Theorem osumcllem4N 40219

Description: Lemma for osumclN 40227. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Proof of Theorem osumcllem4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4292	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ¬ (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
2		incom 4161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
3		sslin 4195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
4	3	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
5	2, 4	eqsstrid 3972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
6		osumcllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		osumcllem.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
8	6, 7	pnonsingN 40193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ∅)
9	8	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ∅)
10	5, 9	sseqtrd 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∅)
11		ss0b 4353	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
14	1, 13	nsyl3 138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
15		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝑌)
16		eleq1w 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑌 ↔ 𝑟 ∈ 𝑌))
17	15, 16	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ 𝑌))
18		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝑋)
19	17, 18	jctild 525	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)))
20		elin 3917	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌))
21	19, 20	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)))
22	21	necon3bd 2946	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑞 ≠ 𝑟))
23	14, 22	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  lecple 17184  joincjn 18234  Atomscatm 39523  HLchlt 39610  +_𝑃cpadd 40055  ⊥_𝑃cpolN 40162  PSubClcpscN 40194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-pmap 39764  df-polarityN 40163

This theorem is referenced by:  osumcllem6N  40221