Theorem pclun2N 40359

Description: The projective subspace closure of the union of two subspaces equals their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclun2.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pclun2.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pclun2.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclun2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem pclun2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		pclun2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
4	2, 3	psubssat 40214	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
5	4	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	2, 3	psubssat 40214	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	6	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		pclun2.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9		pclun2.c	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
10	2, 8, 9	pclunN 40358	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
11	1, 5, 7, 10	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
12	3, 8	paddclN 40302	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
13	3, 9	pclidN 40356	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
14	1, 12, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
15	11, 14	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  PSubSpcpsubsp 39956  +_𝑃cpadd 40255  PClcpclN 40347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-psubsp 39963  df-padd 40256  df-pclN 40348

This theorem is referenced by: (None)