Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat 36525
Description: A Hilbert lattice is relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 30133 analog.) (Contributed by NM, 4-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l = (le‘𝐾)
hlrelat5.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j = (join‘𝐾)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   < ,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 36523 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 409 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 simpll1 1206 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
87hllatd 36487 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9 simpll2 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
101, 4atbase 36412 . . . . . 6 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1110adantl 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
12 hlrelat5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
131, 2, 3, 12latnle 17687 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑝)))
148, 9, 11, 13syl3anc 1365 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑝)))
152, 3pltle 17563 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))
1615imp 409 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 𝑌)
1716adantr 483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋 𝑌)
1817biantrurd 535 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑝 𝑌)))
19 simpll3 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑌𝐵)
201, 2, 12latjle12 17664 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
218, 9, 11, 19, 20syl13anc 1366 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2218, 21bitrd 281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝 𝑌 ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2314, 22anbi12d 632 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)))
2423rexbidva 3294 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)))
256, 24mpbid 234 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3137   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  lecple 16564  ltcplt 17543  joincjn 17546  Latclat 17647  Atomscatm 36386  HLchlt 36473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474
This theorem is referenced by:  hlrelat2  36526  atle  36559  2atlt  36562
  Copyright terms: Public domain W3C validator