Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hlrelat5.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | hlrelat5.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | hlrelat5.s |
. . . 4
β’ < =
(ltβπΎ) |
4 | | hlrelat5.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | hlrelat1 37909 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < π β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π))) |
6 | 5 | imp 408 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) |
7 | | simpll1 1213 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
8 | 7 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β πΎ β Lat) |
9 | | simpll2 1214 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β π β π΅) |
10 | 1, 4 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
11 | 10 | adantl 483 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β π β π΅) |
12 | | hlrelat5.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | 1, 2, 3, 12 | latnle 18367 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (Β¬ π β€ π β π < (π β¨ π))) |
14 | 8, 9, 11, 13 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β (Β¬ π β€ π β π < (π β¨ π))) |
15 | 2, 3 | pltle 18227 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < π β π β€ π)) |
16 | 15 | imp 408 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β π β€ π) |
17 | 16 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β π β€ π) |
18 | 17 | biantrurd 534 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β (π β€ π β (π β€ π β§ π β€ π))) |
19 | | simpll3 1215 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β π β π΅) |
20 | 1, 2, 12 | latjle12 18344 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π β¨ π) β€ π)) |
21 | 8, 9, 11, 19, 20 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π β¨ π) β€ π)) |
22 | 18, 21 | bitrd 279 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β (π β€ π β (π β¨ π) β€ π)) |
23 | 14, 22 | anbi12d 632 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β§ π β π΄) β ((Β¬ π β€ π β§ π β€ π) β (π < (π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ π))) |
24 | 23 | rexbidva 3170 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π) β βπ β π΄ (π < (π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ π))) |
25 | 6, 24 | mpbid 231 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β βπ β π΄ (π < (π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ π)) |