Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ornglmulle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ornglmulle 30871
 Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t · = (.r𝑅)
ornglmullt.0 0 = (0g𝑅)
ornglmullt.1 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (𝜑𝑋𝐵)
ornglmullt.3 (𝜑𝑌𝐵)
ornglmullt.4 (𝜑𝑍𝐵)
orngmulle.l = (le‘𝑅)
orngmulle.5 (𝜑𝑋 𝑌)
orngmulle.6 (𝜑0 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ornglmulle (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmulle
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
2 orngogrp 30867 . . . . 5 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ oGrp)
4 isogrp 30696 . . . . 5 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
54simprbi 499 . . . 4 (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ oMnd)
7 orngring 30866 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 ringgrp 19294 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
11 ornglmullt.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 ornglmullt.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1311, 12grpidcl 18123 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
1410, 13syl 17 . . 3 (𝜑0𝐵)
15 ornglmullt.4 . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
16 ornglmullt.3 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
17 ornglmullt.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
1811, 17ringcl 19303 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑌𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
198, 15, 16, 18syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20 ornglmullt.2 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
2111, 17ringcl 19303 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑋𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
228, 15, 20, 21syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23 eqid 2819 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g𝑅)
2411, 23grpsubcl 18171 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
2510, 19, 22, 24syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
26 orngmulle.6 . . . . 5 (𝜑0 𝑍)
2711, 23grpsubcl 18171 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
2810, 16, 20, 27syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
2911, 12, 23grpsubid 18175 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(-g𝑅)𝑋) = 0 )
3010, 20, 29syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(-g𝑅)𝑋) = 0 )
31 orngmulle.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 𝑌)
32 orngmulle.l . . . . . . . 8 = (le‘𝑅)
3311, 32, 23ogrpsub 30710 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋(-g𝑅)𝑋) (𝑌(-g𝑅)𝑋))
343, 20, 16, 20, 31, 33syl131anc 1378 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(-g𝑅)𝑋) (𝑌(-g𝑅)𝑋))
3530, 34eqbrtrrd 5081 . . . . 5 (𝜑0 (𝑌(-g𝑅)𝑋))
3611, 32, 12, 17orngmul 30869 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍𝐵0 𝑍) ∧ ((𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵0 (𝑌(-g𝑅)𝑋))) → 0 (𝑍 · (𝑌(-g𝑅)𝑋)))
371, 15, 26, 28, 35, 36syl122anc 1374 . . . 4 (𝜑0 (𝑍 · (𝑌(-g𝑅)𝑋)))
3811, 17, 23, 8, 15, 16, 20ringsubdi 19341 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 · (𝑌(-g𝑅)𝑋)) = ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
3937, 38breqtrd 5083 . . 3 (𝜑0 ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
40 eqid 2819 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4111, 32, 40omndadd 30700 . . 3 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0𝐵 ∧ ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))) → ( 0 (+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) (((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
426, 14, 25, 22, 39, 41syl131anc 1378 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) (((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
4311, 40, 12grplid 18125 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
4410, 22, 43syl2anc 586 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
4511, 40, 23grpnpcan 18183 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
4610, 19, 22, 45syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → (((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
4742, 44, 463brtr3d 5088 1 (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) (𝑍 · 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  lecple 16564  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097  Ringcrg 19289  oMndcomnd 30691  oGrpcogrp 30692  oRingcorng 30861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-omnd 30693  df-ogrp 30694  df-orng 30863 This theorem is referenced by:  ornglmullt  30873
 Copyright terms: Public domain W3C validator