Theorem ngpds 24617

Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpds.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpds.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ngpds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpds	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem ngpds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpds.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		ngpds.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		ngpds.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4		ngpds.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6	1, 2, 3, 4, 5	isngp2 24610	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
7	6	simp3bi 1148	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
8	7	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
9	8	oveqd 7448	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑁 ∘ − )𝐵) = (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵))
10		ngpgrp 24612	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	4, 2	grpsubf 19037	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
13	12	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
14		opelxpi 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
15	14	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
16		fvco3 7008	. . . 4 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
17	13, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
18		df-ov 7434	. . 3 ⊢ (𝐴(𝑁 ∘ − )𝐵) = ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
19		df-ov 7434	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = ( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
20	19	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝑁‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
21	17, 18, 20	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑁 ∘ − )𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))
22		ovres 7599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
23	22	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
24	9, 21, 23	3eqtr3rd 2786	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632   × cxp 5683   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  MetSpcms 24328  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596

This theorem is referenced by:  ngpdsr  24618  ngpds2  24619  ngprcan  24623  ngpinvds  24626  nmmtri  24635  nmrtri  24637  subgngp  24648  nrgdsdi  24686  nrgdsdir  24687  nlmdsdi  24702  nlmdsdir  24703  nrginvrcnlem  24712  nmods  24765  ncvspds  25195  ipcnlem2  25278  minveclem2  25460  minveclem3b  25462  minveclem4  25466  minveclem6  25468