Theorem doch1 39029

Description: Orthocomplement of the unit subspace (all vectors). (Contributed by NM, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
doch1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })

Proof of Theorem doch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dih1rn 38957	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
7		doch1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8	6, 1, 2, 7	dochvalr 39027	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑉) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉))))
9	5, 8	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉))))
10		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3, 4	dih1cnv 38958	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉) = (1.‘𝐾))
12	11	fveq2d 6691	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉)) = ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)))
13		hlop 37032	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
15		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
16	15, 10, 6	opoc1 36872	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
18	12, 17	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉)) = (0.‘𝐾))
19	18	fveq2d 6691	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑉))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(0.‘𝐾)))
20		doch1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21	15, 1, 2, 3, 20	dih0 38950	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
22	9, 19, 21	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4526  ^◡ccnv 5534  ran crn 5536  ‘cfv 6350  Basecbs 16599  occoc 16689  0_gc0g 16829  0.cp0 17776  1.cp1 17777  OPcops 36842  HLchlt 37020  LHypclh 37654  DVecHcdvh 38748  DIsoHcdih 38898  ocHcoch 39017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-riotaBAD 36623

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-undef 7981  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-0g 16831  df-proset 17667  df-poset 17685  df-plt 17697  df-lub 17713  df-glb 17714  df-join 17715  df-meet 17716  df-p0 17778  df-p1 17779  df-lat 17785  df-clat 17847  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-subg 18407  df-cntz 18578  df-lsm 18892  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-unit 19527  df-invr 19557  df-dvr 19568  df-drng 19636  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lsp 19876  df-lvec 20007  df-oposet 36846  df-ol 36848  df-oml 36849  df-covers 36936  df-ats 36937  df-atl 36968  df-cvlat 36992  df-hlat 37021  df-llines 37168  df-lplanes 37169  df-lvols 37170  df-lines 37171  df-psubsp 37173  df-pmap 37174  df-padd 37466  df-lhyp 37658  df-laut 37659  df-ldil 37774  df-ltrn 37775  df-trl 37829  df-tendo 38425  df-edring 38427  df-disoa 38699  df-dvech 38749  df-dib 38809  df-dic 38843  df-dih 38899  df-doch 39018

This theorem is referenced by:  dochoc0  39030  dochoc1  39031  dochn0nv  39045  djhexmid  39081  dochpolN  39160  lclkrs  39209  mapd0  39335