Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ornglmulle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ornglmulle 32926
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ornglmullt.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
ornglmullt.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
ornglmullt.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ornglmullt.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ornglmullt.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
orngmulle.l ≀ = (leβ€˜π‘…)
orngmulle.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
orngmulle.6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ornglmulle (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ≀ (𝑍 Β· π‘Œ))
Proof of Theorem ornglmulle
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
2 orngogrp 32922 . . . . 5 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ oGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oGrp)
4 isogrp 32726 . . . . 5 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ oGrp β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
7 orngring 32921 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 ringgrp 20143 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
11 ornglmullt.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
12 ornglmullt.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
1311, 12grpidcl 18895 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
1410, 13syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
15 ornglmullt.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
16 ornglmullt.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
17 ornglmullt.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
1811, 17ringcl 20155 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
198, 15, 16, 18syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
20 ornglmullt.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2111, 17ringcl 20155 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
228, 15, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
23 eqid 2726 . . . . 5 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
2411, 23grpsubcl 18948 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ∈ 𝐡)
2510, 19, 22, 24syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ∈ 𝐡)
26 orngmulle.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑍)
2711, 23grpsubcl 18948 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) ∈ 𝐡)
2810, 16, 20, 27syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) ∈ 𝐡)
2911, 12, 23grpsubid 18952 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) = 0 )
3010, 20, 29syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) = 0 )
31 orngmulle.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
32 orngmulle.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜π‘…)
3311, 32, 23ogrpsub 32740 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))
343, 20, 16, 20, 31, 33syl131anc 1380 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))
3530, 34eqbrtrrd 5165 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))
3611, 32, 12, 17orngmul 32924 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝑍) ∧ ((π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))) β†’ 0 ≀ (𝑍 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋)))
371, 15, 26, 28, 35, 36syl122anc 1376 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑍 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋)))
3811, 17, 23, 8, 15, 16, 20ringsubdi 20206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋)) = ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)))
3937, 38breqtrd 5167 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)))
40 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4111, 32, 40omndadd 32730 . . 3 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ≀ (((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)))
426, 14, 25, 22, 39, 41syl131anc 1380 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ≀ (((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)))
4311, 40, 12grplid 18897 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) = (𝑍 Β· 𝑋))
4410, 22, 43syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) = (𝑍 Β· 𝑋))
4511, 40, 23grpnpcan 18960 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) = (𝑍 Β· π‘Œ))
4610, 19, 22, 45syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) = (𝑍 Β· π‘Œ))
4742, 44, 463brtr3d 5172 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ≀ (𝑍 Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  lecple 17213  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  Ringcrg 20138  oMndcomnd 32721  oGrpcogrp 32722  oRingcorng 32916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-omnd 32723  df-ogrp 32724  df-orng 32918
This theorem is referenced by:  ornglmullt  32928
  Copyright terms: Public domain W3C validator