Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem osumcllem4N 39133
Description: Lemma for osumclN 39141. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
osumcllem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
osumcllem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
osumcllem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ)
Proof of Theorem osumcllem4N
StepHypRef Expression
1 n0i 4332 . . 3 (π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ Β¬ (𝑋 ∩ π‘Œ) = βˆ…)
2 incom 4200 . . . . . . 7 (𝑋 ∩ π‘Œ) = (π‘Œ ∩ 𝑋)
3 sslin 4233 . . . . . . . 8 (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑋) βŠ† (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
433ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑋) βŠ† (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
52, 4eqsstrid 4029 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
6 osumcllem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 osumcllem.o . . . . . . . 8 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
86, 7pnonsingN 39107 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = βˆ…)
983adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = βˆ…)
105, 9sseqtrd 4021 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† βˆ…)
11 ss0b 4396 . . . . 5 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† βˆ… ↔ (𝑋 ∩ π‘Œ) = βˆ…)
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = βˆ…)
1312adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = βˆ…)
141, 13nsyl3 138 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
15 simprr 769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž ∈ π‘Œ)
16 eleq1w 2814 . . . . . 6 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘ž ∈ π‘Œ ↔ π‘Ÿ ∈ π‘Œ))
1715, 16syl5ibcom 244 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘ž = π‘Ÿ β†’ π‘Ÿ ∈ π‘Œ))
18 simprl 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋)
1917, 18jctild 524 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)))
20 elin 3963 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ))
2119, 20imbitrrdi 251 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘ž = π‘Ÿ β†’ π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)))
2221necon3bd 2952 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ))
2314, 22mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  lecple 17208  joincjn 18268  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  +𝑃cpadd 38969  βŠ₯𝑃cpolN 39076  PSubClcpscN 39108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-pmap 38678  df-polarityN 39077
This theorem is referenced by:  osumcllem6N  39135
  Copyright terms: Public domain W3C validator