Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 484 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β πΎ β HL) |
2 | | simpr2 1196 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
3 | | simpr1 1195 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΄) |
4 | | atmod.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | atmod.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
6 | | atmod.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(pmapβπΎ) =
(pmapβπΎ) |
8 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(+πβπΎ) = (+πβπΎ) |
9 | 4, 5, 6, 7, 8 | pmapjat1 38319 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β ((pmapβπΎ)β(π β¨ π)) = (((pmapβπΎ)βπ)(+πβπΎ)((pmapβπΎ)βπ))) |
10 | 1, 2, 3, 9 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β ((pmapβπΎ)β(π β¨ π)) = (((pmapβπΎ)βπ)(+πβπΎ)((pmapβπΎ)βπ))) |
11 | 4, 6 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
12 | 3, 11 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
13 | | simpr3 1197 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
14 | | atmod.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
15 | | atmod.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | 4, 14, 5, 15, 7, 8 | hlmod1i 38322 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β€ π β§ ((pmapβπΎ)β(π β¨ π)) = (((pmapβπΎ)βπ)(+πβπΎ)((pmapβπΎ)βπ))) β ((π β¨ π) β§ π) = (π β¨ (π β§ π)))) |
17 | 1, 2, 12, 13, 16 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β€ π β§ ((pmapβπΎ)β(π β¨ π)) = (((pmapβπΎ)βπ)(+πβπΎ)((pmapβπΎ)βπ))) β ((π β¨ π) β§ π) = (π β¨ (π β§ π)))) |
18 | 10, 17 | mpan2d 693 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β€ π β ((π β¨ π) β§ π) = (π β¨ (π β§ π)))) |
19 | 18 | 3impia 1118 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β ((π β¨ π) β§ π) = (π β¨ (π β§ π))) |
20 | 19 | eqcomd 2743 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β (π β¨ (π β§ π)) = ((π β¨ π) β§ π)) |