Theorem nvmfval 29586

Description: Value of the function for the vector subtraction operation on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvmval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvmval.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmfval	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nvmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmval.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvgrp 29559	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		nvmval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 29546	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
6		nvmval.3	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
7	1, 6	vsfval 29575	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( /𝑔 ‘𝐺)
8	4, 5, 7	grpodivfval 29476	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
10		nvmval.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11	3, 1, 10, 5	nvinv 29581	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝑦) = ((inv‘𝐺)‘𝑦))
12	11	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝑦) = ((inv‘𝐺)‘𝑦))
13	12	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦)))
14	13	mpoeq3dva 7434	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺((inv‘𝐺)‘𝑦))))
15	9, 14	eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  1c1 11052  -cneg 11386  GrpOpcgr 29431  invcgn 29433  NrmCVeccnv 29526   +_𝑣 cpv 29527  BaseSetcba 29528   ·_𝑠OLD cns 29529   −_𝑣 cnsb 29531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-sub 11387  df-neg 11388  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542

This theorem is referenced by:  nvmf  29587  cnnvm  29624  vmcn  29641  h2hvs  29919