Theorem osumcllem6N 40133

Description: Lemma for osumclN 40139. Use atom exchange hlatexch1 39567 to swap 𝑝 and 𝑞. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem6N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem osumcllem6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1204	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12 1205	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simp13 1206	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
4		simp2r 1201	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
5		simp31 1210	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
6		simp32 1211	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑌)
7	3, 6	sseldd 3931	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
8	2, 5	sseldd 3931	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
9	7, 4, 8	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
10		simp2l 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
11		osumcllem.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		osumcllem.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		osumcllem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		osumcllem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
15		osumcllem.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
16		osumcllem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
17		osumcllem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
18		osumcllem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	osumcllem4N 40131	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)
20	1, 3, 10, 5, 6, 19	syl32anc 1380	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ≠ 𝑟)
21	1, 9, 20	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟))
22		simp33 1212	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
23	11, 12, 13	hlatexch1 39567	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞)))
24	21, 22, 23	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))
25	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	osumcllem5N 40132	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 25	syl313anc 1396	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  lecple 17175  joincjn 18225  Atomscatm 39435  HLchlt 39522  +_𝑃cpadd 39967  ⊥_𝑃cpolN 40074  PSubClcpscN 40106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-proset 18208  df-poset 18227  df-plt 18242  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-p1 18338  df-lat 18346  df-clat 18413  df-oposet 39348  df-ol 39350  df-oml 39351  df-covers 39438  df-ats 39439  df-atl 39470  df-cvlat 39494  df-hlat 39523  df-pmap 39676  df-padd 39968  df-polarityN 40075

This theorem is referenced by:  osumcllem7N  40134