Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem4N 39962
Description: Lemma for osumclN 39970. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑟)

Proof of Theorem osumcllem4N
StepHypRef Expression
1 n0i 4339 . . 3 (𝑟 ∈ (𝑋𝑌) → ¬ (𝑋𝑌) = ∅)
2 incom 4208 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
3 sslin 4242 . . . . . . . 8 (𝑋 ⊆ ( 𝑌) → (𝑌𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( 𝑌)))
433ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑌𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( 𝑌)))
52, 4eqsstrid 4021 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑌 ∩ ( 𝑌)))
6 osumcllem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 osumcllem.o . . . . . . . 8 = (⊥𝑃𝐾)
86, 7pnonsingN 39936 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌 ∩ ( 𝑌)) = ∅)
983adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑌 ∩ ( 𝑌)) = ∅)
105, 9sseqtrd 4019 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋𝑌) ⊆ ∅)
11 ss0b 4400 . . . . 5 ((𝑋𝑌) ⊆ ∅ ↔ (𝑋𝑌) = ∅)
1210, 11sylib 218 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋𝑌) = ∅)
1312adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑋𝑌) = ∅)
141, 13nsyl3 138 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋𝑌))
15 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑌)
16 eleq1w 2823 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞𝑌𝑟𝑌))
1715, 16syl5ibcom 245 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑞 = 𝑟𝑟𝑌))
18 simprl 770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑟𝑋)
1917, 18jctild 525 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟𝑋𝑟𝑌)))
20 elin 3966 . . . 4 (𝑟 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑟𝑋𝑟𝑌))
2119, 20imbitrrdi 252 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑞 = 𝑟𝑟 ∈ (𝑋𝑌)))
2221necon3bd 2953 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑞𝑟))
2314, 22mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑟)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cin 3949  wss 3950  c0 4332  {csn 4625  cfv 6560  (class class class)co 7432  lecple 17305  joincjn 18358  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  +𝑃cpadd 39798  𝑃cpolN 39905  PSubClcpscN 39937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-pmap 39507  df-polarityN 39906
This theorem is referenced by:  osumcllem6N  39964
  Copyright terms: Public domain W3C validator