Theorem paddcom 40607

Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem paddcom

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4112	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋))
3		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝑋)
6	4, 5	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
7		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		padd0.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	7, 8	atbase 40083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
10	6, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpl3 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
12		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝑌)
13	11, 12	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
14	7, 8	atbase 40083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
16		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17	7, 16	latjcom 18498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
18	3, 10, 15, 17	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
19	18	breq2d 5121	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
20	19	2rexbidva 3228	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
21		rexcom 3294	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞))
22	20, 21	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
23	22	rabbidv 3423	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)})
24	2, 23	uneq12d 4123	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
25		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
26		padd0.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
27	25, 16, 8, 26	paddval 40592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
28	25, 16, 8, 26	paddval 40592	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
29	28	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
30	24, 27, 29	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  lecple 17312  joincjn 18362  Latclat 18482  Atomscatm 40057  +_𝑃cpadd 40589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-lub 18395  df-join 18397  df-lat 18483  df-ats 40061  df-padd 40590

This theorem is referenced by:  paddass  40632  padd12N  40633  pmod2iN  40643  pmodN  40644  pmapjat2  40648