Theorem orrvcval4 34864

Description: The value of the preimage mapping operator can be restricted to preimages of subsets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
orrvcval4	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobsiga 34810	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		retop 24927	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6		orrvccel.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	1	rrvmbfm 34841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
8	6, 7	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9		df-brsiga 34581	. . . . 5 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
10	9	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
11	8, 10	eleqtrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12		orrvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	3, 5, 11, 12	orvcval4 34860	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
14		uniretop 24928	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
15		rabeq 3430	. . . 4 ⊢ (ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
17	16	imaeq2i 6060	. 2 ⊢ (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
18	13, 17	eqtr4di 2816	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  (,)cioo 13376  topGenctg 17494  Topctop 23059  sigAlgebracsiga 34507  sigaGencsigagen 34537  𝔅_ℝcbrsiga 34580  MblFnMcmbfm 34648  Probcprb 34806  rRndVarcrrv 34839  ∘_RV/𝑐corvc 34855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ioo 13380  df-topgen 17500  df-top 23060  df-bases 23112  df-esum 34427  df-siga 34508  df-sigagen 34538  df-brsiga 34581  df-meas 34595  df-mbfm 34649  df-prob 34807  df-rrv 34840  df-orvc 34856

This theorem is used by:  orvcelval  34868  dstfrvel  34873  orvclteinc  34875