Theorem ogrpaddltrbid 20074

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrbid	⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem ogrpaddltrbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddlt.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ogrpaddlt.1	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐺)
3		ogrpaddlt.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		ogrpaddltrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ 𝑉)
6		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
8		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝐵)
14		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	ogrpaddltrd 20073	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
16	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
17	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
18		ogrpgrp 20058	. . . . . . 7 ⊢ ((oppg‘𝐺) ∈ oGrp → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
21	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
25	3, 23, 24	oppgplus 19282	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
26	23, 1	oppgbas 19284	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
27	26, 24	grpcl 18875	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
28	25, 27	eqeltrrid 2842	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
29	20, 21, 22, 28	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
30	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	3, 23, 24	oppgplus 19282	. . . . . 6 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
32	26, 24	grpcl 18875	. . . . . 6 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
33	31, 32	eqeltrrid 2842	. . . . 5 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
34	20, 30, 22, 33	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
35	23	oppggrpb 19291	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (oppg‘𝐺) ∈ Grp)
36	20, 35	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ Grp)
37		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
38	1, 37	grpinvcl 18921	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
39	36, 22, 38	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
40		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
41	1, 2, 3, 16, 17, 29, 34, 39, 40	ogrpaddltrd 20073	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) < (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
42		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
43	1, 3, 42, 37	grplinv 18923	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
44	36, 22, 43	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g‘𝐺))
45	44	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
46	1, 3	grpass 18876	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
47	36, 39, 22, 21, 46	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
48	1, 3, 42	grplid 18901	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
49	36, 21, 48	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
50	45, 47, 49	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
51	44	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g‘𝐺) + 𝑌))
52	1, 3	grpass 18876	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
53	36, 39, 22, 30, 52	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
54	1, 3, 42	grplid 18901	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
55	36, 30, 54	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg‘𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
57	41, 50, 56	3brtr3d 5117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
58	15, 57	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  0_gc0g 17360  ltcplt 18232  Grpcgrp 18867  inv_gcminusg 18868  opp_gcoppg 19278  oGrpcogrp 20053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-dec 12609  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-plusg 17191  df-ple 17198  df-0g 17362  df-plt 18252  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-oppg 19279  df-omnd 20054  df-ogrp 20055

This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  20077