Theorem ornglmulle 33283

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
orngmulle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmulle.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
orngmulle.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ornglmulle	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≤ (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngogrp 33279	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oGrp)
4		isogrp 33016	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
5	4	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oMnd)
7		orngring 33278	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringgrp 20147	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
11		ornglmullt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		ornglmullt.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	grpidcl 18897	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15		ornglmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
16		ornglmullt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17		ornglmullt.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	ringcl 20159	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
19	8, 15, 16, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20		ornglmullt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	11, 17	ringcl 20159	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	8, 15, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	11, 23	grpsubcl 18952	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
25	10, 19, 22, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
26		orngmulle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
27	11, 23	grpsubcl 18952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
28	10, 16, 20, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
29	11, 12, 23	grpsubid 18956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
30	10, 20, 29	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
31		orngmulle.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
32		orngmulle.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
33	11, 32, 23	ogrpsub 33030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
34	3, 20, 16, 20, 31, 33	syl131anc 1385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
35	30, 34	eqbrtrrd 5131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
36	11, 32, 12, 17	orngmul 33281	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑍) ∧ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))) → 0 ≤ (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)))
37	1, 15, 26, 28, 35, 36	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)))
38	11, 17, 23, 8, 15, 16, 20	ringsubdi 20216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)) = ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
39	37, 38	breqtrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
40		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	11, 32, 40	omndadd 33020	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ≤ (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
42	6, 14, 25, 22, 39, 41	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ≤ (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
43	11, 40, 12	grplid 18899	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
44	10, 22, 43	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
45	11, 40, 23	grpnpcan 18964	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
46	10, 19, 22, 45	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
47	42, 44, 46	3brtr3d 5138	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≤ (𝑍 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  lecple 17227  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  Ringcrg 20142  oMndcomnd 33011  oGrpcogrp 33012  oRingcorng 33273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-omnd 33013  df-ogrp 33014  df-orng 33275

This theorem is referenced by:  ornglmullt  33285