Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle1 38874
Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpex1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpex1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexle1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   π‘Š,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexle 38871 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
5 tru 1545 . . . . . 6 ⊀
65jctr 525 . . . . 5 (𝑝 ≀ π‘Š β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
76reximi 3084 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
84, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
9 simpll 765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
10 simprl 769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
11 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1211, 3lhpbase 38864 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1312ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 eqid 2732 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
151, 14, 2, 3lhplt 38866 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
1611, 14, 22atlt 38305 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š))
179, 10, 13, 15, 16syl31anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š))
18 simp3r 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
19 simp1ll 1236 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
20 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp1lr 1237 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
221, 14pltle 18285 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ 𝑝 ≀ π‘Š))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ 𝑝 ≀ π‘Š))
2418, 23mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
25 trud 1551 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ⊀)
26 simp3l 1201 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
2724, 25, 263jca 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
28273expia 1121 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋)))
2928reximdva 3168 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋)))
3017, 29mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
318, 30lhpexle1lem 38873 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
32 3simpb 1149 . . 3 ((𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
3332reximi 3084 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
3431, 33syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  lecple 17203  ltcplt 18260  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-lhyp 38854
This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  38875  lhpexle2  38876  lhpex2leN  38879
  Copyright terms: Public domain W3C validator