Theorem pclun2N 40155

Description: The projective subspace closure of the union of two subspaces equals their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclun2.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pclun2.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pclun2.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclun2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem pclun2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		pclun2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
4	2, 3	psubssat 40010	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
5	4	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	2, 3	psubssat 40010	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	6	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		pclun2.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9		pclun2.c	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
10	2, 8, 9	pclunN 40154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
11	1, 5, 7, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
12	3, 8	paddclN 40098	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
13	3, 9	pclidN 40152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
14	1, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
15	11, 14	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Atomscatm 39519  HLchlt 39606  PSubSpcpsubsp 39752  +_𝑃cpadd 40051  PClcpclN 40143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39432  df-ol 39434  df-oml 39435  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607  df-psubsp 39759  df-padd 40052  df-pclN 40144

This theorem is referenced by: (None)