Theorem fr0g 8366

Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
fr0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fr0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7830	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		fvres 6847	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅)
4		rdg0g 8357	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrid 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4262   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  ωcom 7807  reccrdg 8339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340

This theorem is referenced by:  unblem2  9194  dffi3  9335  inf0  9534  inf3lemb  9538  trcl  9641  alephfplem1  10018  infpssrlem1  10217  fin23lem34  10260  ituni0  10332  hsmexlem7  10337  axdclem2  10434  wunex2  10653  wuncval2  10662  peano5nni  12169  1nn  12177  om2uz0i  13901  om2uzrdg  13910  uzrdg0i  13913  noseq0  28301  noseqind  28303  om2noseq0  28307  om2noseqrdg  28315  noseqrdg0  28318  dfnns2  28383  neibastop2lem  36597  mh-inf3f1  36778  orbitinit  45409