Theorem paddcom 40276

Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem paddcom

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4099	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ 𝑋))
3		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl2 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝑋)
6	4, 5	sseldd 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
7		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		padd0.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	7, 8	atbase 39752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpl3 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
12		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝑌)
13	11, 12	sseldd 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
14	7, 8	atbase 39752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
16		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17	7, 16	latjcom 18407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
18	3, 10, 15, 17	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
19	18	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
20	19	2rexbidva 3201	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
21		rexcom 3267	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞))
22	20, 21	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
23	22	rabbidv 3397	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)})
24	2, 23	uneq12d 4110	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
25		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
26		padd0.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
27	25, 16, 8, 26	paddval 40261	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
28	25, 16, 8, 26	paddval 40261	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
29	28	3com23 1127	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌 ∪ 𝑋) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑌 ∃𝑞 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
30	24, 27, 29	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  lecple 17221  joincjn 18271  Latclat 18391  Atomscatm 39726  +_𝑃cpadd 40258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-lub 18304  df-join 18306  df-lat 18392  df-ats 39730  df-padd 40259

This theorem is referenced by:  paddass  40301  padd12N  40302  pmod2iN  40312  pmodN  40313  pmapjat2  40317