Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltrbid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ogrpaddltrbid 33097
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1 < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2 + = (+g𝐺)
ogrpaddltrd.1 (𝜑𝐺𝑉)
ogrpaddltrd.2 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3 (𝜑𝑋𝐵)
ogrpaddltrd.4 (𝜑𝑌𝐵)
ogrpaddltrd.5 (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltrbid (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem ogrpaddltrbid
StepHypRef Expression
1 ogrpaddlt.0 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 ogrpaddlt.1 . . 3 < = (lt‘𝐺)
3 ogrpaddlt.2 . . 3 + = (+g𝐺)
4 ogrpaddltrd.1 . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐺𝑉)
6 ogrpaddltrd.2 . . . 4 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
8 ogrpaddltrd.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝐵)
10 ogrpaddltrd.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌𝐵)
12 ogrpaddltrd.5 . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑍𝐵)
14 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14ogrpaddltrd 33096 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
164adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺𝑉)
176adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
18 ogrpgrp 33080 . . . . . . 7 ((oppg𝐺) ∈ oGrp → (oppg𝐺) ∈ Grp)
196, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Grp)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg𝐺) ∈ Grp)
218adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋𝐵)
2212adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑍𝐵)
23 eqid 2737 . . . . . . 7 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
253, 23, 24oppgplus 19367 . . . . . 6 (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
2623, 1oppgbas 19370 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(oppg𝐺))
2726, 24grpcl 18959 . . . . . 6 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
2825, 27eqeltrrid 2846 . . . . 5 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
2920, 21, 22, 28syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
3010adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑌𝐵)
313, 23, 24oppgplus 19367 . . . . . 6 (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
3226, 24grpcl 18959 . . . . . 6 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
3331, 32eqeltrrid 2846 . . . . 5 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3420, 30, 22, 33syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3523oppggrpb 19377 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp ↔ (oppg𝐺) ∈ Grp)
3620, 35sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ Grp)
37 eqid 2737 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
381, 37grpinvcl 19005 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
3936, 22, 38syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
40 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
411, 2, 3, 16, 17, 29, 34, 39, 40ogrpaddltrd 33096 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) < (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
42 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
431, 3, 42, 37grplinv 19007 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g𝐺))
4436, 22, 43syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g𝐺))
4544oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
461, 3grpass 18960 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑋𝐵)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
4736, 39, 22, 21, 46syl13anc 1374 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
481, 3, 42grplid 18985 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
4936, 21, 48syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
5045, 47, 493eqtr3d 2785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
5144oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g𝐺) + 𝑌))
521, 3grpass 18960 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
5336, 39, 22, 30, 52syl13anc 1374 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
541, 3, 42grplid 18985 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
5536, 30, 54syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
5651, 53, 553eqtr3d 2785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
5741, 50, 563brtr3d 5174 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
5815, 57impbida 801 1 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  ltcplt 18354  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  oppgcoppg 19363  oGrpcogrp 33075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-ple 17317  df-0g 17486  df-plt 18375  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-oppg 19364  df-omnd 33076  df-ogrp 33077
This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  33100
  Copyright terms: Public domain W3C validator