Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvcval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orrvcval4 31730
Description: The value of the preimage mapping operator can be restricted to preimages of subsets of RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
orrvcval4 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvcval4
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 domprobsiga 31677 . . . 4 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
4 retop 23346 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6 orrvccel.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
71rrvmbfm 31708 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
86, 7mpbid 234 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
9 df-brsiga 31449 . . . . 5 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
109oveq2i 7144 . . . 4 (dom 𝑃MblFnM𝔅) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
118, 10eleqtrdi 2921 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12 orrvccel.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
133, 5, 11, 12orvcval4 31726 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
14 uniretop 23347 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
15 rabeq 3462 . . . 4 (ℝ = (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
1614, 15ax-mp 5 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
1716imaeq2i 5903 . 2 (𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (𝑋 “ {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
1813, 17syl6eqr 2873 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  {crab 3129   cuni 4814   class class class wbr 5042  ccnv 5530  dom cdm 5531  ran crn 5532  cima 5534  cfv 6331  (class class class)co 7133  cr 10514  (,)cioo 12717  topGenctg 16690  Topctop 21477  sigAlgebracsiga 31375  sigaGencsigagen 31405  𝔅cbrsiga 31448  MblFnMcmbfm 31516  Probcprb 31673  rRndVarcrrv 31706  RV/𝑐corvc 31721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-ioo 12721  df-topgen 16696  df-top 21478  df-bases 21530  df-esum 31295  df-siga 31376  df-sigagen 31406  df-brsiga 31449  df-meas 31463  df-mbfm 31517  df-prob 31674  df-rrv 31707  df-orvc 31722
This theorem is referenced by:  orvcelval  31734  dstfrvel  31739  orvclteinc  31741
  Copyright terms: Public domain W3C validator