Theorem ngpi 24461

Description: The properties of a normed group, which is a group accompanied by a norm. (Contributed by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ngpi.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ngpi.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ngpi.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ngpi	⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑉   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   − (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ngpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24432	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
2		ngpi.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ngpi.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4	2, 3	nmf 24448	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑉⟶ℝ)
5		ngpi.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6	2, 3, 5	nmeq0 24451	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
7		ngpi.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
8	2, 3, 7	nmmtri 24455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
9	8	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
10	9	ralrimiva 3138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
11	6, 10	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
12	11	ralrimiva 3138	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
13	1, 4, 12	3jca 1125	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053   class class class wbr 5139  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   ≤ cle 11247  Basecbs 17145  0_gc0g 17386  Grpcgrp 18855  -_gcsg 18857  normcnm 24409  NrmGrpcngp 24410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-0g 17388  df-topgen 17390  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-xms 24150  df-ms 24151  df-nm 24415  df-ngp 24416

This theorem is referenced by:  ncvsi  25003