MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvrinv 30455
Description: A vector minus itself. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvrinv.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvrinv.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvrinv.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvrinv.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvrinv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = 𝑍)

Proof of Theorem nvrinv
StepHypRef Expression
1 nvrinv.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
21nvgrp 30421 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvrinv.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
43, 1bafval 30408 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
5 eqid 2728 . . . 4 (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
6 eqid 2728 . . . 4 (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
74, 5, 6grporinv 30331 . . 3 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐴)) = (GId‘𝐺))
82, 7sylan 579 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐴)) = (GId‘𝐺))
9 nvrinv.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
103, 1, 9, 6nvinv 30443 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = ((inv‘𝐺)‘𝐴))
1110oveq2d 7431 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐴)))
12 nvrinv.6 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
131, 120vfval 30410 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘𝐺))
1413adantr 480 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍 = (GId‘𝐺))
158, 11, 143eqtr4d 2778 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6543  (class class class)co 7415  1c1 11134  -cneg 11470  GrpOpcgr 30293  GIdcgi 30294  invcgn 30295  NrmCVeccnv 30388   +𝑣 cpv 30389  BaseSetcba 30390   ·𝑠OLD cns 30391  0veccn0v 30392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-ltxr 11278  df-sub 11471  df-neg 11472  df-grpo 30297  df-gid 30298  df-ginv 30299  df-ablo 30349  df-vc 30363  df-nv 30396  df-va 30399  df-ba 30400  df-sm 30401  df-0v 30402  df-nmcv 30404
This theorem is referenced by:  nvpncan2  30457  ipidsq  30514  ip2i  30632  ipdirilem  30633  ipasslem2  30636
  Copyright terms: Public domain W3C validator