Theorem lhpexle1 37138

Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle 37135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
5		tru 1537	. . . . . 6 ⊢ ⊤
6	5	jctr 527	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑊 → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
7	6	reximi 3243	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
9		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
11		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	lhpbase 37128	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
13	12	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
15	1, 14, 2, 3	lhplt 37130	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑊)
16	11, 14, 2	2atlt 36569	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
17	9, 10, 13, 15, 16	syl31anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
18		simp3r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)
19		simp1ll 1232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20		simp2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21		simp1lr 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
22	1, 14	pltle 17565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
24	18, 23	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
25		trud 1543	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → ⊤)
26		simp3l 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
27	24, 25, 26	3jca 1124	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
28	27	3expia 1117	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
29	28	reximdva 3274	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
30	17, 29	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
31	8, 30	lhpexle1lem 37137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
32		3simpb 1145	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
33	32	reximi 3243	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
34	31, 33	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  lecple 16566  ltcplt 17545  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  LHypclh 37114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-lhyp 37118

This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  37139  lhpexle2  37140  lhpex2leN  37143