Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngrmulle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem orngrmulle 32691
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ornglmullt.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
ornglmullt.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
ornglmullt.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ornglmullt.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ornglmullt.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
orngmulle.l ≀ = (leβ€˜π‘…)
orngmulle.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
orngmulle.6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
orngrmulle (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ≀ (π‘Œ Β· 𝑍))
Proof of Theorem orngrmulle
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
2 orngogrp 32686 . . . . 5 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ oGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oGrp)
4 isogrp 32487 . . . . 5 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ oGrp β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
7 orngring 32685 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 ringgrp 20133 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
11 ornglmullt.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
12 ornglmullt.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
1311, 12grpidcl 18887 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
1410, 13syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
15 ornglmullt.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
16 ornglmullt.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
17 ornglmullt.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
1811, 17ringcl 20145 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
198, 15, 16, 18syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
20 ornglmullt.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2111, 17ringcl 20145 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
228, 20, 16, 21syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
23 eqid 2731 . . . . 5 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
2411, 23grpsubcl 18940 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)) ∈ 𝐡)
2510, 19, 22, 24syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)) ∈ 𝐡)
2611, 23grpsubcl 18940 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) ∈ 𝐡)
2710, 15, 20, 26syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) ∈ 𝐡)
2811, 12, 23grpsubid 18944 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) = 0 )
2910, 20, 28syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) = 0 )
30 orngmulle.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
31 orngmulle.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜π‘…)
3211, 31, 23ogrpsub 32501 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))
333, 20, 15, 20, 30, 32syl131anc 1382 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))
3429, 33eqbrtrrd 5173 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))
35 orngmulle.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑍)
3611, 31, 12, 17orngmul 32688 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ ((π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋)) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝑍)) β†’ 0 ≀ ((π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) Β· 𝑍))
371, 27, 34, 16, 35, 36syl122anc 1378 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) Β· 𝑍))
3811, 17, 23, 8, 15, 20, 16ringsubdir 20197 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) Β· 𝑍) = ((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)))
3937, 38breqtrd 5175 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)))
40 eqid 2731 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4111, 31, 40omndadd 32491 . . 3 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ ((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍))) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)) ≀ (((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍))(+gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)))
426, 14, 25, 22, 39, 41syl131anc 1382 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)) ≀ (((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍))(+gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)))
4311, 40, 12grplid 18889 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· 𝑍))
4410, 22, 43syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)) = (𝑋 Β· 𝑍))
4511, 40, 23grpnpcan 18952 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍))(+gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)) = (π‘Œ Β· 𝑍))
4610, 19, 22, 45syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍))(+gβ€˜π‘…)(𝑋 Β· 𝑍)) = (π‘Œ Β· 𝑍))
4742, 44, 463brtr3d 5180 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ≀ (π‘Œ Β· 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  lecple 17209  0gc0g 17390  Grpcgrp 18856  -gcsg 18858  Ringcrg 20128  oMndcomnd 32482  oGrpcogrp 32483  oRingcorng 32680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-omnd 32484  df-ogrp 32485  df-orng 32682
This theorem is referenced by:  orngrmullt  32693
  Copyright terms: Public domain W3C validator