Theorem nvnegneg 31308

Description: Double negative of a vector. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvnegneg.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnegneg.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvnegneg	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆( -1𝑆𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem nvnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12345	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvnegneg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvnegneg.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4	2, 3	nvscl 31285	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an2 1479	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (inv‘( +𝑣 ‘𝑈)) = (inv‘( +𝑣 ‘𝑈))
8	2, 6, 3, 7	nvinv 31298	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ( -1𝑆( -1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘( -1𝑆𝐴)))
9	5, 8	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆( -1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘( -1𝑆𝐴)))
10	2, 6, 3, 7	nvinv 31298	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴))
11	10	fveq2d 6920	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘( -1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)))
12	6	nvgrp 31276	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp)
13	2, 6	bafval 31263	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
14	13, 7	grpo2inv 31190	. . 3 ⊢ ((( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
15	12, 14	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
16	9, 11, 15	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆( -1𝑆𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  1c1 11240   -cneg 11581  GrpOpcgr 31148  invcgn 31150  NrmCVeccnv 31243   +_𝑣 cpv 31244  BaseSetcba 31245   ·_𝑠OLD cns 31246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ginv 31154  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-nmcv 31259

This theorem is used by:  nvdif  31325