Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmtri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmtri2 23231
 Description: Triangle inequality for the norm of two subtractions. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmtri2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmtri2.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmtri2.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmtri2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 𝐶)) ≤ ((𝑁‘(𝐴 𝐵)) + (𝑁‘(𝐵 𝐶))))

Proof of Theorem nmtri2
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 23203 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 nmtri2.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 nmtri2.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
52, 3, 4grpnpncan 18192 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 𝐵)(+g𝐺)(𝐵 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
65eqcomd 2830 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 𝐶) = ((𝐴 𝐵)(+g𝐺)(𝐵 𝐶)))
71, 6sylan 583 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 𝐶) = ((𝐴 𝐵)(+g𝐺)(𝐵 𝐶)))
87fveq2d 6663 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 𝐵)(+g𝐺)(𝐵 𝐶))))
9 simpl 486 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
101adantr 484 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
11 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
12 simpr2 1192 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
132, 4grpsubcl 18177 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
15 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
162, 4grpsubcl 18177 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵 𝐶) ∈ 𝑋)
1710, 12, 15, 16syl3anc 1368 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶) ∈ 𝑋)
18 nmtri2.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
192, 18, 3nmtri 23230 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 𝐶) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴 𝐵)(+g𝐺)(𝐵 𝐶))) ≤ ((𝑁‘(𝐴 𝐵)) + (𝑁‘(𝐵 𝐶))))
209, 14, 17, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘((𝐴 𝐵)(+g𝐺)(𝐵 𝐶))) ≤ ((𝑁‘(𝐴 𝐵)) + (𝑁‘(𝐵 𝐶))))
218, 20eqbrtrd 5075 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 𝐶)) ≤ ((𝑁‘(𝐴 𝐵)) + (𝑁‘(𝐵 𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146   + caddc 10534   ≤ cle 10670  Basecbs 16481  +gcplusg 16563  Grpcgrp 18101  -gcsg 18103  normcnm 23181  NrmGrpcngp 23182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-0g 16713  df-topgen 16715  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-xms 22925  df-ms 22926  df-nm 23187  df-ngp 23188 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator