Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrk0kbimka Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrk0kbimka 43092
Description: If the interiors of disjoint sets are disjoint and the interior of the base set is the base set, then the interior of the empty set is the empty set. Obsolete version of ntrkbimka 43091. (Contributed by RP, 12-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ntrk0kbimka ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠,𝑑   𝐼,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑑,𝑠)

Proof of Theorem ntrk0kbimka
StepHypRef Expression
1 pwidg 4621 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
21ad2antrr 722 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 𝐡)
3 0elpw 5353 . . . . 5 βˆ… ∈ 𝒫 𝐡
43a1i 11 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡)
5 simprr 769 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))
6 ineq1 4204 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) = (𝐡 ∩ 𝑑))
76eqeq1d 2732 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐡 β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… ↔ (𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ…))
8 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐡 β†’ (πΌβ€˜π‘ ) = (πΌβ€˜π΅))
98ineq1d 4210 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)))
109eqeq1d 2732 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ… ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))
117, 10imbi12d 343 . . . . 5 (𝑠 = 𝐡 β†’ (((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ ((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)))
12 ineq2 4205 . . . . . . . 8 (𝑑 = βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑑) = (𝐡 ∩ βˆ…))
1312eqeq1d 2732 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆ… β†’ ((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… ↔ (𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ…))
14 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βˆ… β†’ (πΌβ€˜π‘‘) = (πΌβ€˜βˆ…))
1514ineq2d 4211 . . . . . . . 8 (𝑑 = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)))
1615eqeq1d 2732 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆ… β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ… ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
1713, 16imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑑 = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ ((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…)))
18 in0 4390 . . . . . . 7 (𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ…
19 pm5.5 360 . . . . . . 7 ((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…) ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
2018, 19mp1i 13 . . . . . 6 (𝑑 = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…) ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
2117, 20bitrd 278 . . . . 5 (𝑑 = βˆ… β†’ (((𝐡 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
2211, 21rspc2va 3622 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…)
232, 4, 5, 22syl21anc 834 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) ∧ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))) β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…)
2423ex 411 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ…))
25 elmapi 8845 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2625adantl 480 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
273a1i 11 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝐡)
2826, 27ffvelcdmd 7086 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) ∈ 𝒫 𝐡)
2928elpwid 4610 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡)
30 simpl 481 . . 3 (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜π΅) = 𝐡)
31 ineq1 4204 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = (𝐡 ∩ (πΌβ€˜βˆ…)))
32 incom 4200 . . . . . . . 8 (𝐡 ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡)
3331, 32eqtrdi 2786 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡))
3433eqeq1d 2732 . . . . . 6 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… ↔ ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ…))
3534biimpd 228 . . . . 5 ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ…))
36 reldisj 4450 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ… ↔ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡)))
3736biimpd 228 . . . . . 6 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡)))
38 difid 4369 . . . . . . . 8 (𝐡 βˆ– 𝐡) = βˆ…
3938sseq2i 4010 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡) ↔ (πΌβ€˜βˆ…) βŠ† βˆ…)
40 ss0 4397 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)
4139, 40sylbi 216 . . . . . 6 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐡) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)
4237, 41syl6com 37 . . . . 5 (((πΌβ€˜βˆ…) ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…))
4335, 42syl6com 37 . . . 4 (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
4443com13 88 . . 3 ((πΌβ€˜βˆ…) βŠ† 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
4529, 30, 44syl2im 40 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) ∩ (πΌβ€˜βˆ…)) = βˆ… β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
4624, 45mpdd 43 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡)) β†’ (((πΌβ€˜π΅) = 𝐡 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜βˆ…) = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator