MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fr0g 7735
Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
fr0g (𝐴𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fr0g
StepHypRef Expression
1 peano1 7283 . . 3 ∅ ∈ ω
2 fvres 6394 . . 3 (∅ ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
31, 2ax-mp 5 . 2 ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅)
4 rdg0g 7727 . 2 (𝐴𝐵 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
53, 4syl5eq 2811 1 (𝐴𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  c0 4079  cres 5279  cfv 6068  ωcom 7263  reccrdg 7709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710
This theorem is referenced by:  unblem2  8420  dffi3  8544  inf0  8733  inf3lemb  8737  trcl  8819  alephfplem1  9178  infpssrlem1  9378  fin23lem34  9421  ituni0  9493  hsmexlem7  9498  axdclem2  9595  wunex2  9813  wuncval2  9822  peano5nni  11277  1nn  11287  om2uz0i  12954  om2uzrdg  12963  uzrdg0i  12966  trpredlem1  32102  trpredpred  32103  trpredmintr  32106  trpred0  32111  trpredrec  32113  neibastop2lem  32730  cnfin0  33605  cnfinltrel  33606
  Copyright terms: Public domain W3C validator