Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngrmulle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orngrmulle 33316
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t · = (.r𝑅)
ornglmullt.0 0 = (0g𝑅)
ornglmullt.1 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (𝜑𝑋𝐵)
ornglmullt.3 (𝜑𝑌𝐵)
ornglmullt.4 (𝜑𝑍𝐵)
orngmulle.l = (le‘𝑅)
orngmulle.5 (𝜑𝑋 𝑌)
orngmulle.6 (𝜑0 𝑍)
Assertion
Ref Expression
orngrmulle (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmulle
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
2 orngogrp 33311 . . . . 5 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ oGrp)
4 isogrp 33062 . . . . 5 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ oMnd)
7 orngring 33310 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 ringgrp 20256 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
11 ornglmullt.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 ornglmullt.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1311, 12grpidcl 18996 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
1410, 13syl 17 . . 3 (𝜑0𝐵)
15 ornglmullt.3 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
16 ornglmullt.4 . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
17 ornglmullt.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
1811, 17ringcl 20268 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
198, 15, 16, 18syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
20 ornglmullt.2 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
2111, 17ringcl 20268 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
228, 20, 16, 21syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23 eqid 2735 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g𝑅)
2411, 23grpsubcl 19051 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
2510, 19, 22, 24syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
2611, 23grpsubcl 19051 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
2710, 15, 20, 26syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
2811, 12, 23grpsubid 19055 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(-g𝑅)𝑋) = 0 )
2910, 20, 28syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(-g𝑅)𝑋) = 0 )
30 orngmulle.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 𝑌)
31 orngmulle.l . . . . . . . 8 = (le‘𝑅)
3211, 31, 23ogrpsub 33076 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋(-g𝑅)𝑋) (𝑌(-g𝑅)𝑋))
333, 20, 15, 20, 30, 32syl131anc 1382 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(-g𝑅)𝑋) (𝑌(-g𝑅)𝑋))
3429, 33eqbrtrrd 5172 . . . . 5 (𝜑0 (𝑌(-g𝑅)𝑋))
35 orngmulle.6 . . . . 5 (𝜑0 𝑍)
3611, 31, 12, 17orngmul 33313 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ ((𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵0 (𝑌(-g𝑅)𝑋)) ∧ (𝑍𝐵0 𝑍)) → 0 ((𝑌(-g𝑅)𝑋) · 𝑍))
371, 27, 34, 16, 35, 36syl122anc 1378 . . . 4 (𝜑0 ((𝑌(-g𝑅)𝑋) · 𝑍))
3811, 17, 23, 8, 15, 20, 16ringsubdir 20322 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌(-g𝑅)𝑋) · 𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
3937, 38breqtrd 5174 . . 3 (𝜑0 ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
40 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4111, 31, 40omndadd 33066 . . 3 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0𝐵 ∧ ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) ∧ 0 ((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) (((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
426, 14, 25, 22, 39, 41syl131anc 1382 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) (((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
4311, 40, 12grplid 18998 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
4410, 22, 43syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
4511, 40, 23grpnpcan 19063 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
4610, 19, 22, 45syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (((𝑌 · 𝑍)(-g𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
4742, 44, 463brtr3d 5179 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  lecple 17305  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  Ringcrg 20251  oMndcomnd 33057  oGrpcogrp 33058  oRingcorng 33305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-omnd 33059  df-ogrp 33060  df-orng 33307
This theorem is referenced by:  orngrmullt  33318
  Copyright terms: Public domain W3C validator