Theorem nmtri2 24569

Description: Triangle inequality for the norm of two subtractions. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmtri2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmtri2.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmtri2.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmtri2	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐶)) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) + (𝑁‘(𝐵 − 𝐶))))

Proof of Theorem nmtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24541	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nmtri2.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		nmtri2.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	2, 3, 4	grpnpncan 18963	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝐺)(𝐵 − 𝐶)) = (𝐴 − 𝐶))
6	5	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝐺)(𝐵 − 𝐶)))
7	1, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝐺)(𝐵 − 𝐶)))
8	7	fveq2d 6836	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝐺)(𝐵 − 𝐶))))
9		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
10	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
13	2, 4	grpsubcl 18948	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
15		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
16	2, 4	grpsubcl 18948	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐶) ∈ 𝑋)
17	10, 12, 15, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ 𝑋)
18		nmtri2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
19	2, 18, 3	nmtri 24568	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝐺)(𝐵 − 𝐶))) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) + (𝑁‘(𝐵 − 𝐶))))
20	9, 14, 17, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘((𝐴 − 𝐵)(+g‘𝐺)(𝐵 − 𝐶))) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) + (𝑁‘(𝐵 − 𝐶))))
21	8, 20	eqbrtrd 5118	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐶)) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) + (𝑁‘(𝐵 − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   + caddc 11027   ≤ cle 11165  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  normcnm 24518  NrmGrpcngp 24519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-0g 17359  df-topgen 17361  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-xms 24262  df-ms 24263  df-nm 24524  df-ngp 24525

This theorem is referenced by: (None)