Theorem ornglmulle 20842

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
orngmulle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmulle.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
orngmulle.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ornglmulle	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≤ (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngogrp 20838	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oGrp)
4		isogrp 20093	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
5	4	simprbi 499	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oMnd)
7		orngring 20837	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringgrp 20213	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
11		ornglmullt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		ornglmullt.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	grpidcl 18936	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15		ornglmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
16		ornglmullt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17		ornglmullt.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	ringcl 20225	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
19	8, 15, 16, 18	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20		ornglmullt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	11, 17	ringcl 20225	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	8, 15, 20, 21	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	11, 23	grpsubcl 18991	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
25	10, 19, 22, 24	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
26		orngmulle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
27	11, 23	grpsubcl 18991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
28	10, 16, 20, 27	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
29	11, 12, 23	grpsubid 18995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
30	10, 20, 29	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
31		orngmulle.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
32		orngmulle.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
33	11, 32, 23	ogrpsub 20106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
34	3, 20, 16, 20, 31, 33	syl131anc 1392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
35	30, 34	eqbrtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
36	11, 32, 12, 17	orngmul 20840	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑍) ∧ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))) → 0 ≤ (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)))
37	1, 15, 26, 28, 35, 36	syl122anc 1388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)))
38	11, 17, 23, 8, 15, 16, 20	ringsubdi 20282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)) = ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
39	37, 38	breqtrd 5100	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
40		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	11, 32, 40	omndadd 20097	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ≤ (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
42	6, 14, 25, 22, 39, 41	syl131anc 1392	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ≤ (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
43	11, 40, 12	grplid 18938	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
44	10, 22, 43	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
45	11, 40, 23	grpnpcan 19003	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
46	10, 19, 22, 45	syl3anc 1380	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
47	42, 44, 46	3brtr3d 5105	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≤ (𝑍 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  lecple 17222  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  -_gcsg 18906  oMndcomnd 20088  oGrpcogrp 20089  Ringcrg 20208  oRingcorng 20832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-omnd 20090  df-ogrp 20091  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-orng 20834

This theorem is referenced by:  ornglmullt  20844