Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod1i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod1i2 39360
Description: Version of modular law pmod1i 39349 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod1i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ))

Proof of Theorem atmod1i2
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 atmod.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 atmod.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (pmapβ€˜πΎ) = (pmapβ€˜πΎ)
8 eqid 2725 . . . . . 6 (+π‘ƒβ€˜πΎ) = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
94, 5, 6, 7, 8pmapjat1 39354 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(+π‘ƒβ€˜πΎ)((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘ƒ)))
101, 2, 3, 9syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(+π‘ƒβ€˜πΎ)((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘ƒ)))
114, 6atbase 38789 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
123, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
13 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14 atmod.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 atmod.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
164, 14, 5, 15, 7, 8hlmod1i 39357 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(+π‘ƒβ€˜πΎ)((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Œ))))
171, 2, 12, 13, 16syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ 𝑃)) = (((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(+π‘ƒβ€˜πΎ)((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Œ))))
1810, 17mpan2d 692 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Œ))))
19183impia 1114 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Œ)))
2019eqcomd 2731 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (𝑃 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  lecple 17237  joincjn 18300  meetcmee 18301  Atomscatm 38763  HLchlt 38850  pmapcpmap 38998  +𝑃cpadd 39296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38676  df-ol 38678  df-oml 38679  df-covers 38766  df-ats 38767  df-atl 38798  df-cvlat 38822  df-hlat 38851  df-psubsp 39004  df-pmap 39005  df-padd 39297
This theorem is referenced by:  atmod2i2  39363  atmod3i2  39366  atmod4i2  39368  lhpmod2i2  39539  dihmeetlem7N  40811  dihjatc1  40812
  Copyright terms: Public domain W3C validator