴 𝐵)) = (𝑁‘( ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2117, 18, 203eqtr4g 2802 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝑁 )𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
22 ovres 7514 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
23223adant1 1130 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
249, 21, 233eqtr3rd 2786 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cop 4590   × cxp 5629  cres 5633  ccom 5635  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  distcds 17101  Grpcgrp 18707  -gcsg 18709  MetSpcms 23622  normcnm 23883  NrmGrpcngp 23884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-0g 17282  df-topgen 17284  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-psmet 20740  df-xmet 20741  df-met 20742  df-bl 20743  df-mopn 20744  df-top 22194  df-topon 22211  df-topsp 22233  df-bases 22247  df-xms 23624  df-ms 23625  df-nm 23889  df-ngp 23890
This theorem is referenced by:  ngpdsr  23912  ngpds2  23913  ngprcan  23917  ngpinvds  23920  nmmtri  23929  nmrtri  23931  subgngp  23942  nrgdsdi  23980  nrgdsdir  23981  nlmdsdi  23996  nlmdsdir  23997  nrginvrcnlem  24006  nmods  24059  ncvspds  24476  ipcnlem2  24559  minveclem2  24741  minveclem3b  24743  minveclem4  24747  minveclem6  24749
  Copyright terms: Public domain W3C validator