Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle1 38461
Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle 38458 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑊)
5 tru 1545 . . . . . 6
65jctr 525 . . . . 5 (𝑝 𝑊 → (𝑝 𝑊 ∧ ⊤))
76reximi 3087 . . . 4 (∃𝑝𝐴 𝑝 𝑊 → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤))
84, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤))
9 simpll 765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simprl 769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐴)
11 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1211, 3lhpbase 38451 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1312ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14 eqid 2736 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
151, 14, 2, 3lhplt 38453 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑊)
1611, 14, 22atlt 37892 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
179, 10, 13, 15, 16syl31anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
18 simp3r 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)
19 simp1ll 1236 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝𝐴)
21 simp1lr 1237 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑊𝐻)
221, 14pltle 18221 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑊𝐻) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊𝑝 𝑊))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊𝑝 𝑊))
2418, 23mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 𝑊)
25 trud 1551 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → ⊤)
26 simp3l 1201 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝𝑋)
2724, 25, 263jca 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋))
28273expia 1121 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋)))
2928reximdva 3165 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → (∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋)))
3017, 29mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋))
318, 30lhpexle1lem 38460 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋))
32 3simpb 1149 . . 3 ((𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋) → (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
3332reximi 3087 . 2 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
3431, 33syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  Basecbs 17082  lecple 17139  ltcplt 18196  Atomscatm 37715  HLchlt 37802  LHypclh 38437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-p1 18314  df-lat 18320  df-clat 18387  df-oposet 37628  df-ol 37630  df-oml 37631  df-covers 37718  df-ats 37719  df-atl 37750  df-cvlat 37774  df-hlat 37803  df-lhyp 38441
This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  38462  lhpexle2  38463  lhpex2leN  38466
  Copyright terms: Public domain W3C validator