Theorem orngrmulle 33291

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
orngmulle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmulle.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
orngmulle.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
orngrmulle	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngogrp 33286	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oGrp)
4		isogrp 33023	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
5	4	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oMnd)
7		orngring 33285	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringgrp 20154	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
11		ornglmullt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		ornglmullt.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	grpidcl 18904	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15		ornglmullt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		ornglmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17		ornglmullt.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	ringcl 20166	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
19	8, 15, 16, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
20		ornglmullt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	11, 17	ringcl 20166	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
22	8, 20, 16, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	11, 23	grpsubcl 18959	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
25	10, 19, 22, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵)
26	11, 23	grpsubcl 18959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
27	10, 15, 20, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
28	11, 12, 23	grpsubid 18963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
29	10, 20, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
30		orngmulle.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
31		orngmulle.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
32	11, 31, 23	ogrpsub 33037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
33	3, 20, 15, 20, 30, 32	syl131anc 1385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
34	29, 33	eqbrtrrd 5134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
35		orngmulle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
36	11, 31, 12, 17	orngmul 33288	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑍)) → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
37	1, 27, 34, 16, 35, 36	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍))
38	11, 17, 23, 8, 15, 20, 16	ringsubdir 20224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) · 𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
39	37, 38	breqtrd 5136	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
40		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	11, 31, 40	omndadd 33027	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
42	6, 14, 25, 22, 39, 41	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) ≤ (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
43	11, 40, 12	grplid 18906	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
44	10, 22, 43	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑋 · 𝑍))
45	11, 40, 23	grpnpcan 18971	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
46	10, 19, 22, 45	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 · 𝑍)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 𝑍))
47	42, 44, 46	3brtr3d 5141	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≤ (𝑌 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  lecple 17234  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874  Ringcrg 20149  oMndcomnd 33018  oGrpcogrp 33019  oRingcorng 33280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-omnd 33020  df-ogrp 33021  df-orng 33282

This theorem is referenced by:  orngrmullt  33293