MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmfval 30474
Description: Value of the function for the vector subtraction operation on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvmval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvmval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvmval.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvmfval (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐺(-1𝑆𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐺   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   𝑀(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem nvmfval
StepHypRef Expression
1 nvmval.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
21nvgrp 30447 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvmval.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
43, 1bafval 30434 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
5 eqid 2728 . . . 4 (invβ€˜πΊ) = (invβ€˜πΊ)
6 nvmval.3 . . . . 5 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
71, 6vsfval 30463 . . . 4 𝑀 = ( /𝑔 β€˜πΊ)
84, 5, 7grpodivfval 30364 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐺((invβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))))
92, 8syl 17 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐺((invβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))))
10 nvmval.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
113, 1, 10, 5nvinv 30469 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝑦) = ((invβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))
12113adant2 1128 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝑦) = ((invβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))
1312oveq2d 7442 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐺(-1𝑆𝑦)) = (π‘₯𝐺((invβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
1413mpoeq3dva 7503 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐺(-1𝑆𝑦))) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐺((invβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))))
159, 14eqtr4d 2771 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐺(-1𝑆𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  1c1 11147  -cneg 11483  GrpOpcgr 30319  invcgn 30321  NrmCVeccnv 30414   +𝑣 cpv 30415  BaseSetcba 30416   ·𝑠OLD cns 30417   βˆ’π‘£ cnsb 30419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430
This theorem is referenced by:  nvmf  30475  cnnvm  30512  vmcn  30529  h2hvs  30807
  Copyright terms: Public domain W3C validator