Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrk0kbimka Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrk0kbimka 43093
Description: If the interiors of disjoint sets are disjoint and the interior of the base set is the base set, then the interior of the empty set is the empty set. Obsolete version of ntrkbimka 43092. (Contributed by RP, 12-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ntrk0kbimka ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠,𝑑   𝐼,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑑,𝑠)

Proof of Theorem ntrk0kbimka
StepHypRef Expression
1 pwidg 4622 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
21ad2antrr 723 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
3 0elpw 5354 . . . . 5 βˆ… ∈ 𝒫 𝐡
43a1i 11 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡)
5 simprr 770 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))
6 ineq1 4205 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) = (𝐡 ∩ 𝑑))
76eqeq1d 2733 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐡 β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… ↔ (𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ…))
8 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐡 β†’ (πΌβ€˜π‘ ) = (πΌβ€˜π΅))
98ineq1d 4211 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)))
109eqeq1d 2733 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ… ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))
117, 10imbi12d 344 . . . . 5 (𝑠 = 𝐡 β†’ (((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ ((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)))
12 ineq2 4206 . . . . . . . 8 (𝑑 = βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑑) = (𝐡 ∩ βˆ…))
1312eqeq1d 2733 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆ… β†’ ((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… ↔ (𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ…))
14 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βˆ… β†’ (πΌβ€˜π‘‘) = (πΌβ€˜βˆ…))
1514ineq2d 4212 . . . . . . . 8 (𝑑 = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)))
1615eqeq1d 2733 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆ… β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ… ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
1713, 16imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑑 = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ ((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…)))
18 in0 4391 . . . . . . 7 (𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ…
19 pm5.5 361 . . . . . . 7 ((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…) ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
2018, 19mp1i 13 . . . . . 6 (𝑑 = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…) ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
2117, 20bitrd 279 . . . . 5 (𝑑 = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
2211, 21rspc2va 3623 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…)
232, 4, 5, 22syl21anc 835 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…)
2423ex 412 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
25 elmapi 8847 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2625adantl 481 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
273a1i 11 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡)
2826, 27ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) ∈ 𝒫 𝐡)
2928elpwid 4611 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡)
30 simpl 482 . . 3 (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜π΅) = 𝐡)
31 ineq1 4205 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = (𝐡 ∩ (πΌβ€˜βˆ…)))
32 incom 4201 . . . . . . . 8 (𝐡 ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡)
3331, 32eqtrdi 2787 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡))
3433eqeq1d 2733 . . . . . 6 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… ↔ ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ…))
3534biimpd 228 . . . . 5 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ…))
36 reldisj 4451 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ… ↔ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡)))
3736biimpd 228 . . . . . 6 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡)))
38 difid 4370 . . . . . . . 8 (𝐡 βˆ– 𝐡) = βˆ…
3938sseq2i 4011 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡) ↔ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† βˆ…)
40 ss0 4398 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)
4139, 40sylbi 216 . . . . . 6 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)
4237, 41syl6com 37 . . . . 5 (((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…))
4335, 42syl6com 37 . . . 4 (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
4443com13 88 . . 3 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
4529, 30, 44syl2im 40 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
4624, 45mpdd 43 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8826
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator