Theorem om2noseq0 28694

Description: The mapping 𝐺 is a one-to-one mapping from ω onto a countable sequence of surreals that will be used to show the properties of seq_s. This theorem shows the value of 𝐺 at ordinal zero. Compare the series of theorems starting at om2uz0i 14100. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseq0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

Proof of Theorem om2noseq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
2	1	fveq1d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅))
3		om2noseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
4		fr0g 8455	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ No → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅) = 𝐶)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅) = 𝐶)
6	2, 5	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453  ∅c0 4280   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5656  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ωcom 7884  reccrdg 8428  Nocsur 28009   1_s c1s 28204   +_s cadds 28357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429

This theorem is used by:  om2noseqrdg  28702