Theorem om2noseq0 28227

Description: The mapping 𝐺 is a one-to-one mapping from ω onto a countable sequence of surreals that will be used to show the properties of seq_s. This theorem shows the value of 𝐺 at ordinal zero. Compare the series of theorems starting at om2uz0i 13854. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseq0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

Proof of Theorem om2noseq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
2	1	fveq1d 6824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅))
3		om2noseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		fr0g 8355	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ No → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅) = 𝐶)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅) = 𝐶)
6	2, 5	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283   ↦ cmpt 5172   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796  reccrdg 8328   No csur 27579   1_s c1s 27768   +_s cadds 27903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329

This theorem is referenced by:  om2noseqrdg  28235