Theorem ngpi 24855

Description: The properties of a normed group, which is a group accompanied by a norm. (Contributed by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ngpi.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ngpi.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
ngpi.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ngpi	⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑉   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   − (𝑥, 𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ngpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24826	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
2		ngpi.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ngpi.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4	2, 3	nmf 24842	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑉⟶ℝ)
5		ngpi.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6	2, 3, 5	nmeq0 24845	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
7		ngpi.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
8	2, 3, 7	nmmtri 24849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
9	8	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
10	9	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
11	6, 10	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
12	11	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
13	1, 4, 12	3jca 1146	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130   ≤ cle 11271  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058  -_gcsg 19060  normcnm 24803  NrmGrpcngp 24804

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-0g 17530  df-topgen 17532  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-xms 24547  df-ms 24548  df-nm 24809  df-ngp 24810

This theorem is used by:  ncvsi  25380