Theorem om2noseq0 28489

Description: The mapping 𝐺 is a one-to-one mapping from ω onto a countable sequence of surreals that will be used to show the properties of seq_s. This theorem shows the value of 𝐺 at ordinal zero. Compare the series of theorems starting at om2uz0i 13979. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseq0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

Proof of Theorem om2noseq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
2	1	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅))
3		om2noseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		fr0g 8419	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ No → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅) = 𝐶)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω)‘∅) = 𝐶)
6	2, 5	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858  reccrdg 8392   No csur 27804   1_s c1s 27999   +_s cadds 28152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393

This theorem is referenced by:  om2noseqrdg  28497