Theorem ogrpaddltrbid 32225

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrbid	⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem ogrpaddltrbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddlt.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ogrpaddlt.1	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐺)
3		ogrpaddlt.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		ogrpaddltrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ 𝑉)
6		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
8		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝐵)
14		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	ogrpaddltrd 32224	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
16	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
17	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
18		ogrpgrp 32208	. . . . . . 7 ⊢ ((oppg‘𝐺) ∈ oGrp → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
21	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
23		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
24		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
25	3, 23, 24	oppgplus 19207	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
26	23, 1	oppgbas 19210	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
27	26, 24	grpcl 18823	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
28	25, 27	eqeltrrid 2838	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
29	20, 21, 22, 28	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
30	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	3, 23, 24	oppgplus 19207	. . . . . 6 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
32	26, 24	grpcl 18823	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
33	31, 32	eqeltrrid 2838	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
34	20, 30, 22, 33	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
35	23	oppggrpb 19219	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
36	20, 35	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ Grp)
37		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
38	1, 37	grpinvcl 18868	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
39	36, 22, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
40		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
41	1, 2, 3, 16, 17, 29, 34, 39, 40	ogrpaddltrd 32224	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) < (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
42		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
43	1, 3, 42, 37	grplinv 18870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
44	36, 22, 43	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
45	44	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
46	1, 3	grpass 18824	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
47	36, 39, 22, 21, 46	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
48	1, 3, 42	grplid 18848	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
49	36, 21, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
50	45, 47, 49	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
51	44	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g‘𝐺) + 𝑌))
52	1, 3	grpass 18824	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
53	36, 39, 22, 30, 52	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
54	1, 3, 42	grplid 18848	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
55	36, 30, 54	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
57	41, 50, 56	3brtr3d 5178	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
58	15, 57	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  ltcplt 18257  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  opp_gcoppg 19203  oGrpcogrp 32203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-ple 17213  df-0g 17383  df-plt 18279  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-oppg 19204  df-omnd 32204  df-ogrp 32205

This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  32228