Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat3 35210
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 35200. (Contributed by NM, 2-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat3.l = (le‘𝐾)
hlrelat3.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat3.j = (join‘𝐾)
hlrelat3.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
hlrelat3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   < ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat3
StepHypRef Expression
1 hlrelat3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat3.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 35198 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 395 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 simp3l 1251 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
8 simp1l1 1358 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp1l2 1359 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋𝐵)
10 simp2 1160 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝𝐴)
11 hlrelat3.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
12 hlrelat3.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
131, 2, 11, 12, 4cvr1 35208 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
148, 9, 10, 13syl3anc 1483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
157, 14mpbid 223 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
16 simp1l 1247 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
17 simp1r 1248 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
182, 3pltle 17185 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))
1916, 17, 18sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
20 simp3r 1252 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝 𝑌)
218hllatd 35162 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
221, 4atbase 35087 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
2310, 22syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝𝐵)
24 simp1l3 1360 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑌𝐵)
251, 2, 11latjle12 17286 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2621, 9, 23, 24, 25syl13anc 1484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2719, 20, 26mpbi2and 694 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝑋 𝑝) 𝑌)
2815, 27jca 503 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
29283exp 1141 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝𝐴 → ((¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))))
3029reximdvai 3213 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)))
316, 30mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wrex 3108   class class class wbr 4855  cfv 6110  (class class class)co 6883  Basecbs 16087  lecple 16179  ltcplt 17165  joincjn 17168  Latclat 17269  ccvr 35060  Atomscatm 35061  HLchlt 35148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-proset 17152  df-poset 17170  df-plt 17182  df-lub 17198  df-glb 17199  df-join 17200  df-meet 17201  df-p0 17263  df-lat 17270  df-clat 17332  df-oposet 34974  df-ol 34976  df-oml 34977  df-covers 35064  df-ats 35065  df-atl 35096  df-cvlat 35120  df-hlat 35149
This theorem is referenced by:  cvrval3  35211  athgt  35254  llnle  35316  lplnle  35338  llncvrlpln2  35355  lplncvrlvol2  35413  lhprelat3N  35838
  Copyright terms: Public domain W3C validator