Theorem nvmfval 30631

Description: Value of the function for the vector subtraction operation on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvmval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvmval.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmfval	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nvmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmval.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvgrp 30604	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		nvmval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 30591	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
6		nvmval.3	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
7	1, 6	vsfval 30620	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( /𝑔 ‘𝐺)
8	4, 5, 7	grpodivfval 30521	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
10		nvmval.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11	3, 1, 10, 5	nvinv 30626	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝑦) = ((inv‘𝐺)‘𝑦))
12	11	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝑦) = ((inv‘𝐺)‘𝑦))
13	12	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦)))
14	13	mpoeq3dva 7429	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
15	9, 14	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  1c1 11013  -cneg 11351  GrpOpcgr 30476  invcgn 30478  NrmCVeccnv 30571   +_𝑣 cpv 30572  BaseSetcba 30573   ·_𝑠OLD cns 30574   −_𝑣 cnsb 30576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-ltxr 11157  df-sub 11352  df-neg 11353  df-grpo 30480  df-gid 30481  df-ginv 30482  df-gdiv 30483  df-ablo 30532  df-vc 30546  df-nv 30579  df-va 30582  df-ba 30583  df-sm 30584  df-0v 30585  df-vs 30586  df-nmcv 30587

This theorem is referenced by:  nvmf  30632  cnnvm  30669  vmcn  30686  h2hvs  30964