Theorem doch1 42217

Description: Orthocomplement of the unit subspace (all vectors). (Contributed by NM, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
doch1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })

Proof of Theorem doch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dih1rn 42145	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
7		doch1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8	6, 1, 2, 7	dochvalr 42215	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑉) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉))))
9	5, 8	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉))))
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3, 4	dih1cnv 42146	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉) = (1.‘𝐾))
12	11	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉)) = ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)))
13		hlop 40220	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
16	15, 10, 6	opoc1 40060	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
18	12, 17	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉)) = (0.‘𝐾))
19	18	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(0.‘𝐾)))
20		doch1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21	15, 1, 2, 3, 20	dih0 42138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
22	9, 19, 21	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660  ‘cfv 6537  Basecbs 17303  occoc 17352  0_gc0g 17526  0.cp0 18511  1.cp1 18512  OPcops 40030  HLchlt 40208  LHypclh 40842  DVecHcdvh 41936  DIsoHcdih 42086  ocHcoch 42205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-0g 17528  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-lub 18434  df-glb 18435  df-join 18436  df-meet 18437  df-p0 18513  df-p1 18514  df-lat 18522  df-clat 18589  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-lsm 19762  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lvec 21286  df-oposet 40034  df-ol 40036  df-oml 40037  df-covers 40124  df-ats 40125  df-atl 40156  df-cvlat 40180  df-hlat 40209  df-llines 40356  df-lplanes 40357  df-lvols 40358  df-lines 40359  df-psubsp 40361  df-pmap 40362  df-padd 40654  df-lhyp 40846  df-laut 40847  df-ldil 40962  df-ltrn 40963  df-trl 41017  df-tendo 41613  df-edring 41615  df-disoa 41887  df-dvech 41937  df-dib 41997  df-dic 42031  df-dih 42087  df-doch 42206

This theorem is used by:  dochoc0  42218  dochoc1  42219  dochn0nv  42233  djhexmid  42269  dochpolN  42348  lclkrs  42397  mapd0  42523