Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnegneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvnegneg 28411
 Description: Double negative of a vector. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnegneg.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnegneg.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvnegneg ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem nvnegneg
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11730 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 nvnegneg.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nvnegneg.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
42, 3nvscl 28388 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
51, 4mp3an2 1445 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
6 eqid 2820 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
7 eqid 2820 . . . 4 (inv‘( +𝑣𝑈)) = (inv‘( +𝑣𝑈))
82, 6, 3, 7nvinv 28401 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣𝑈))‘(-1𝑆𝐴)))
95, 8syldan 593 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣𝑈))‘(-1𝑆𝐴)))
102, 6, 3, 7nvinv 28401 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = ((inv‘( +𝑣𝑈))‘𝐴))
1110fveq2d 6650 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((inv‘( +𝑣𝑈))‘(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣𝑈))‘((inv‘( +𝑣𝑈))‘𝐴)))
126nvgrp 28379 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑈) ∈ GrpOp)
132, 6bafval 28366 . . . 4 𝑋 = ran ( +𝑣𝑈)
1413, 7grpo2inv 28293 . . 3 ((( +𝑣𝑈) ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → ((inv‘( +𝑣𝑈))‘((inv‘( +𝑣𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
1512, 14sylan 582 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((inv‘( +𝑣𝑈))‘((inv‘( +𝑣𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
169, 11, 153eqtrd 2859 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℂcc 10513  1c1 10516  -cneg 10849  GrpOpcgr 28251  invcgn 28253  NrmCVeccnv 28346   +𝑣 cpv 28347  BaseSetcba 28348   ·𝑠OLD cns 28349 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-sub 10850  df-neg 10851  df-grpo 28255  df-gid 28256  df-ginv 28257  df-ablo 28307  df-vc 28321  df-nv 28354  df-va 28357  df-ba 28358  df-sm 28359  df-0v 28360  df-nmcv 28362 This theorem is referenced by:  nvdif  28428
 Copyright terms: Public domain W3C validator