Theorem hlrelat3 39406

Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 39396. (Contributed by NM, 2-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat3.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlrelat3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlrelat3.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
hlrelat3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat3	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   < ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlrelat3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlrelat3.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlrelat3.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		hlrelat3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlrelat1 39394	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	5	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
7		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑋)
8		simp1l1 1267	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9		simp1l2 1268	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
11		hlrelat3.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		hlrelat3.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	1, 2, 11, 12, 4	cvr1 39404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
14	8, 9, 10, 13	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
15	7, 14	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝))
16		simp1l 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
17		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
18	2, 3	pltle 18292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
19	16, 17, 18	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ≤ 𝑌)
21	8	hllatd 39357	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
22	1, 4	atbase 39282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
23	10, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
24		simp1l3 1269	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 11	latjle12 18409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
26	21, 9, 23, 24, 25	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
27	19, 20, 26	mpbi2and 712	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)
28	15, 27	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
29	28	3exp 1119	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))))
30	29	reximdvai 3144	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)))
31	6, 30	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  ltcplt 18269  joincjn 18272  Latclat 18390   ⋖ ccvr 39255  Atomscatm 39256  HLchlt 39343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344

This theorem is referenced by:  cvrval3  39407  athgt  39450  llnle  39512  lplnle  39534  llncvrlpln2  39551  lplncvrlvol2  39609  lhprelat3N  40034