Theorem ngpi 24974

Description: The properties of a normed group, which is a group accompanied by a norm. (Contributed by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ngpi.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ngpi.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ngpi.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ngpi	⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑉   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   − (𝑥, 𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ngpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24945	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
2		ngpi.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ngpi.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4	2, 3	nmf 24961	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑉⟶ℝ)
5		ngpi.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6	2, 3, 5	nmeq0 24964	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
7		ngpi.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
8	2, 3, 7	nmmtri 24968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
9	8	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
10	9	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
11	6, 10	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
12	11	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
13	1, 4, 12	3jca 1146	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224   + caddc 11227   ≤ cle 11368  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  Grpcgrp 19170  -_gcsg 19172  normcnm 24922  NrmGrpcngp 24923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-0g 17638  df-topgen 17640  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-xms 24666  df-ms 24667  df-nm 24928  df-ngp 24929

This theorem is used by:  ncvsi  25499