Theorem nvnegneg 30705

Description: Double negative of a vector. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvnegneg.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnegneg.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvnegneg	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem nvnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12132	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvnegneg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvnegneg.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4	2, 3	nvscl 30682	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an2 1452	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (inv‘( +𝑣 ‘𝑈)) = (inv‘( +𝑣 ‘𝑈))
8	2, 6, 3, 7	nvinv 30695	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘(-1𝑆𝐴)))
9	5, 8	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘(-1𝑆𝐴)))
10	2, 6, 3, 7	nvinv 30695	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴))
11	10	fveq2d 6837	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)))
12	6	nvgrp 30673	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp)
13	2, 6	bafval 30660	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
14	13, 7	grpo2inv 30587	. . 3 ⊢ ((( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
15	12, 14	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
16	9, 11, 15	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  1c1 11029  -cneg 11367  GrpOpcgr 30545  invcgn 30547  NrmCVeccnv 30640   +_𝑣 cpv 30641  BaseSetcba 30642   ·_𝑠OLD cns 30643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-grpo 30549  df-gid 30550  df-ginv 30551  df-ablo 30601  df-vc 30615  df-nv 30648  df-va 30651  df-ba 30652  df-sm 30653  df-0v 30654  df-nmcv 30656

This theorem is referenced by:  nvdif  30722