Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle1 39521
Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpex1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpex1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexle1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   π‘Š,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexle 39518 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
5 tru 1537 . . . . . 6 ⊀
65jctr 523 . . . . 5 (𝑝 ≀ π‘Š β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
76reximi 3081 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
84, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
9 simpll 765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
10 simprl 769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
11 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1211, 3lhpbase 39511 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1312ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 eqid 2728 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
151, 14, 2, 3lhplt 39513 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
1611, 14, 22atlt 38952 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š))
179, 10, 13, 15, 16syl31anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š))
18 simp3r 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
19 simp1ll 1233 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
20 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp1lr 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
221, 14pltle 18334 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ 𝑝 ≀ π‘Š))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ 𝑝 ≀ π‘Š))
2418, 23mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
25 trud 1543 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ⊀)
26 simp3l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
2724, 25, 263jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
28273expia 1118 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋)))
2928reximdva 3165 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋)))
3017, 29mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
318, 30lhpexle1lem 39520 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
32 3simpb 1146 . . 3 ((𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
3332reximi 3081 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
3431, 33syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17189  lecple 17249  ltcplt 18309  Atomscatm 38775  HLchlt 38862  LHypclh 39497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-lhyp 39501
This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  39522  lhpexle2  39523  lhpex2leN  39526
  Copyright terms: Public domain W3C validator