Theorem om2noseq0 28451

Description: The mapping 𝐺 is a one-to-one mapping from ω onto a countable sequence of surreals that will be used to show the properties of seq_s. This theorem shows the value of 𝐺 at ordinal zero. Compare the series of theorems starting at om2uz0i 13979. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseq0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

Proof of Theorem om2noseq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
2	1	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅))
3		om2noseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		fr0g 8419	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ No → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅) = 𝐶)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅) = 𝐶)
6	2, 5	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294   ↦ cmpt 5193   ↾ cres 5661  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ωcom 7858  reccrdg 8392   No csur 27766   1_s c1s 27961   +_s cadds 28114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393

This theorem is referenced by:  om2noseqrdg  28459