Theorem fr0g 8355

Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
fr0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fr0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7819	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		fvres 6841	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅)
4		rdg0g 8346	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280   ↾ cres 5616  ‘cfv 6481  ωcom 7796  reccrdg 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329

This theorem is referenced by:  unblem2  9177  dffi3  9315  inf0  9511  inf3lemb  9515  trcl  9618  alephfplem1  9995  infpssrlem1  10194  fin23lem34  10237  ituni0  10309  hsmexlem7  10314  axdclem2  10411  wunex2  10629  wuncval2  10638  peano5nni  12128  1nn  12136  om2uz0i  13854  om2uzrdg  13863  uzrdg0i  13866  noseq0  28220  noseqind  28222  om2noseq0  28226  om2noseqrdg  28234  noseqrdg0  28237  dfnns2  28297  neibastop2lem  36404  orbitinit  45059