Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle1 39392
Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpex1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpex1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexle1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   π‘Š,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexle 39389 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
5 tru 1537 . . . . . 6 ⊀
65jctr 524 . . . . 5 (𝑝 ≀ π‘Š β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
76reximi 3078 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
84, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
9 simpll 764 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
10 simprl 768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1211, 3lhpbase 39382 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1312ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 eqid 2726 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
151, 14, 2, 3lhplt 39384 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
1611, 14, 22atlt 38823 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š))
179, 10, 13, 15, 16syl31anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š))
18 simp3r 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
19 simp1ll 1233 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
20 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp1lr 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
221, 14pltle 18298 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ 𝑝 ≀ π‘Š))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ 𝑝 ≀ π‘Š))
2418, 23mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
25 trud 1543 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ⊀)
26 simp3l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
2724, 25, 263jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
28273expia 1118 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋)))
2928reximdva 3162 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋)))
3017, 29mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
318, 30lhpexle1lem 39391 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
32 3simpb 1146 . . 3 ((𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
3332reximi 3078 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
3431, 33syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  lecple 17213  ltcplt 18273  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  39393  lhpexle2  39394  lhpex2leN  39397
  Copyright terms: Public domain W3C validator