Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngrmulle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orngrmulle 33336
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t · = (.r𝑅)
ornglmullt.0 0 = (0g𝑅)
ornglmullt.1 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (𝜑𝑋𝐵)
ornglmullt.3 (𝜑𝑌𝐵)
ornglmullt.4 (𝜑𝑍𝐵)
orngmulle.l = (le‘𝑅)
orngmulle.5 (𝜑𝑋 𝑌)
orngmulle.6 (𝜑0 𝑍)
Assertion
Ref Expression
orngrmulle (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmulle
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
2 orngogrp 33331 . . . . 5 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ oGrp)
4 isogrp 33079 . . . . 5 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ oMnd)
7 orngring 33330 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 ringgrp 20235 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
11 ornglmullt.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 ornglmullt.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1311, 12grpidcl 18983 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
1410, 13syl 17 . . 3 (𝜑0𝐵)
15 ornglmullt.3 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
16 ornglmullt.4 . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
17 ornglmullt.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
1811, 17ringcl 20247 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
198, 15, 16, 18syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
20 ornglmullt.2 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
2111, 17ringcl 20247 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
228, 20, 16, 21syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23 eqid 2737 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g𝑅)
2411, 23grpsubcl 19038 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
2510, 19, 22, 24syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
2611, 23grpsubcl 19038 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
2710, 15, 20, 26syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
2811, 12, 23grpsubid 19042 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(-g𝑅)𝑋) = 0 )
2910, 20, 28syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(-g𝑅)𝑋) = 0 )
30 orngmulle.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 𝑌)
31 orngmulle.l . . . . . . . 8 = (le‘𝑅)
3211, 31, 23ogrpsub 33093 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋(-g𝑅)𝑋) (𝑌(-g𝑅)𝑋))
333, 20, 15, 20, 30, 32syl131anc 1385 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(-g𝑅)𝑋) (𝑌(-g𝑅)𝑋))
3429, 33eqbrtrrd 5167 . . . . 5 (𝜑0 (𝑌(-g𝑅)𝑋))
35 orngmulle.6 . . . . 5 (𝜑0 𝑍)
3611, 31, 12, 17orngmul 33333 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ ((𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵0 (𝑌(-g𝑅)𝑋)) ∧ (𝑍𝐵0 𝑍)) → 0 ((𝑌(-g𝑅)𝑋) · 𝑍))
371, 27, 34, 16, 35, 36syl122anc 1381 . . . 4 (𝜑0 ((𝑌(-g𝑅)𝑋) · 𝑍))
3811, 17, 23, 8, 15, 20, 16ringsubdir 20305 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌(-g𝑅)𝑋) · 𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
3937, 38breqtrd 5169 . . 3 (𝜑0 ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
40 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4111, 31, 40omndadd 33083 . . 3 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0𝐵 ∧ ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) ∧ 0 ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) (((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
426, 14, 25, 22, 39, 41syl131anc 1385 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) (((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
4311, 40, 12grplid 18985 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
4410, 22, 43syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
4511, 40, 23grpnpcan 19050 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
4610, 19, 22, 45syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
4742, 44, 463brtr3d 5174 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  lecple 17304  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  Ringcrg 20230  oMndcomnd 33074  oGrpcogrp 33075  oRingcorng 33325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-omnd 33076  df-ogrp 33077  df-orng 33327
This theorem is referenced by:  orngrmullt  33338
  Copyright terms: Public domain W3C validator