Theorem fr0g 8492

Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
fr0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fr0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7927	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		fvres 6939	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅)
4		rdg0g 8483	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  ωcom 7903  reccrdg 8465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466

This theorem is referenced by:  unblem2  9357  dffi3  9500  inf0  9690  inf3lemb  9694  trcl  9797  alephfplem1  10173  infpssrlem1  10372  fin23lem34  10415  ituni0  10487  hsmexlem7  10492  axdclem2  10589  wunex2  10807  wuncval2  10816  peano5nni  12296  1nn  12304  om2uz0i  13998  om2uzrdg  14007  uzrdg0i  14010  noseq0  28314  noseqind  28316  om2noseq0  28320  om2noseqrdg  28328  noseqrdg0  28331  dfnns2  28380  neibastop2lem  36326