Theorem nvnegneg 30694

Description: Double negative of a vector. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvnegneg.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnegneg.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvnegneg	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem nvnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12387	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvnegneg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvnegneg.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4	2, 3	nvscl 30671	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an2 1450	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (inv‘( +𝑣 ‘𝑈)) = (inv‘( +𝑣 ‘𝑈))
8	2, 6, 3, 7	nvinv 30684	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘(-1𝑆𝐴)))
9	5, 8	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘(-1𝑆𝐴)))
10	2, 6, 3, 7	nvinv 30684	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴))
11	10	fveq2d 6918	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘(-1𝑆𝐴)) = ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)))
12	6	nvgrp 30662	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp)
13	2, 6	bafval 30649	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
14	13, 7	grpo2inv 30576	. . 3 ⊢ ((( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
15	12, 14	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘((inv‘( +𝑣 ‘𝑈))‘𝐴)) = 𝐴)
16	9, 11, 15	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(-1𝑆𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℂcc 11160  1c1 11163  -cneg 11500  GrpOpcgr 30534  invcgn 30536  NrmCVeccnv 30629   +_𝑣 cpv 30630  BaseSetcba 30631   ·_𝑠OLD cns 30632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-ltxr 11307  df-sub 11501  df-neg 11502  df-grpo 30538  df-gid 30539  df-ginv 30540  df-ablo 30590  df-vc 30604  df-nv 30637  df-va 30640  df-ba 30641  df-sm 30642  df-0v 30643  df-nmcv 30645

This theorem is referenced by:  nvdif  30711