Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hlrelat3.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | hlrelat3.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | hlrelat3.s |
. . . 4
β’ < =
(ltβπΎ) |
4 | | hlrelat3.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | hlrelat1 37909 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < π β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π))) |
6 | 5 | imp 408 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) |
7 | | simp3l 1202 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
8 | | simp1l1 1267 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β πΎ β HL) |
9 | | simp1l2 1268 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
10 | | simp2 1138 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β π β π΄) |
11 | | hlrelat3.j |
. . . . . . . 8
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | hlrelat3.c |
. . . . . . . 8
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
13 | 1, 2, 11, 12, 4 | cvr1 37919 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β (Β¬ π β€ π β ππΆ(π β¨ π))) |
14 | 8, 9, 10, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β (Β¬ π β€ π β ππΆ(π β¨ π))) |
15 | 7, 14 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β ππΆ(π β¨ π)) |
16 | | simp1l 1198 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅)) |
17 | | simp1r 1199 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β π < π) |
18 | 2, 3 | pltle 18227 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < π β π β€ π)) |
19 | 16, 17, 18 | sylc 65 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β π β€ π) |
20 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β π β€ π) |
21 | 8 | hllatd 37872 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
22 | 1, 4 | atbase 37797 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
23 | 10, 22 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
24 | | simp1l3 1269 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
25 | 1, 2, 11 | latjle12 18344 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π β¨ π) β€ π)) |
26 | 21, 9, 23, 24, 25 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π β¨ π) β€ π)) |
27 | 19, 20, 26 | mpbi2and 711 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β (π β¨ π) β€ π) |
28 | 15, 27 | jca 513 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) β (ππΆ(π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ π)) |
29 | 28 | 3exp 1120 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β (π β π΄ β ((Β¬ π β€ π β§ π β€ π) β (ππΆ(π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ π)))) |
30 | 29 | reximdvai 3159 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π) β βπ β π΄ (ππΆ(π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ π))) |
31 | 6, 30 | mpd 15 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β βπ β π΄ (ππΆ(π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ π)) |