Theorem ogrpaddltrbid 20356

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrbid	⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem ogrpaddltrbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddlt.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ogrpaddlt.1	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐺)
3		ogrpaddlt.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		ogrpaddltrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ 𝑉)
6		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
8		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝐵)
14		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	ogrpaddltrd 20355	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
16	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
17	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
18		ogrpgrp 20340	. . . . . . 7 ⊢ ((oppg‘𝐺) ∈ oGrp → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
19	6, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
21	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
24		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
25	3, 23, 24	oppgplus 19564	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
26	23, 1	oppgbas 19566	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
27	26, 24	grpcl 19153	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
28	25, 27	eqeltrrid 2865	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
29	20, 21, 22, 28	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
30	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	3, 23, 24	oppgplus 19564	. . . . . 6 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
32	26, 24	grpcl 19153	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
33	31, 32	eqeltrrid 2865	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
34	20, 30, 22, 33	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
35	23	oppggrpb 19573	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
36	20, 35	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ Grp)
37		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
38	1, 37	grpinvcl 19199	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
39	36, 22, 38	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
40		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
41	1, 2, 3, 16, 17, 29, 34, 39, 40	ogrpaddltrd 20355	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) < (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
42		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
43	1, 3, 42, 37	grplinv 19201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
44	36, 22, 43	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
45	44	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
46	1, 3	grpass 19154	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
47	36, 39, 22, 21, 46	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
48	1, 3, 42	grplid 19179	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
49	36, 21, 48	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
50	45, 47, 49	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
51	44	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g‘𝐺) + 𝑌))
52	1, 3	grpass 19154	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
53	36, 39, 22, 30, 52	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
54	1, 3, 42	grplid 19179	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
55	36, 30, 54	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
57	41, 50, 56	3brtr3d 5135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
58	15, 57	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  0_gc0g 17611  ltcplt 18483  Grpcgrp 19145  inv_gcminusg 19146  opp_gcoppg 19560  oGrpcogrp 20335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-ple 17449  df-0g 17613  df-plt 18503  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-oppg 19561  df-omnd 20336  df-ogrp 20337

This theorem is used by:  ogrpinvlt  20359