Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ornglmulle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ornglmulle 33068
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ornglmullt.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
ornglmullt.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
ornglmullt.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ornglmullt.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ornglmullt.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
orngmulle.l ≀ = (leβ€˜π‘…)
orngmulle.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
orngmulle.6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ornglmulle (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ≀ (𝑍 Β· π‘Œ))
Proof of Theorem ornglmulle
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
2 orngogrp 33064 . . . . 5 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ oGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oGrp)
4 isogrp 32827 . . . . 5 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
54simprbi 495 . . . 4 (𝑅 ∈ oGrp β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
7 orngring 33063 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 ringgrp 20182 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
11 ornglmullt.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
12 ornglmullt.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
1311, 12grpidcl 18926 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
1410, 13syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
15 ornglmullt.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
16 ornglmullt.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
17 ornglmullt.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
1811, 17ringcl 20194 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
198, 15, 16, 18syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
20 ornglmullt.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2111, 17ringcl 20194 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
228, 15, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
23 eqid 2725 . . . . 5 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
2411, 23grpsubcl 18980 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ∈ 𝐡)
2510, 19, 22, 24syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ∈ 𝐡)
26 orngmulle.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑍)
2711, 23grpsubcl 18980 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) ∈ 𝐡)
2810, 16, 20, 27syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) ∈ 𝐡)
2911, 12, 23grpsubid 18984 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) = 0 )
3010, 20, 29syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) = 0 )
31 orngmulle.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
32 orngmulle.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜π‘…)
3311, 32, 23ogrpsub 32841 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))
343, 20, 16, 20, 31, 33syl131anc 1380 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘…)𝑋) ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))
3530, 34eqbrtrrd 5167 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))
3611, 32, 12, 17orngmul 33066 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝑍) ∧ ((π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋))) β†’ 0 ≀ (𝑍 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋)))
371, 15, 26, 28, 35, 36syl122anc 1376 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑍 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋)))
3811, 17, 23, 8, 15, 16, 20ringsubdi 20247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘…)𝑋)) = ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)))
3937, 38breqtrd 5169 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)))
40 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4111, 32, 40omndadd 32831 . . 3 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ ((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ≀ (((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)))
426, 14, 25, 22, 39, 41syl131anc 1380 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) ≀ (((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)))
4311, 40, 12grplid 18928 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) = (𝑍 Β· 𝑋))
4410, 22, 43syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) = (𝑍 Β· 𝑋))
4511, 40, 23grpnpcan 18992 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) = (𝑍 Β· π‘Œ))
4610, 19, 22, 45syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑍 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘…)(𝑍 Β· 𝑋)) = (𝑍 Β· π‘Œ))
4742, 44, 463brtr3d 5174 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ≀ (𝑍 Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  lecple 17239  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  -gcsg 18896  Ringcrg 20177  oMndcomnd 32822  oGrpcogrp 32823  oRingcorng 33058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-omnd 32824  df-ogrp 32825  df-orng 33060
This theorem is referenced by:  ornglmullt  33070
  Copyright terms: Public domain W3C validator