Theorem nodenselem6 28051

Description: The restriction of a surreal to the abstraction from nodenselem4 28049 is still a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodenselem6	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ((bday‘𝐴) = (bday‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐴 ↾ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) ∈ No)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎

Proof of Theorem nodenselem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ((bday‘𝐴) = (bday‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐴 ∈ No)
2		nodenselem4 28049	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)
3	2	adantrl 729	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ((bday‘𝐴) = (bday‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)
4		noreson 28022	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On) → (𝐴 ↾ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) ∈ No)
5	1, 3, 4	syl2anc 596	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ((bday‘𝐴) = (bday‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐴 ↾ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  ∩ cint 4906   class class class wbr 5102   ↾ cres 5652  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  Nocsur 28002   <s clts 28003  bdaycbday 28004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006

This theorem is used by:  nodense  28054