Theorem osumcllem4N 39941

Description: Lemma for osumclN 39949. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Proof of Theorem osumcllem4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4293	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ¬ (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
2		incom 4162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
3		sslin 4196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
4	3	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
5	2, 4	eqsstrid 3976	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
6		osumcllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		osumcllem.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
8	6, 7	pnonsingN 39915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ∅)
9	8	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ∅)
10	5, 9	sseqtrd 3974	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∅)
11		ss0b 4354	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
14	1, 13	nsyl3 138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
15		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝑌)
16		eleq1w 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑌 ↔ 𝑟 ∈ 𝑌))
17	15, 16	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ 𝑌))
18		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝑋)
19	17, 18	jctild 525	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)))
20		elin 3921	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌))
21	19, 20	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)))
22	21	necon3bd 2939	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑞 ≠ 𝑟))
23	14, 22	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  lecple 17186  joincjn 18235  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  +_𝑃cpadd 39777  ⊥_𝑃cpolN 39884  PSubClcpscN 39916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-pmap 39486  df-polarityN 39885

This theorem is referenced by:  osumcllem6N  39943