Theorem fr0g 8365

Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
fr0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fr0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7829	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		fvres 6851	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅)
4		rdg0g 8356	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrid 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  ωcom 7806  reccrdg 8338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339

This theorem is referenced by:  unblem2  9191  dffi3  9332  inf0  9528  inf3lemb  9532  trcl  9635  alephfplem1  10012  infpssrlem1  10211  fin23lem34  10254  ituni0  10326  hsmexlem7  10331  axdclem2  10428  wunex2  10647  wuncval2  10656  peano5nni  12146  1nn  12154  om2uz0i  13868  om2uzrdg  13877  uzrdg0i  13880  noseq0  28251  noseqind  28253  om2noseq0  28257  om2noseqrdg  28265  noseqrdg0  28268  dfnns2  28330  neibastop2lem  36503  orbitinit  45139