Theorem osumcllem6N 40334

Description: Lemma for osumclN 40340. Use atom exchange hlatexch1 39768 to swap 𝑝 and 𝑞. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem6N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem osumcllem6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1205	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12 1206	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simp13 1207	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
4		simp2r 1202	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
5		simp31 1211	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
6		simp32 1212	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑌)
7	3, 6	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
8	2, 5	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
9	7, 4, 8	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
10		simp2l 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
11		osumcllem.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		osumcllem.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		osumcllem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		osumcllem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
15		osumcllem.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
16		osumcllem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
17		osumcllem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
18		osumcllem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	osumcllem4N 40332	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)
20	1, 3, 10, 5, 6, 19	syl32anc 1381	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ≠ 𝑟)
21	1, 9, 20	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟))
22		simp33 1213	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
23	11, 12, 13	hlatexch1 39768	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞)))
24	21, 22, 23	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))
25	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	osumcllem5N 40333	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 25	syl313anc 1397	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  lecple 17196  joincjn 18246  Atomscatm 39636  HLchlt 39723  +_𝑃cpadd 40168  ⊥_𝑃cpolN 40275  PSubClcpscN 40307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39549  df-ol 39551  df-oml 39552  df-covers 39639  df-ats 39640  df-atl 39671  df-cvlat 39695  df-hlat 39724  df-pmap 39877  df-padd 40169  df-polarityN 40276

This theorem is referenced by:  osumcllem7N  40335