Theorem orngrmulle 33301

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
orngmulle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmulle.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
orngmulle.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
orngrmulle	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngogrp 33296	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oGrp)
4		isogrp 33052	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
5	4	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oMnd)
7		orngring 33295	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringgrp 20265	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
11		ornglmullt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		ornglmullt.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	grpidcl 19005	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15		ornglmullt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		ornglmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17		ornglmullt.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	ringcl 20277	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
19	8, 15, 16, 18	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
20		ornglmullt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	11, 17	ringcl 20277	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
22	8, 20, 16, 21	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	11, 23	grpsubcl 19060	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
25	10, 19, 22, 24	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
26	11, 23	grpsubcl 19060	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
27	10, 15, 20, 26	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
28	11, 12, 23	grpsubid 19064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
29	10, 20, 28	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
30		orngmulle.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
31		orngmulle.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
32	11, 31, 23	ogrpsub 33066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
33	3, 20, 15, 20, 30, 32	syl131anc 1383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
34	29, 33	eqbrtrrd 5190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
35		orngmulle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
36	11, 31, 12, 17	orngmul 33298	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑍)) → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
37	1, 27, 34, 16, 35, 36	syl122anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
38	11, 17, 23, 8, 15, 20, 16	ringsubdir 20331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
39	37, 38	breqtrd 5192	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
40		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	11, 31, 40	omndadd 33056	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
42	6, 14, 25, 22, 39, 41	syl131anc 1383	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
43	11, 40, 12	grplid 19007	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
44	10, 22, 43	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
45	11, 40, 23	grpnpcan 19072	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
46	10, 19, 22, 45	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
47	42, 44, 46	3brtr3d 5197	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  lecple 17318  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  -_gcsg 18975  Ringcrg 20260  oMndcomnd 33047  oGrpcogrp 33048  oRingcorng 33290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-omnd 33049  df-ogrp 33050  df-orng 33292

This theorem is referenced by:  orngrmullt  33303