Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ornglmulle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ornglmulle 33015
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t · = (.r𝑅)
ornglmullt.0 0 = (0g𝑅)
ornglmullt.1 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (𝜑𝑋𝐵)
ornglmullt.3 (𝜑𝑌𝐵)
ornglmullt.4 (𝜑𝑍𝐵)
orngmulle.l = (le‘𝑅)
orngmulle.5 (𝜑𝑋 𝑌)
orngmulle.6 (𝜑0 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ornglmulle (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmulle
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
2 orngogrp 33011 . . . . 5 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ oGrp)
4 isogrp 32777 . . . . 5 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ oMnd)
7 orngring 33010 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 ringgrp 20172 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
11 ornglmullt.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 ornglmullt.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1311, 12grpidcl 18916 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
1410, 13syl 17 . . 3 (𝜑0𝐵)
15 ornglmullt.4 . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
16 ornglmullt.3 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
17 ornglmullt.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
1811, 17ringcl 20184 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑌𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
198, 15, 16, 18syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20 ornglmullt.2 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
2111, 17ringcl 20184 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑋𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
228, 15, 20, 21syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23 eqid 2728 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g𝑅)
2411, 23grpsubcl 18970 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
2510, 19, 22, 24syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
26 orngmulle.6 . . . . 5 (𝜑0 𝑍)
2711, 23grpsubcl 18970 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
2810, 16, 20, 27syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
2911, 12, 23grpsubid 18974 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(-g𝑅)𝑋) = 0 )
3010, 20, 29syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(-g𝑅)𝑋) = 0 )
31 orngmulle.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 𝑌)
32 orngmulle.l . . . . . . . 8 = (le‘𝑅)
3311, 32, 23ogrpsub 32791 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋(-g𝑅)𝑋) (𝑌(-g𝑅)𝑋))
343, 20, 16, 20, 31, 33syl131anc 1381 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(-g𝑅)𝑋) (𝑌(-g𝑅)𝑋))
3530, 34eqbrtrrd 5167 . . . . 5 (𝜑0 (𝑌(-g𝑅)𝑋))
3611, 32, 12, 17orngmul 33013 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍𝐵0 𝑍) ∧ ((𝑌(-g𝑅)𝑋) ∈ 𝐵0 (𝑌(-g𝑅)𝑋))) → 0 (𝑍 · (𝑌(-g𝑅)𝑋)))
371, 15, 26, 28, 35, 36syl122anc 1377 . . . 4 (𝜑0 (𝑍 · (𝑌(-g𝑅)𝑋)))
3811, 17, 23, 8, 15, 16, 20ringsubdi 20237 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 · (𝑌(-g𝑅)𝑋)) = ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
3937, 38breqtrd 5169 . . 3 (𝜑0 ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
40 eqid 2728 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4111, 32, 40omndadd 32781 . . 3 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0𝐵 ∧ ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))) → ( 0 (+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) (((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
426, 14, 25, 22, 39, 41syl131anc 1381 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) (((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
4311, 40, 12grplid 18918 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
4410, 22, 43syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
4511, 40, 23grpnpcan 18982 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
4610, 19, 22, 45syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → (((𝑍 · 𝑌)(-g𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
4742, 44, 463brtr3d 5174 1 (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) (𝑍 · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  .rcmulr 17228  lecple 17234  0gc0g 17415  Grpcgrp 18884  -gcsg 18886  Ringcrg 20167  oMndcomnd 32772  oGrpcogrp 32773  oRingcorng 33005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-omnd 32774  df-ogrp 32775  df-orng 33007
This theorem is referenced by:  ornglmullt  33017
  Copyright terms: Public domain W3C validator