Theorem nvmfval 30731

Description: Value of the function for the vector subtraction operation on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvmval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvmval.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmfval	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nvmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmval.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvgrp 30704	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		nvmval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 30691	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
6		nvmval.3	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
7	1, 6	vsfval 30720	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( /𝑔 ‘𝐺)
8	4, 5, 7	grpodivfval 30621	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
10		nvmval.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11	3, 1, 10, 5	nvinv 30726	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝑦) = ((inv‘𝐺)‘𝑦))
12	11	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝑦) = ((inv‘𝐺)‘𝑦))
13	12	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦)))
14	13	mpoeq3dva 7445	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
15	9, 14	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  1c1 11039  -cneg 11377  GrpOpcgr 30576  invcgn 30578  NrmCVeccnv 30671   +_𝑣 cpv 30672  BaseSetcba 30673   ·_𝑠OLD cns 30674   −_𝑣 cnsb 30676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-gdiv 30583  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-vs 30686  df-nmcv 30687

This theorem is referenced by:  nvmf  30732  cnnvm  30769  vmcn  30786  h2hvs  31064