Theorem ogrpaddltrbid 30885

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrbid	⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem ogrpaddltrbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddlt.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ogrpaddlt.1	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐺)
3		ogrpaddlt.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		ogrpaddltrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ 𝑉)
6		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
8		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝐵)
14		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	ogrpaddltrd 30884	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
16	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
17	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
18		ogrpgrp 30868	. . . . . . 7 ⊢ ((oppg‘𝐺) ∈ oGrp → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
20	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
21	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
23		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
24		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
25	3, 23, 24	oppgplus 18558	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
26	23, 1	oppgbas 18560	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
27	26, 24	grpcl 18191	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
28	25, 27	eqeltrrid 2857	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
29	20, 21, 22, 28	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
30	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	3, 23, 24	oppgplus 18558	. . . . . 6 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
32	26, 24	grpcl 18191	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
33	31, 32	eqeltrrid 2857	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
34	20, 30, 22, 33	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
35	23	oppggrpb 18567	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
36	20, 35	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ Grp)
37		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
38	1, 37	grpinvcl 18232	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
39	36, 22, 38	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
40		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
41	1, 2, 3, 16, 17, 29, 34, 39, 40	ogrpaddltrd 30884	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) < (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
42		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
43	1, 3, 42, 37	grplinv 18233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
44	36, 22, 43	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
45	44	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
46	1, 3	grpass 18192	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
47	36, 39, 22, 21, 46	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
48	1, 3, 42	grplid 18214	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
49	36, 21, 48	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
50	45, 47, 49	3eqtr3d 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
51	44	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g‘𝐺) + 𝑌))
52	1, 3	grpass 18192	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
53	36, 39, 22, 30, 52	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
54	1, 3, 42	grplid 18214	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
55	36, 30, 54	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
57	41, 50, 56	3brtr3d 5067	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
58	15, 57	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16555  +_gcplusg 16637  0_gc0g 16785  ltcplt 17631  Grpcgrp 18183  inv_gcminusg 18184  opp_gcoppg 18554  oGrpcogrp 30863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-dec 12151  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-plusg 16650  df-ple 16657  df-0g 16787  df-plt 17648  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-oppg 18555  df-omnd 30864  df-ogrp 30865

This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  30888