Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddcom 37866
Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
padd0.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))

Proof of Theorem paddcom
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uncom 4093 . . . 4 (𝑋 βˆͺ π‘Œ) = (π‘Œ βˆͺ 𝑋)
21a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) = (π‘Œ βˆͺ 𝑋))
3 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
5 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
64, 5sseldd 3927 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
7 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
8 padd0.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
97, 8atbase 37342 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
12 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)
1311, 12sseldd 3927 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
147, 8atbase 37342 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
177, 16latjcom 18206 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
183, 10, 15, 17syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
1918breq2d 5093 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
20192rexbidva 3208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
21 rexcom 3270 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
2220, 21bitrdi 288 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
2322rabbidv 3421 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)})
242, 23uneq12d 4104 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)}) = ((π‘Œ βˆͺ 𝑋) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)}))
25 eqid 2736 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
26 padd0.p . . 3 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
2725, 16, 8, 26paddval 37851 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)}))
2825, 16, 8, 26paddval 37851 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ + 𝑋) = ((π‘Œ βˆͺ 𝑋) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)}))
29283com23 1126 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ + 𝑋) = ((π‘Œ βˆͺ 𝑋) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)π‘ž)}))
3024, 27, 293eqtr4d 2786 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3071  {crab 3284   βˆͺ cun 3890   βŠ† wss 3892   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303  Basecbs 16953  lecple 17010  joincjn 18070  Latclat 18190  Atomscatm 37316  +𝑃cpadd 37848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-lub 18105  df-join 18107  df-lat 18191  df-ats 37320  df-padd 37849
This theorem is referenced by:  paddass  37891  padd12N  37892  pmod2iN  37902  pmodN  37903  pmapjat2  37907
  Copyright terms: Public domain W3C validator