Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat 37911
Description: A Hilbert lattice is relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 31348 analog.) (Contributed by NM, 4-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
hlrelat5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlrelat5.s < = (ltβ€˜πΎ)
hlrelat5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlrelat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝   < ,𝑝
Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 hlrelat5.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4hlrelat1 37909 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
65imp 408 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
7 simpll1 1213 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
87hllatd 37872 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 simpll2 1214 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
101, 4atbase 37797 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
1110adantl 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
12 hlrelat5.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
131, 2, 3, 12latnle 18367 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝)))
148, 9, 11, 13syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝)))
152, 3pltle 18227 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
1615imp 408 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
1716adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
1817biantrurd 534 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
19 simpll3 1215 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
201, 2, 12latjle12 18344 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
218, 9, 11, 19, 20syl13anc 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
2218, 21bitrd 279 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
2314, 22anbi12d 632 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)))
2423rexbidva 3170 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)))
256, 24mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  ltcplt 18202  joincjn 18205  Latclat 18325  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  hlrelat2  37912  atle  37945  2atlt  37948
  Copyright terms: Public domain W3C validator