Theorem orngrmulle 20813

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
orngmulle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmulle.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
orngmulle.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
orngrmulle	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngogrp 20808	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oGrp)
4		isogrp 20065	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
5	4	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oMnd)
7		orngring 20807	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringgrp 20185	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
11		ornglmullt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		ornglmullt.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	grpidcl 18907	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15		ornglmullt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		ornglmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17		ornglmullt.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	ringcl 20197	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
19	8, 15, 16, 18	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
20		ornglmullt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	11, 17	ringcl 20197	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
22	8, 20, 16, 21	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	11, 23	grpsubcl 18962	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
25	10, 19, 22, 24	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
26	11, 23	grpsubcl 18962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
27	10, 15, 20, 26	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
28	11, 12, 23	grpsubid 18966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
29	10, 20, 28	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
30		orngmulle.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
31		orngmulle.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
32	11, 31, 23	ogrpsub 20078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
33	3, 20, 15, 20, 30, 32	syl131anc 1386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
34	29, 33	eqbrtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
35		orngmulle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
36	11, 31, 12, 17	orngmul 20810	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑍)) → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
37	1, 27, 34, 16, 35, 36	syl122anc 1382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
38	11, 17, 23, 8, 15, 20, 16	ringsubdir 20255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
39	37, 38	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	11, 31, 40	omndadd 20069	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
42	6, 14, 25, 22, 39, 41	syl131anc 1386	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
43	11, 40, 12	grplid 18909	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
44	10, 22, 43	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
45	11, 40, 23	grpnpcan 18974	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
46	10, 19, 22, 45	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
47	42, 44, 46	3brtr3d 5131	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  lecple 17196  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  -_gcsg 18877  oMndcomnd 20060  oGrpcogrp 20061  Ringcrg 20180  oRingcorng 20802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-omnd 20062  df-ogrp 20063  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-orng 20804

This theorem is referenced by:  orngrmullt  20815