Theorem lhpexle1 39995

Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle 39992	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
5		tru 1544	. . . . . 6 ⊢ ⊤
6	5	jctr 524	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑊 → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
7	6	reximi 3067	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
9		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
11		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	lhpbase 39985	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
13	12	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
15	1, 14, 2, 3	lhplt 39987	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑊)
16	11, 14, 2	2atlt 39426	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
17	9, 10, 13, 15, 16	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
18		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)
19		simp1ll 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21		simp1lr 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
22	1, 14	pltle 18272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
24	18, 23	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
25		trud 1550	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → ⊤)
26		simp3l 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
27	24, 25, 26	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
28	27	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
29	28	reximdva 3146	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
30	17, 29	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
31	8, 30	lhpexle1lem 39994	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
32		3simpb 1149	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
33	32	reximi 3067	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
34	31, 33	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  lecple 17203  ltcplt 18249  Atomscatm 39249  HLchlt 39336  LHypclh 39971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-lhyp 39975

This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  39996  lhpexle2  39997  lhpex2leN  40000