Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat 38907
Description: A Hilbert lattice is relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 32194 analog.) (Contributed by NM, 4-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l = (le‘𝐾)
hlrelat5.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j = (join‘𝐾)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   < ,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 38905 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 405 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 simpll1 1209 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
87hllatd 38868 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9 simpll2 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
101, 4atbase 38793 . . . . . 6 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1110adantl 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
12 hlrelat5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
131, 2, 3, 12latnle 18472 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑝)))
148, 9, 11, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑝)))
152, 3pltle 18332 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))
1615imp 405 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 𝑌)
1716adantr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋 𝑌)
1817biantrurd 531 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑝 𝑌)))
19 simpll3 1211 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑌𝐵)
201, 2, 12latjle12 18449 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
218, 9, 11, 19, 20syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2218, 21bitrd 278 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝 𝑌 ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2314, 22anbi12d 630 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)))
2423rexbidva 3174 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)))
256, 24mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3067   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  ltcplt 18307  joincjn 18310  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by:  hlrelat2  38908  atle  38941  2atlt  38944
  Copyright terms: Public domain W3C validator