Theorem paddasslem2 40322

Description: Lemma for paddass 40339. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑧 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))

Proof of Theorem paddasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
3		simp23 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
4		simp22 1214	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 4	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
6		simp21 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7		simp3l 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
8		paddasslem.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		paddasslem.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		paddasslem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	8, 9, 10	atnlej2 39881	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑟 ≠ 𝑦)
12	1, 2, 6, 4, 7, 11	syl131anc 1391	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑟 ≠ 𝑦)
13	1, 5, 12	3jca 1134	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ≠ 𝑦))
14		simp3r 1209	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))
15	8, 9, 10	hlatexch1 39896	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ≠ 𝑦) → (𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → 𝑧 ≤ (𝑦 ∨ 𝑟)))
16	13, 14, 15	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑧 ≤ (𝑦 ∨ 𝑟))
17	1	hllatd 39865	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
18		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19	18, 10	atbase 39790	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
20	2, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
21	18, 10	atbase 39790	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
22	4, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
23	18, 9	latjcom 18405	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑟 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑟))
24	17, 20, 22, 23	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → (𝑟 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑟))
25	16, 24	breqtrrd 5101	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑧 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  lecple 17219  joincjn 18269  Latclat 18389  Atomscatm 39764  HLchlt 39851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18252  df-poset 18271  df-plt 18286  df-lub 18302  df-glb 18303  df-join 18304  df-meet 18305  df-p0 18381  df-lat 18390  df-covers 39767  df-ats 39768  df-atl 39799  df-cvlat 39823  df-hlat 39852

This theorem is referenced by:  paddasslem4  40324