Theorem hlrelat3 39984

Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 39974. (Contributed by NM, 2-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat3.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlrelat3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlrelat3.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
hlrelat3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat3	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   < ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlrelat3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlrelat3.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlrelat3.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		hlrelat3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlrelat1 39972	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	5	imp 409	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
7		simp3l 1211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑋)
8		simp1l1 1276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9		simp1l2 1277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp2 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
11		hlrelat3.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		hlrelat3.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	1, 2, 11, 12, 4	cvr1 39982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
14	8, 9, 10, 13	syl3anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
15	7, 14	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝))
16		simp1l 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
17		simp1r 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
18	2, 3	pltle 18339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
19	16, 17, 18	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		simp3r 1212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ≤ 𝑌)
21	8	hllatd 39936	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
22	1, 4	atbase 39861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
23	10, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
24		simp1l3 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 11	latjle12 18458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
26	21, 9, 23, 24, 25	syl13anc 1387	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
27	19, 20, 26	mpbi2and 720	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)
28	15, 27	jca 518	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
29	28	3exp 1128	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))))
30	29	reximdvai 3167	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)))
31	6, 30	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∃wrex 3080   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  lecple 17269  ltcplt 18316  joincjn 18319  Latclat 18439   ⋖ ccvr 39834  Atomscatm 39835  HLchlt 39922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-proset 18302  df-poset 18321  df-plt 18336  df-lub 18352  df-glb 18353  df-join 18354  df-meet 18355  df-p0 18431  df-lat 18440  df-clat 18507  df-oposet 39748  df-ol 39750  df-oml 39751  df-covers 39838  df-ats 39839  df-atl 39870  df-cvlat 39894  df-hlat 39923

This theorem is referenced by:  cvrval3  39985  athgt  40028  llnle  40090  lplnle  40112  llncvrlpln2  40129  lplncvrlvol2  40187  lhprelat3N  40612