Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltrbid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ogrpaddltrbid 33080
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1 < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2 + = (+g𝐺)
ogrpaddltrd.1 (𝜑𝐺𝑉)
ogrpaddltrd.2 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3 (𝜑𝑋𝐵)
ogrpaddltrd.4 (𝜑𝑌𝐵)
ogrpaddltrd.5 (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltrbid (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem ogrpaddltrbid
StepHypRef Expression
1 ogrpaddlt.0 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 ogrpaddlt.1 . . 3 < = (lt‘𝐺)
3 ogrpaddlt.2 . . 3 + = (+g𝐺)
4 ogrpaddltrd.1 . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐺𝑉)
6 ogrpaddltrd.2 . . . 4 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
8 ogrpaddltrd.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝐵)
10 ogrpaddltrd.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌𝐵)
12 ogrpaddltrd.5 . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑍𝐵)
14 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14ogrpaddltrd 33079 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
164adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺𝑉)
176adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
18 ogrpgrp 33063 . . . . . . 7 ((oppg𝐺) ∈ oGrp → (oppg𝐺) ∈ Grp)
196, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Grp)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg𝐺) ∈ Grp)
218adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋𝐵)
2212adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑍𝐵)
23 eqid 2735 . . . . . . 7 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
24 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
253, 23, 24oppgplus 19380 . . . . . 6 (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
2623, 1oppgbas 19383 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(oppg𝐺))
2726, 24grpcl 18972 . . . . . 6 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
2825, 27eqeltrrid 2844 . . . . 5 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
2920, 21, 22, 28syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
3010adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑌𝐵)
313, 23, 24oppgplus 19380 . . . . . 6 (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
3226, 24grpcl 18972 . . . . . 6 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
3331, 32eqeltrrid 2844 . . . . 5 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3420, 30, 22, 33syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3523oppggrpb 19392 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp ↔ (oppg𝐺) ∈ Grp)
3620, 35sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ Grp)
37 eqid 2735 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
381, 37grpinvcl 19018 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
3936, 22, 38syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
40 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
411, 2, 3, 16, 17, 29, 34, 39, 40ogrpaddltrd 33079 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) < (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
42 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
431, 3, 42, 37grplinv 19020 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g𝐺))
4436, 22, 43syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g𝐺))
4544oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
461, 3grpass 18973 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑋𝐵)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
4736, 39, 22, 21, 46syl13anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
481, 3, 42grplid 18998 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
4936, 21, 48syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
5045, 47, 493eqtr3d 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
5144oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g𝐺) + 𝑌))
521, 3grpass 18973 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
5336, 39, 22, 30, 52syl13anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
541, 3, 42grplid 18998 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
5536, 30, 54syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
5651, 53, 553eqtr3d 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
5741, 50, 563brtr3d 5179 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
5815, 57impbida 801 1 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  ltcplt 18366  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  oppgcoppg 19376  oGrpcogrp 33058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-ple 17318  df-0g 17488  df-plt 18388  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-oppg 19377  df-omnd 33059  df-ogrp 33060
This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  33083
  Copyright terms: Public domain W3C validator