Theorem osumcllem4N 39942

Description: Lemma for osumclN 39950. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Proof of Theorem osumcllem4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4346	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ¬ (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
2		incom 4217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
3		sslin 4251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
4	3	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
5	2, 4	eqsstrid 4044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
6		osumcllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		osumcllem.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
8	6, 7	pnonsingN 39916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ∅)
9	8	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ∅)
10	5, 9	sseqtrd 4036	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∅)
11		ss0b 4407	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
14	1, 13	nsyl3 138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
15		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝑌)
16		eleq1w 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑌 ↔ 𝑟 ∈ 𝑌))
17	15, 16	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ 𝑌))
18		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝑋)
19	17, 18	jctild 525	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)))
20		elin 3979	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌))
21	19, 20	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)))
22	21	necon3bd 2952	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑞 ≠ 𝑟))
23	14, 22	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  lecple 17305  joincjn 18369  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  +_𝑃cpadd 39778  ⊥_𝑃cpolN 39885  PSubClcpscN 39917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-pmap 39487  df-polarityN 39886

This theorem is referenced by:  osumcllem6N  39944