Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem osumcllem4N 38528
Description: Lemma for osumclN 38536. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
osumcllem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
osumcllem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
osumcllem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ)
Proof of Theorem osumcllem4N
StepHypRef Expression
1 n0i 4313 . . 3 (π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ Β¬ (𝑋 ∩ π‘Œ) = βˆ…)
2 incom 4181 . . . . . . 7 (𝑋 ∩ π‘Œ) = (π‘Œ ∩ 𝑋)
3 sslin 4214 . . . . . . . 8 (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑋) βŠ† (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
433ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑋) βŠ† (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
52, 4eqsstrid 4010 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
6 osumcllem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 osumcllem.o . . . . . . . 8 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
86, 7pnonsingN 38502 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = βˆ…)
983adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = βˆ…)
105, 9sseqtrd 4002 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† βˆ…)
11 ss0b 4377 . . . . 5 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† βˆ… ↔ (𝑋 ∩ π‘Œ) = βˆ…)
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = βˆ…)
1312adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = βˆ…)
141, 13nsyl3 138 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
15 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž ∈ π‘Œ)
16 eleq1w 2815 . . . . . 6 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘ž ∈ π‘Œ ↔ π‘Ÿ ∈ π‘Œ))
1715, 16syl5ibcom 244 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘ž = π‘Ÿ β†’ π‘Ÿ ∈ π‘Œ))
18 simprl 769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋)
1917, 18jctild 526 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)))
20 elin 3944 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ))
2119, 20syl6ibr 251 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘ž = π‘Ÿ β†’ π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)))
2221necon3bd 2953 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ))
2314, 22mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž β‰  π‘Ÿ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   ∩ cin 3927   βŠ† wss 3928  βˆ…c0 4302  {csn 4606  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  lecple 17169  joincjn 18229  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  +𝑃cpadd 38364  βŠ₯𝑃cpolN 38471  PSubClcpscN 38503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-p1 18344  df-lat 18350  df-clat 18417  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-pmap 38073  df-polarityN 38472
This theorem is referenced by:  osumcllem6N  38530
  Copyright terms: Public domain W3C validator