Theorem paddasslem3 38681

Description: Lemma for paddass 38697. Restate projective space axiom ps-2 38337. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≠ 𝑧) ∧ (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) ∧ 𝑧 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ∨ ,𝑠   𝐾,𝑠   ≤ ,𝑠   𝑠,𝑝   𝑠,𝑟   𝑥,𝑠   𝑦,𝑠   𝑧,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑝)   ∨ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑝)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑝)

Proof of Theorem paddasslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddasslem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddasslem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddasslem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	ps-2 38337	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ ((¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≠ 𝑧) ∧ (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) ∧ 𝑧 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦)))) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧)))
5	4	ex 413	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≠ 𝑧) ∧ (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) ∧ 𝑧 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  lecple 17200  joincjn 18260  Atomscatm 38121  HLchlt 38208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209

This theorem is referenced by:  paddasslem4  38682