Theorem orrvcval4 34478

Description: The value of the preimage mapping operator can be restricted to preimages of subsets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
orrvcval4	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobsiga 34424	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		retop 24676	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6		orrvccel.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	1	rrvmbfm 34455	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
8	6, 7	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9		df-brsiga 34195	. . . . 5 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
10	9	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
11	8, 10	eleqtrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12		orrvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	3, 5, 11, 12	orvcval4 34474	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
14		uniretop 24677	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
15		rabeq 3409	. . . 4 ⊢ (ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
17	16	imaeq2i 6006	. 2 ⊢ (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
18	13, 17	eqtr4di 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614  ran crn 5615   “ cima 5617  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  (,)cioo 13245  topGenctg 17341  Topctop 22808  sigAlgebracsiga 34121  sigaGencsigagen 34151  𝔅_ℝcbrsiga 34194  MblFnMcmbfm 34262  Probcprb 34420  rRndVarcrrv 34453  ∘_RV/𝑐corvc 34469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-ioo 13249  df-topgen 17347  df-top 22809  df-bases 22861  df-esum 34041  df-siga 34122  df-sigagen 34152  df-brsiga 34195  df-meas 34209  df-mbfm 34263  df-prob 34421  df-rrv 34454  df-orvc 34470

This theorem is referenced by:  orvcelval  34482  dstfrvel  34487  orvclteinc  34489