Theorem lhpexle1 40010

Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle 40007	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
5		tru 1544	. . . . . 6 ⊢ ⊤
6	5	jctr 524	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑊 → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
7	6	reximi 3084	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
9		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	lhpbase 40000	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
13	12	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
15	1, 14, 2, 3	lhplt 40002	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑊)
16	11, 14, 2	2atlt 39441	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
17	9, 10, 13, 15, 16	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
18		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)
19		simp1ll 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21		simp1lr 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
22	1, 14	pltle 18378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
24	18, 23	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
25		trud 1550	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → ⊤)
26		simp3l 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
27	24, 25, 26	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
28	27	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
29	28	reximdva 3168	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
30	17, 29	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
31	8, 30	lhpexle1lem 40009	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
32		3simpb 1150	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
33	32	reximi 3084	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
34	31, 33	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  ltcplt 18354  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990

This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  40011  lhpexle2  40012  lhpex2leN  40015