Theorem lhpexle1 40278

Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle 40275	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
5		tru 1545	. . . . . 6 ⊢ ⊤
6	5	jctr 524	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑊 → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
7	6	reximi 3074	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
9		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	lhpbase 40268	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
13	12	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
15	1, 14, 2, 3	lhplt 40270	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑊)
16	11, 14, 2	2atlt 39709	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
17	9, 10, 13, 15, 16	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
18		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)
19		simp1ll 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21		simp1lr 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
22	1, 14	pltle 18254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
24	18, 23	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
25		trud 1551	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → ⊤)
26		simp3l 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
27	24, 25, 26	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
28	27	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
29	28	reximdva 3149	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
30	17, 29	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
31	8, 30	lhpexle1lem 40277	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
32		3simpb 1149	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
33	32	reximi 3074	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
34	31, 33	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  lecple 17184  ltcplt 18231  Atomscatm 39533  HLchlt 39620  LHypclh 40254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39446  df-ol 39448  df-oml 39449  df-covers 39536  df-ats 39537  df-atl 39568  df-cvlat 39592  df-hlat 39621  df-lhyp 40258

This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  40279  lhpexle2  40280  lhpex2leN  40283