Theorem nvnegneg 31257

Description: Double negative of a vector. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvnegneg.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnegneg.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvnegneg	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆( -1𝑆𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem nvnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12309	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvnegneg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvnegneg.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4	2, 3	nvscl 31234	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an2 1478	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (inv‘( +𝑣 ‘𝑈)) = (inv‘( +𝑣 ‘𝑈))
8	2, 6, 3, 7	nvinv 31247	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ( -1𝑆( -1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘( -1𝑆𝐴)))
9	5, 8	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆( -1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘( -1𝑆𝐴)))
10	2, 6, 3, 7	nvinv 31247	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴))
11	10	fveq2d 6890	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘( -1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)))
12	6	nvgrp 31225	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp)
13	2, 6	bafval 31212	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
14	13, 7	grpo2inv 31139	. . 3 ⊢ ((( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
15	12, 14	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
16	9, 11, 15	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆( -1𝑆𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  1c1 11205   -cneg 11546  GrpOpcgr 31097  invcgn 31099  NrmCVeccnv 31192   +_𝑣 cpv 31193  BaseSetcba 31194   ·_𝑠OLD cns 31195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-neg 11548  df-grpo 31101  df-gid 31102  df-ginv 31103  df-ablo 31153  df-vc 31167  df-nv 31200  df-va 31203  df-ba 31204  df-sm 31205  df-0v 31206  df-nmcv 31208

This theorem is used by:  nvdif  31274