Theorem nvmfval 31033

Description: Value of the function for the vector subtraction operation on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvmval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvmval.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmfval	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem nvmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmval.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvgrp 31006	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		nvmval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 30993	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
6		nvmval.3	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
7	1, 6	vsfval 31022	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( /𝑔 ‘𝐺)
8	4, 5, 7	grpodivfval 30923	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
9	2, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
10		nvmval.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11	3, 1, 10, 5	nvinv 31028	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝑦) = ((inv‘𝐺)‘𝑦))
12	11	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝑦) = ((inv‘𝐺)‘𝑦))
13	12	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦)))
14	13	mpoeq3dva 7500	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
15	9, 14	eqtr4d 2804	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  1c1 11119  -cneg 11460  GrpOpcgr 30878  invcgn 30880  NrmCVeccnv 30973   +_𝑣 cpv 30974  BaseSetcba 30975   ·_𝑠OLD cns 30976   −_𝑣 cnsb 30978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461  df-neg 11462  df-grpo 30882  df-gid 30883  df-ginv 30884  df-gdiv 30885  df-ablo 30934  df-vc 30948  df-nv 30981  df-va 30984  df-ba 30985  df-sm 30986  df-0v 30987  df-vs 30988  df-nmcv 30989

This theorem is used by:  nvmf  31034  cnnvm  31071  vmcn  31088  h2hvs  31366