Theorem ogrpaddltrbid 33034

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrbid	⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem ogrpaddltrbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddlt.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ogrpaddlt.1	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐺)
3		ogrpaddlt.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		ogrpaddltrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ 𝑉)
6		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
8		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝐵)
14		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	ogrpaddltrd 33033	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
16	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
17	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
18		ogrpgrp 33017	. . . . . . 7 ⊢ ((oppg‘𝐺) ∈ oGrp → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
21	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
23		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
24		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
25	3, 23, 24	oppgplus 19281	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
26	23, 1	oppgbas 19283	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
27	26, 24	grpcl 18873	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
28	25, 27	eqeltrrid 2833	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
29	20, 21, 22, 28	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
30	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	3, 23, 24	oppgplus 19281	. . . . . 6 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
32	26, 24	grpcl 18873	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
33	31, 32	eqeltrrid 2833	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
34	20, 30, 22, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
35	23	oppggrpb 19290	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
36	20, 35	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ Grp)
37		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
38	1, 37	grpinvcl 18919	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
39	36, 22, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
40		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
41	1, 2, 3, 16, 17, 29, 34, 39, 40	ogrpaddltrd 33033	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) < (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
42		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
43	1, 3, 42, 37	grplinv 18921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
44	36, 22, 43	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
45	44	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
46	1, 3	grpass 18874	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
47	36, 39, 22, 21, 46	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
48	1, 3, 42	grplid 18899	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
49	36, 21, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
50	45, 47, 49	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
51	44	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g‘𝐺) + 𝑌))
52	1, 3	grpass 18874	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
53	36, 39, 22, 30, 52	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
54	1, 3, 42	grplid 18899	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
55	36, 30, 54	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
57	41, 50, 56	3brtr3d 5138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
58	15, 57	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  ltcplt 18269  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  opp_gcoppg 19277  oGrpcogrp 33012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-dec 12650  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-ple 17240  df-0g 17404  df-plt 18289  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-oppg 19278  df-omnd 33013  df-ogrp 33014

This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  33037