Theorem hlrelat3 39371

Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 39361. (Contributed by NM, 2-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat3.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlrelat3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlrelat3.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
hlrelat3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat3	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   < ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlrelat3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlrelat3.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlrelat3.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		hlrelat3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlrelat1 39359	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	5	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
7		simp3l 1201	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑋)
8		simp1l1 1266	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9		simp1l2 1267	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
11		hlrelat3.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		hlrelat3.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	1, 2, 11, 12, 4	cvr1 39369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
14	8, 9, 10, 13	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
15	7, 14	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝))
16		simp1l 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
17		simp1r 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
18	2, 3	pltle 18405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
19	16, 17, 18	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		simp3r 1202	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ≤ 𝑌)
21	8	hllatd 39322	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
22	1, 4	atbase 39247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
23	10, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
24		simp1l3 1268	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 11	latjle12 18522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
26	21, 9, 23, 24, 25	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
27	19, 20, 26	mpbi2and 711	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)
28	15, 27	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
29	28	3exp 1119	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))))
30	29	reximdvai 3171	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)))
31	6, 30	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  lecple 17320  ltcplt 18380  joincjn 18383  Latclat 18503   ⋖ ccvr 39220  Atomscatm 39221  HLchlt 39308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-proset 18367  df-poset 18385  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-lat 18504  df-clat 18571  df-oposet 39134  df-ol 39136  df-oml 39137  df-covers 39224  df-ats 39225  df-atl 39256  df-cvlat 39280  df-hlat 39309

This theorem is referenced by:  cvrval3  39372  athgt  39415  llnle  39477  lplnle  39499  llncvrlpln2  39516  lplncvrlvol2  39574  lhprelat3N  39999