Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem5N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem osumcllem5N 39135
Description: Lemma for osumclN 39142. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
osumcllem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
osumcllem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
osumcllem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
Proof of Theorem osumcllem5N
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38538 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12 1203 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4 simp13 1204 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 simp31 1208 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋)
6 simp32 1209 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ π‘ž ∈ π‘Œ)
7 simp2 1136 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
8 simp33 1210 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))
9 osumcllem.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 osumcllem.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 osumcllem.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
12 osumcllem.p . . 3 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
139, 10, 11, 12elpaddri 38977 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13syl322anc 1397 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘Ÿ ∨ π‘ž))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  Latclat 18389  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  +𝑃cpadd 38970  βŠ₯𝑃cpolN 39077  PSubClcpscN 39109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-lub 18304  df-join 18306  df-lat 18390  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-padd 38971
This theorem is referenced by:  osumcllem6N  39136
  Copyright terms: Public domain W3C validator