Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod1i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod1i2 37873
Description: Version of modular law pmod1i 37862 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod1i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i2
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr2 1194 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simpr1 1193 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑃𝐴)
4 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atmod.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2738 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8 eqid 2738 . . . . . 6 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
94, 5, 6, 7, 8pmapjat1 37867 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃)))
101, 2, 3, 9syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃)))
114, 6atbase 37303 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
123, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑃𝐵)
13 simpr3 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
14 atmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
15 atmod.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
164, 14, 5, 15, 7, 8hlmod1i 37870 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃))) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌))))
171, 2, 12, 13, 16syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃))) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌))))
1810, 17mpan2d 691 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌))))
19183impia 1116 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))
2019eqcomd 2744 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  joincjn 18029  meetcmee 18030  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  pmapcpmap 37511  +𝑃cpadd 37809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810
This theorem is referenced by:  atmod2i2  37876  atmod3i2  37879  atmod4i2  37881  lhpmod2i2  38052  dihmeetlem7N  39324  dihjatc1  39325
  Copyright terms: Public domain W3C validator