Theorem lhpexle1 40384

Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle 40381	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
5		tru 1546	. . . . . 6 ⊢ ⊤
6	5	jctr 524	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑊 → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
7	6	reximi 3076	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤))
9		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	lhpbase 40374	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
13	12	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
15	1, 14, 2, 3	lhplt 40376	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑊)
16	11, 14, 2	2atlt 39815	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
17	9, 10, 13, 15, 16	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
18		simp3r 1204	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)
19		simp1ll 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21		simp1lr 1239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
22	1, 14	pltle 18266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊 → 𝑝 ≤ 𝑊))
24	18, 23	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
25		trud 1552	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → ⊤)
26		simp3l 1203	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
27	24, 25, 26	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
28	27	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
29	28	reximdva 3151	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
30	17, 29	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
31	8, 30	lhpexle1lem 40383	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
32		3simpb 1150	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
33	32	reximi 3076	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
34	31, 33	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  lecple 17196  ltcplt 18243  Atomscatm 39639  HLchlt 39726  LHypclh 40360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-lhyp 40364

This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  40385  lhpexle2  40386  lhpex2leN  40389