Theorem pclun2N 40398

Description: The projective subspace closure of the union of two subspaces equals their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclun2.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pclun2.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pclun2.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclun2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem pclun2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		pclun2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
4	2, 3	psubssat 40253	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
5	4	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	2, 3	psubssat 40253	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	6	3adant2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		pclun2.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9		pclun2.c	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
10	2, 8, 9	pclunN 40397	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
11	1, 5, 7, 10	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
12	3, 8	paddclN 40341	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
13	3, 9	pclidN 40395	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
14	1, 12, 13	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
15	11, 14	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑈‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Atomscatm 39762  HLchlt 39849  PSubSpcpsubsp 39995  +_𝑃cpadd 40294  PClcpclN 40386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18396  df-clat 18463  df-oposet 39675  df-ol 39677  df-oml 39678  df-covers 39765  df-ats 39766  df-atl 39797  df-cvlat 39821  df-hlat 39850  df-psubsp 40002  df-padd 40295  df-pclN 40387

This theorem is referenced by: (None)