Theorem nvnegneg 30982

Description: Double negative of a vector. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvnegneg.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnegneg.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvnegneg	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem nvnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12204	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvnegneg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvnegneg.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4	2, 3	nvscl 30959	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an2 1478	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (inv‘( +𝑣 ‘𝑈)) = (inv‘( +𝑣 ‘𝑈))
8	2, 6, 3, 7	nvinv 30972	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘(-1𝑆𝐴)))
9	5, 8	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘(-1𝑆𝐴)))
10	2, 6, 3, 7	nvinv 30972	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴))
11	10	fveq2d 6887	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)))
12	6	nvgrp 30950	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp)
13	2, 6	bafval 30937	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
14	13, 7	grpo2inv 30864	. . 3 ⊢ ((( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
15	12, 14	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
16	9, 11, 15	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  1c1 11102  -cneg 11443  GrpOpcgr 30822  invcgn 30824  NrmCVeccnv 30917   +_𝑣 cpv 30918  BaseSetcba 30919   ·_𝑠OLD cns 30920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444  df-neg 11445  df-grpo 30826  df-gid 30827  df-ginv 30828  df-ablo 30878  df-vc 30892  df-nv 30925  df-va 30928  df-ba 30929  df-sm 30930  df-0v 30931  df-nmcv 30933

This theorem is referenced by:  nvdif  30999