Theorem orngrmulle 21155

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
orngmulle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmulle.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
orngmulle.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
orngrmulle	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngogrp 21150	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oGrp)
4		isogrp 20368	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
5	4	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oMnd)
7		orngring 21149	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringgrp 20494	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
11		ornglmullt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		ornglmullt.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	grpidcl 19205	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
14	10, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15		ornglmullt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		ornglmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17		ornglmullt.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	ringcl 20507	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
19	8, 15, 16, 18	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
20		ornglmullt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	11, 17	ringcl 20507	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
22	8, 20, 16, 21	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	11, 23	grpsubcl 19259	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
25	10, 19, 22, 24	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
26	11, 23	grpsubcl 19259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
27	10, 15, 20, 26	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
28	11, 12, 23	grpsubid 19263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
29	10, 20, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
30		orngmulle.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
31		orngmulle.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
32	11, 31, 23	ogrpsub 20381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
33	3, 20, 15, 20, 30, 32	syl131anc 1411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
34	29, 33	eqbrtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
35		orngmulle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
36	11, 31, 12, 17	orngmul 21152	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑍)) → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
37	1, 27, 34, 16, 35, 36	syl122anc 1407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
38	11, 17, 23, 8, 15, 20, 16	ringsubdir 20569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
39	37, 38	breqtrd 5134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
40		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	11, 31, 40	omndadd 20372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
42	6, 14, 25, 22, 39, 41	syl131anc 1411	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
43	11, 40, 12	grplid 19207	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
44	10, 22, 43	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
45	11, 40, 23	grpnpcan 19271	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
46	10, 19, 22, 45	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
47	42, 44, 46	3brtr3d 5139	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ._rcmulr 17458  lecple 17464  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  -_gcsg 19175  oMndcomnd 20363  oGrpcogrp 20364  Ringcrg 20489  oRingcorng 21144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-omnd 20365  df-ogrp 20366  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-orng 21146

This theorem is used by:  orngrmullt  21157