Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem6N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem6N 37257
Description: Lemma for osumclN 37263. Use atom exchange hlatexch1 36691 to swap 𝑝 and 𝑞. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem6N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem osumcllem6N
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1201 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑋𝐴)
3 simp13 1202 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑌𝐴)
4 simp2r 1197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝𝐴)
5 simp31 1206 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑟𝑋)
6 simp32 1207 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞𝑌)
73, 6sseldd 3916 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞𝐴)
82, 5sseldd 3916 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑟𝐴)
97, 4, 83jca 1125 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴))
10 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
11 osumcllem.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
12 osumcllem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
13 osumcllem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 osumcllem.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
15 osumcllem.o . . . . . 6 = (⊥𝑃𝐾)
16 osumcllem.c . . . . . 6 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
17 osumcllem.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
18 osumcllem.u . . . . . 6 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18osumcllem4N 37255 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑟)
201, 3, 10, 5, 6, 19syl32anc 1375 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞𝑟)
211, 9, 203jca 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴) ∧ 𝑞𝑟))
22 simp33 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 (𝑟 𝑝))
2311, 12, 13hlatexch1 36691 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 (𝑟 𝑞)))
2421, 22, 23sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 (𝑟 𝑞))
2511, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18osumcllem5N 37256 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 25syl313anc 1391 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  +𝑃cpadd 37091  𝑃cpolN 37198  PSubClcpscN 37230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-riotaBAD 36249
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-undef 7922  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-polarityN 37199
This theorem is referenced by:  osumcllem7N  37258
  Copyright terms: Public domain W3C validator