Theorem hlrelat3 39409

Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 39399. (Contributed by NM, 2-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat3.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlrelat3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlrelat3.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
hlrelat3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat3	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   < ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlrelat3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlrelat3.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlrelat3.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		hlrelat3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlrelat1 39397	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	5	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
7		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑋)
8		simp1l1 1267	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9		simp1l2 1268	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
11		hlrelat3.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		hlrelat3.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	1, 2, 11, 12, 4	cvr1 39407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
14	8, 9, 10, 13	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
15	7, 14	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝))
16		simp1l 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
17		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
18	2, 3	pltle 18400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
19	16, 17, 18	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ≤ 𝑌)
21	8	hllatd 39360	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
22	1, 4	atbase 39285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
23	10, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
24		simp1l3 1269	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 11	latjle12 18517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
26	21, 9, 23, 24, 25	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
27	19, 20, 26	mpbi2and 712	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)
28	15, 27	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
29	28	3exp 1120	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))))
30	29	reximdvai 3165	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)))
31	6, 30	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  lecple 17314  ltcplt 18375  joincjn 18378  Latclat 18498   ⋖ ccvr 39258  Atomscatm 39259  HLchlt 39346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-proset 18361  df-poset 18380  df-plt 18397  df-lub 18413  df-glb 18414  df-join 18415  df-meet 18416  df-p0 18492  df-lat 18499  df-clat 18566  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347

This theorem is referenced by:  cvrval3  39410  athgt  39453  llnle  39515  lplnle  39537  llncvrlpln2  39554  lplncvrlvol2  39612  lhprelat3N  40037