Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpi 23237
 Description: The properties of a normed group, which is a group accompanied by a norm. (Contributed by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ngpi.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ngpi.m = (-g𝑊)
ngpi.0 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ngpi (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑉   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ngpi
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 23208 . 2 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
2 ngpi.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 ngpi.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
42, 3nmf 23224 . 2 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑉⟶ℝ)
5 ngpi.0 . . . . 5 0 = (0g𝑊)
62, 3, 5nmeq0 23227 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
7 ngpi.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
82, 3, 7nmmtri 23231 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
983expa 1115 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
109ralrimiva 3152 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
116, 10jca 515 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))))
1211ralrimiva 3152 . 2 (𝑊 ∈ NrmGrp → ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))))
131, 4, 123jca 1125 1 (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   class class class wbr 5033  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533   ≤ cle 10669  Basecbs 16478  0gc0g 16708  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100  normcnm 23186  NrmGrpcngp 23187 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-0g 16710  df-topgen 16712  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-xms 22930  df-ms 22931  df-nm 23192  df-ngp 23193 This theorem is referenced by:  ncvsi  23759
 Copyright terms: Public domain W3C validator