Theorem paddcom 39800

Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem paddcom

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4117	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋))
3		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝑋)
6	4, 5	sseldd 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
7		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		padd0.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	7, 8	atbase 39275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
12		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝑌)
13	11, 12	sseldd 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
14	7, 8	atbase 39275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
16		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17	7, 16	latjcom 18388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
18	3, 10, 15, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
19	18	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
20	19	2rexbidva 3198	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
21		rexcom 3264	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞))
22	20, 21	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
23	22	rabbidv 3410	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)})
24	2, 23	uneq12d 4128	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
25		eqid 2729	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
26		padd0.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
27	25, 16, 8, 26	paddval 39785	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
28	25, 16, 8, 26	paddval 39785	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
29	28	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
30	24, 27, 29	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3402   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  joincjn 18252  Latclat 18372  Atomscatm 39249  +_𝑃cpadd 39782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-lub 18285  df-join 18287  df-lat 18373  df-ats 39253  df-padd 39783

This theorem is referenced by:  paddass  39825  padd12N  39826  pmod2iN  39836  pmodN  39837  pmapjat2  39841