Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvcval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orrvcval4 31730
 Description: The value of the preimage mapping operator can be restricted to preimages of subsets of RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
orrvcval4 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvcval4
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 domprobsiga 31677 . . . 4 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
4 retop 23346 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6 orrvccel.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
71rrvmbfm 31708 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
86, 7mpbid 234 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
9 df-brsiga 31449 . . . . 5 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
109oveq2i 7144 . . . 4 (dom 𝑃MblFnM𝔅) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
118, 10eleqtrdi 2921 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12 orrvccel.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
133, 5, 11, 12orvcval4 31726 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
14 uniretop 23347 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
15 rabeq 3462 . . . 4 (ℝ = (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
1614, 15ax-mp 5 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
1716imaeq2i 5903 . 2 (𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (𝑋 “ {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
1813, 17syl6eqr 2873 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3129  ∪ cuni 4814   class class class wbr 5042  ◡ccnv 5530  dom cdm 5531  ran crn 5532   “ cima 5534  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℝcr 10514  (,)cioo 12717  topGenctg 16690  Topctop 21477  sigAlgebracsiga 31375  sigaGencsigagen 31405  𝔅ℝcbrsiga 31448  MblFnMcmbfm 31516  Probcprb 31673  rRndVarcrrv 31706  ∘RV/𝑐corvc 31721 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-ioo 12721  df-topgen 16696  df-top 21478  df-bases 21530  df-esum 31295  df-siga 31376  df-sigagen 31406  df-brsiga 31449  df-meas 31463  df-mbfm 31517  df-prob 31674  df-rrv 31707  df-orvc 31722 This theorem is referenced by:  orvcelval  31734  dstfrvel  31739  orvclteinc  31741
 Copyright terms: Public domain W3C validator