Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrk0kbimka Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrk0kbimka 42385
Description: If the interiors of disjoint sets are disjoint and the interior of the base set is the base set, then the interior of the empty set is the empty set. Obsolete version of ntrkbimka 42384. (Contributed by RP, 12-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ntrk0kbimka ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠,𝑑   𝐼,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑑,𝑠)

Proof of Theorem ntrk0kbimka
StepHypRef Expression
1 pwidg 4585 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
21ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
3 0elpw 5316 . . . . 5 βˆ… ∈ 𝒫 𝐡
43a1i 11 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡)
5 simprr 772 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))
6 ineq1 4170 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) = (𝐡 ∩ 𝑑))
76eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐡 β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… ↔ (𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ…))
8 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐡 β†’ (πΌβ€˜π‘ ) = (πΌβ€˜π΅))
98ineq1d 4176 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)))
109eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ… ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))
117, 10imbi12d 345 . . . . 5 (𝑠 = 𝐡 β†’ (((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ ((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)))
12 ineq2 4171 . . . . . . . 8 (𝑑 = βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑑) = (𝐡 ∩ βˆ…))
1312eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆ… β†’ ((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… ↔ (𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ…))
14 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βˆ… β†’ (πΌβ€˜π‘‘) = (πΌβ€˜βˆ…))
1514ineq2d 4177 . . . . . . . 8 (𝑑 = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)))
1615eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆ… β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ… ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
1713, 16imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑑 = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ ((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…)))
18 in0 4356 . . . . . . 7 (𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ…
19 pm5.5 362 . . . . . . 7 ((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…) ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
2018, 19mp1i 13 . . . . . 6 (𝑑 = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…) ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
2117, 20bitrd 279 . . . . 5 (𝑑 = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
2211, 21rspc2va 3594 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…)
232, 4, 5, 22syl21anc 837 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…)
2423ex 414 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
25 elmapi 8794 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2625adantl 483 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
273a1i 11 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡)
2826, 27ffvelcdmd 7041 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) ∈ 𝒫 𝐡)
2928elpwid 4574 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡)
30 simpl 484 . . 3 (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜π΅) = 𝐡)
31 ineq1 4170 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = (𝐡 ∩ (πΌβ€˜βˆ…)))
32 incom 4166 . . . . . . . 8 (𝐡 ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡)
3331, 32eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡))
3433eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… ↔ ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ…))
3534biimpd 228 . . . . 5 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ…))
36 reldisj 4416 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ… ↔ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡)))
3736biimpd 228 . . . . . 6 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡)))
38 difid 4335 . . . . . . . 8 (𝐡 βˆ– 𝐡) = βˆ…
3938sseq2i 3978 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡) ↔ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† βˆ…)
40 ss0 4363 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)
4139, 40sylbi 216 . . . . . 6 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)
4237, 41syl6com 37 . . . . 5 (((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…))
4335, 42syl6com 37 . . . 4 (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
4443com13 88 . . 3 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
4529, 30, 44syl2im 40 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
4624, 45mpdd 43 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator