MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvrinv 28342
Description: A vector minus itself. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvrinv.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvrinv.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvrinv.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvrinv.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvrinv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = 𝑍)

Proof of Theorem nvrinv
StepHypRef Expression
1 nvrinv.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
21nvgrp 28308 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvrinv.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
43, 1bafval 28295 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
5 eqid 2826 . . . 4 (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
6 eqid 2826 . . . 4 (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
74, 5, 6grporinv 28218 . . 3 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐴)) = (GId‘𝐺))
82, 7sylan 580 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐴)) = (GId‘𝐺))
9 nvrinv.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
103, 1, 9, 6nvinv 28330 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = ((inv‘𝐺)‘𝐴))
1110oveq2d 7164 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐴)))
12 nvrinv.6 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
131, 120vfval 28297 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘𝐺))
1413adantr 481 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍 = (GId‘𝐺))
158, 11, 143eqtr4d 2871 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  (class class class)co 7148  1c1 10527  -cneg 10860  GrpOpcgr 28180  GIdcgi 28181  invcgn 28182  NrmCVeccnv 28275   +𝑣 cpv 28276  BaseSetcba 28277   ·𝑠OLD cns 28278  0veccn0v 28279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-nmcv 28291
This theorem is referenced by:  nvpncan2  28344  ipidsq  28401  ip2i  28519  ipdirilem  28520  ipasslem2  28523
  Copyright terms: Public domain W3C validator