Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddcom 38684
Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
padd0.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Proof of Theorem paddcom
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uncom 4154 . . . 4 (𝑋 βˆͺ π‘Œ) = (π‘Œ βˆͺ 𝑋)
21a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) = (π‘Œ βˆͺ 𝑋))
3 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
5 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
64, 5sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
7 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
8 padd0.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
97, 8atbase 38159 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
12 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)
1311, 12sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
147, 8atbase 38159 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
177, 16latjcom 18400 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
183, 10, 15, 17syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
1918breq2d 5161 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
20192rexbidva 3218 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
21 rexcom 3288 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
2220, 21bitrdi 287 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
2322rabbidv 3441 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)})
242, 23uneq12d 4165 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)}) = ((π‘Œ βˆͺ 𝑋) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)}))
25 eqid 2733 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
26 padd0.p . . 3 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
2725, 16, 8, 26paddval 38669 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)}))
2825, 16, 8, 26paddval 38669 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ + 𝑋) = ((π‘Œ βˆͺ 𝑋) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)}))
29283com23 1127 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ + 𝑋) = ((π‘Œ βˆͺ 𝑋) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)}))
3024, 27, 293eqtr4d 2783 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  Latclat 18384  Atomscatm 38133  +𝑃cpadd 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-lub 18299  df-join 18301  df-lat 18385  df-ats 38137  df-padd 38667
This theorem is referenced by:  paddass  38709  padd12N  38710  pmod2iN  38720  pmodN  38721  pmapjat2  38725
  Copyright terms: Public domain W3C validator