Theorem ngpds 24492

Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpds.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpds.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ngpds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpds	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem ngpds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpds.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		ngpds.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		ngpds.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4		ngpds.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6	1, 2, 3, 4, 5	isngp2 24485	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
7	6	simp3bi 1147	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
9	8	oveqd 7404	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑁 ∘ − )𝐵) = (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵))
10		ngpgrp 24487	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	4, 2	grpsubf 18951	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
14		opelxpi 5675	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
15	14	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
16		fvco3 6960	. . . 4 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
17	13, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
18		df-ov 7390	. . 3 ⊢ (𝐴(𝑁 ∘ − )𝐵) = ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
19		df-ov 7390	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = ( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
20	19	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝑁‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
21	17, 18, 20	3eqtr4g 2789	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑁 ∘ − )𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))
22		ovres 7555	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
23	22	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
24	9, 21, 23	3eqtr3rd 2773	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595   × cxp 5636   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  MetSpcms 24206  normcnm 24464  NrmGrpcngp 24465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-xms 24208  df-ms 24209  df-nm 24470  df-ngp 24471

This theorem is referenced by:  ngpdsr  24493  ngpds2  24494  ngprcan  24498  ngpinvds  24501  nmmtri  24510  nmrtri  24512  subgngp  24523  nrgdsdi  24553  nrgdsdir  24554  nlmdsdi  24569  nlmdsdir  24570  nrginvrcnlem  24579  nmods  24632  ncvspds  25061  ipcnlem2  25144  minveclem2  25326  minveclem3b  25328  minveclem4  25332  minveclem6  25334