Theorem orngrmulle 31407

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
orngmulle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmulle.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
orngmulle.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
orngrmulle	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngogrp 31402	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oGrp)
4		isogrp 31230	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
5	4	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oMnd)
7		orngring 31401	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringgrp 19703	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
11		ornglmullt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		ornglmullt.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	grpidcl 18522	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15		ornglmullt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		ornglmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17		ornglmullt.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	ringcl 19715	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
19	8, 15, 16, 18	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
20		ornglmullt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	11, 17	ringcl 19715	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
22	8, 20, 16, 21	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	11, 23	grpsubcl 18570	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
25	10, 19, 22, 24	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
26	11, 23	grpsubcl 18570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
27	10, 15, 20, 26	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
28	11, 12, 23	grpsubid 18574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
29	10, 20, 28	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
30		orngmulle.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
31		orngmulle.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
32	11, 31, 23	ogrpsub 31244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
33	3, 20, 15, 20, 30, 32	syl131anc 1381	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
34	29, 33	eqbrtrrd 5094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
35		orngmulle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
36	11, 31, 12, 17	orngmul 31404	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑍)) → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
37	1, 27, 34, 16, 35, 36	syl122anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
38	11, 17, 23, 8, 15, 20, 16	rngsubdir 19754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
39	37, 38	breqtrd 5096	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
40		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	11, 31, 40	omndadd 31234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
42	6, 14, 25, 22, 39, 41	syl131anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
43	11, 40, 12	grplid 18524	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
44	10, 22, 43	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
45	11, 40, 23	grpnpcan 18582	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
46	10, 19, 22, 45	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
47	42, 44, 46	3brtr3d 5101	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  lecple 16895  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  Ringcrg 19698  oMndcomnd 31225  oGrpcogrp 31226  oRingcorng 31396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-omnd 31227  df-ogrp 31228  df-orng 31398

This theorem is referenced by:  orngrmullt  31409