Theorem orrvcval4 34764

Description: The value of the preimage mapping operator can be restricted to preimages of subsets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
orrvcval4	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobsiga 34710	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		retop 24823	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6		orrvccel.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	1	rrvmbfm 34741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
8	6, 7	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9		df-brsiga 34481	. . . . 5 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
10	9	oveq2i 7409	. . . 4 ⊢ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
11	8, 10	eleqtrdi 2874	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12		orrvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	3, 5, 11, 12	orvcval4 34760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
14		uniretop 24824	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
15		rabeq 3430	. . . 4 ⊢ (ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
17	16	imaeq2i 6049	. 2 ⊢ (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
18	13, 17	eqtr4di 2817	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649  ran crn 5650   “ cima 5652  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  (,)cioo 13351  topGenctg 17468  Topctop 22955  sigAlgebracsiga 34407  sigaGencsigagen 34437  𝔅_ℝcbrsiga 34480  MblFnMcmbfm 34548  Probcprb 34706  rRndVarcrrv 34739  ∘_RV/𝑐corvc 34755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-ioo 13355  df-topgen 17474  df-top 22956  df-bases 23008  df-esum 34327  df-siga 34408  df-sigagen 34438  df-brsiga 34481  df-meas 34495  df-mbfm 34549  df-prob 34707  df-rrv 34740  df-orvc 34756

This theorem is referenced by:  orvcelval  34768  dstfrvel  34773  orvclteinc  34775