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Theorem lhpexle1 38521
Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpex1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpex1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexle1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   π‘Š,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexle 38518 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
5 tru 1546 . . . . . 6 ⊀
65jctr 526 . . . . 5 (𝑝 ≀ π‘Š β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
76reximi 3084 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
84, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀))
9 simpll 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
10 simprl 770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
11 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1211, 3lhpbase 38511 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1312ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 eqid 2733 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
151, 14, 2, 3lhplt 38513 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
1611, 14, 22atlt 37952 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š))
179, 10, 13, 15, 16syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š))
18 simp3r 1203 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
19 simp1ll 1237 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
20 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp1lr 1238 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
221, 14pltle 18230 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ 𝑝 ≀ π‘Š))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ 𝑝 ≀ π‘Š))
2418, 23mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
25 trud 1552 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ⊀)
26 simp3l 1202 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
2724, 25, 263jca 1129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
28273expia 1122 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋)))
2928reximdva 3162 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝(ltβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋)))
3017, 29mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
318, 30lhpexle1lem 38520 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
32 3simpb 1150 . . 3 ((𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
3332reximi 3084 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ ⊀ ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
3431, 33syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  lecple 17148  ltcplt 18205  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-lhyp 38501
This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  38522  lhpexle2  38523  lhpex2leN  38526
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