Theorem paddcom 40689

Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem paddcom

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4105	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋))
3		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝑋)
6	4, 5	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
7		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		padd0.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	7, 8	atbase 40165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
10	6, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpl3 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
12		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝑌)
13	11, 12	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
14	7, 8	atbase 40165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
16		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17	7, 16	latjcom 18538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
18	3, 10, 15, 17	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
19	18	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
20	19	2rexbidva 3225	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
21		rexcom 3291	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞))
22	20, 21	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
23	22	rabbidv 3419	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)})
24	2, 23	uneq12d 4116	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
25		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
26		padd0.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
27	25, 16, 8, 26	paddval 40674	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
28	25, 16, 8, 26	paddval 40674	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
29	28	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
30	24, 27, 29	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  lecple 17352  joincjn 18402  Latclat 18522  Atomscatm 40139  +_𝑃cpadd 40671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-lub 18435  df-join 18437  df-lat 18523  df-ats 40143  df-padd 40672

This theorem is used by:  paddass  40714  padd12N  40715  pmod2iN  40725  pmodN  40726  pmapjat2  40730