Theorem ornglmulle 20846

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
orngmulle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmulle.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
orngmulle.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ornglmulle	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≤ (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngogrp 20842	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oGrp)
4		isogrp 20097	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
5	4	simprbi 498	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oMnd)
7		orngring 20841	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringgrp 20217	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
11		ornglmullt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		ornglmullt.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	grpidcl 18939	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15		ornglmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
16		ornglmullt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17		ornglmullt.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	ringcl 20229	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
19	8, 15, 16, 18	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20		ornglmullt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	11, 17	ringcl 20229	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	8, 15, 20, 21	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	11, 23	grpsubcl 18994	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
25	10, 19, 22, 24	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
26		orngmulle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
27	11, 23	grpsubcl 18994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
28	10, 16, 20, 27	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
29	11, 12, 23	grpsubid 18998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
30	10, 20, 29	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
31		orngmulle.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
32		orngmulle.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
33	11, 32, 23	ogrpsub 20110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
34	3, 20, 16, 20, 31, 33	syl131anc 1391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
35	30, 34	eqbrtrrd 5103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
36	11, 32, 12, 17	orngmul 20844	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑍) ∧ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))) → 0 ≤ (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)))
37	1, 15, 26, 28, 35, 36	syl122anc 1387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)))
38	11, 17, 23, 8, 15, 16, 20	ringsubdi 20286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)) = ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
39	37, 38	breqtrd 5105	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
40		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	11, 32, 40	omndadd 20101	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ≤ (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
42	6, 14, 25, 22, 39, 41	syl131anc 1391	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ≤ (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
43	11, 40, 12	grplid 18941	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
44	10, 22, 43	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
45	11, 40, 23	grpnpcan 19006	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
46	10, 19, 22, 45	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
47	42, 44, 46	3brtr3d 5110	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≤ (𝑍 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  lecple 17225  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  -_gcsg 18909  oMndcomnd 20092  oGrpcogrp 20093  Ringcrg 20212  oRingcorng 20836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-omnd 20094  df-ogrp 20095  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-orng 20838

This theorem is referenced by:  ornglmullt  20848